第9章維納濾波

1、 9.1 9.1 概述概述 9.2 9.2 波形線性均方估計的正交原理波形線性均方估計的正交原理 9.3 9.3 維納維納- -霍夫（霍夫（Wiener-HorfWiener-Horf) )積分方程積分方程 9.4 9.4 非因果的維納濾波問題非因果的維納濾波問題 9.5 9.5 因果的維納濾波器因果的維納濾波器 9.6 9.6 預(yù)測問題預(yù)測問題 9.7 9.7 后驗維納濾波與互補維納濾波后驗維納濾波與互補維納濾波 9.8 9.8 維納濾波器的應(yīng)用維納濾波器的應(yīng)用 在傳輸或測量信號在傳輸或測量信號s(n)時，由于信道噪時，由于信道噪聲或者測量噪聲聲或者測量噪聲w(n)，接收或測量到的，接收或測

2、量到的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)x(n)將與將與s(n)不同。設(shè)噪聲是加性不同。設(shè)噪聲是加性的的: 即即:x(n)=s(n)+w(n) 如果如果s(n)和和w(n)的頻譜是分離的，那么的頻譜是分離的，那么設(shè)計一個具有恰當(dāng)頻率特性的線性濾波設(shè)計一個具有恰當(dāng)頻率特性的線性濾波器即能有效地抑制噪聲并提取信號，這器即能有效地抑制噪聲并提取信號，這就是前面經(jīng)典數(shù)字信號處理理論中詳細就是前面經(jīng)典數(shù)字信號處理理論中詳細討論過的數(shù)字濾波器的設(shè)計問題討論過的數(shù)字濾波器的設(shè)計問題.但是如但是如果果s(n)和和w(n)的頻譜互相重疊的頻譜互相重疊,或者或者s(n)和和w(n)是隨機信號，它們的頻譜根本就是隨機信號，它們的頻譜根本就不

3、存在，問題就要復(fù)雜得多，這就是本不存在，問題就要復(fù)雜得多，這就是本章要討論的內(nèi)容。章要討論的內(nèi)容。 隨機性是生物醫(yī)學(xué)信號的特點之一，隨機性是生物醫(yī)學(xué)信號的特點之一，在本章中主要討論噪聲中隨機信號的在本章中主要討論噪聲中隨機信號的線性估計問題。維納濾波適用于平穩(wěn)線性估計問題。維納濾波適用于平穩(wěn)隨機過程。隨機過程。 觀察觀察x(t)中既含有隨機信號中既含有隨機信號s(t)又含有又含有噪聲噪聲n(t)。 經(jīng)處理器處理后得一估計值經(jīng)處理器處理后得一估計值 作為對作為對所希望取得的信息所希望取得的信息d(t) 的估計值，的估計值， d(t)可能是可能是s(t)，也可能是預(yù)測值，也可能是預(yù)測值s(t+a)

4、，導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)ds(t)/dt等。等。 估計的任務(wù)就是要求估計的任務(wù)就是要求 與與d(t) 的差值的差值在一定判據(jù)意義下取得極小值。在一定判據(jù)意義下取得極小值。( )d t( )d t處理器處理器判判據(jù)據(jù)極小極小( )d t( )d t( )( )( )x ts tn t9-1估計原理方框圖估計原理方框圖1.1.濾波問題：濾波問題：由由t t00t tf f一段時期內(nèi)的觀察一段時期內(nèi)的觀察x(t), x(t), t t0 0ttttf f，估計，估計t=tt=tf f瞬間信號瞬間信號s(t)s(t)的值的值s(t)s(t)。即：即：d(t)=s(t)d(t)=s(t)。2.2.預(yù)測問題：預(yù)測問題：

5、由由t t00t tf f一段時期內(nèi)的觀察一段時期內(nèi)的觀察x(t), x(t), 估計估計ttttf f的某一時刻待估計信號的可能值。的某一時刻待估計信號的可能值。即：即：d(t)=s(t+a)d(t)=s(t+a)，a0a0。3.3.平滑問題：平滑問題：由由t t00t tf f一段時期內(nèi)的觀察一段時期內(nèi)的觀察x(t), x(t), 估計估計t t0 0ttt0a0，設(shè)只用設(shè)只用t t時刻的觀察值時刻的觀察值x(t)x(t)對對d(t)d(t)作線性估作線性估計：計： 按最小均方誤差判據(jù)做估計，即求按最小均方誤差判據(jù)做估計，即求 。( )( )( )d tx ts t 應(yīng)和觀察值應(yīng)和觀察值x

6、(t)=s(t)x(t)=s(t)正交，即：正交，即：( )( )( )()( )e td td ts tas t2( ()( ) ( )0()( ) ()( )(0)(0)( )(0)0(0)ssssssssLMSssssssEs tas t s taREs tas t s tRaRaRRaRR有：得：此時的均方誤差為： 設(shè)觀察中沒有噪聲，即設(shè)觀察中沒有噪聲，即x(t)=s(t)，又待估計，又待估計量是信號的預(yù)測值量是信號的預(yù)測值d(t)=s(t+a)，a0，設(shè)估，設(shè)估計算子采用：計算子采用： 按最小均方誤差判據(jù)做估計，即求估計系按最小均方誤差判據(jù)做估計，即求估計系數(shù)數(shù)a和和b。( )( )

7、( )ds td tas tbdt ( )()( )( )0( )( )()( )0( )(0)(0)0( )(0)(0)0sssssss ssss sds tEs taas tbs tdtds tds tEs taas tbdtdtRaaRbRRaaRbR即： ( )(0)0( )(0)0( )(0)( )(0)sssss ss ssssss ss sRaaRRabRRaaRRabR故得到：22 ( )()( )()(0)( )( )( )( )(0)(0)(0)LMSsssss ssss ssssss sds tEs taas tbs tadtRaRabRaRaRaRRR因為因為Rss(0

8、)0,此式最后一項大于零，所以，此式最后一項大于零，所以，它要比例它要比例9.1的的 LMS要小，主要是他利用了更要小，主要是他利用了更多的測量信息，估計效果更好些。多的測量信息，估計效果更好些。 觀察觀察x(t)由信號由信號s(t)和噪聲和噪聲n(t)相加組成，相加組成，觀察時間觀察時間t t00t tf f，則：，則： x(t)=s(t)+n(t), x(t)=s(t)+n(t), tt0 0，t tf f 待估計過程是待估計過程是d(t)d(t)，x(t)x(t)經(jīng)線性處理得經(jīng)線性處理得到估計為：到估計為： 要求估計均方誤差最小，試求要求估計均方誤差最小，試求h(th(t) )0( )(

9、 ) ()fttd txh td即即t時刻的估計誤差要和時刻的估計誤差要和t t00t tf f區(qū)間所有時刻區(qū)間所有時刻 的觀察值的觀察值x(x( ) )正交，推得：正交，推得：0 ( )( ) ( )0fE d td t xtt000 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) () ( )()()(),fftttxdxxftE d t xE d t xE d t xExh txdRth tRdtt有：即：0( )( ) ()fttd txh td00 ( )( ) () ( )(0)()()fftLMSttddxdtEd txh tdd tRh tRtd問題是維納問題是維納-霍夫

10、方程是一個積分方程，未必霍夫方程是一個積分方程，未必能求出解析解答。能求出解析解答。 對于濾波問題，利用從對于濾波問題，利用從t t0 0=-=-一直到一直到t tf f=t=t時刻為止的全部觀察來估計時刻為止的全部觀察來估計t t時刻的信號時刻的信號s(t)s(t)。此時有：。此時有： t t0 0=-,t=-,tf f=t=t d(t)=s(t) d(t)=s(t) 于是維納于是維納- -霍夫方程變?yōu)椋夯舴蚍匠套優(yōu)椋?)()(),txsxxRth tRdt或：或：此時：此時：0( )( )(),0 xsxxRhRd0( )( )(),0 xsxxRhRd 0(0)( )( )LMSssxs

11、RhRd 如果不要求濾波器是因果的，可以把如果不要求濾波器是因果的，可以把觀察時間的上限觀察時間的上限t tf f擴展到擴展到-,-,也就是也就是利用利用x(t)x(t)在全時間軸上的值來進行估在全時間軸上的值來進行估計。此時維納計。此時維納- -霍夫方程為：霍夫方程為：( )( )(),xsxxRhRd 如果如果n(t)n(t)和和s(t)s(t)統(tǒng)計獨立，則有：統(tǒng)計獨立，則有：( )( )( )( )( )( )xsxxxsxxSHSSHS或者：( )( )( ),( )( )( )( )( )( )xxssnnxsssssssnnSSSSSSHSS有：做反傅里葉變換得到濾波器的沖擊響應(yīng)做

12、反傅里葉變換得到濾波器的沖擊響應(yīng)h(t)h(t)噪聲是白色的，其功率譜是常數(shù)噪聲是白色的，其功率譜是常數(shù)而且噪聲與信號統(tǒng)計獨立，求維納濾波器而且噪聲與信號統(tǒng)計獨立，求維納濾波器的頻率特性和沖擊響應(yīng)。的頻率特性和沖擊響應(yīng)。 21()1ssS()1nnS求付里葉反變換得到：求付里葉反變換得到：它顯然是非因果的，物理不可實現(xiàn)的它顯然是非因果的，物理不可實現(xiàn)的22()1()()()2122 2ssssnnSHSS22( )4th teth(t)o 在離散情況下，在不要求物理可實現(xiàn)的在離散情況下，在不要求物理可實現(xiàn)的條件下。可以類似推出以下結(jié)論：條件下。可以類似推出以下結(jié)論： 維納維納-霍夫原方程為：霍

13、夫原方程為： 現(xiàn)在放寬為現(xiàn)在放寬為：0( )( )()0 xsxxnRmh n Rmnm 9.4.2 9.4.2 離散時間形式的解離散時間形式的解( )( )()xsxxnRmh n Rmnm 實際中一般采用實際中一般采用Z Z變換的傳遞函數(shù)變換的傳遞函數(shù)()()()()()()jjxsjxxjssjjssnnSeH eSeSeSeSe( )( )( )( )ssssnnSzH zSzSz(0)( )( )LMSssxsnRh n Rn將將H(z)H(z)做反演做反演Z Z變換變換得到?jīng)_擊響應(yīng)得到?jīng)_擊響應(yīng)h(n)h(n) 可見可見H(ej ) 決定于信號與噪聲的功率譜密度決定于信號與噪聲的功率

14、譜密度; 當(dāng)噪聲為零時當(dāng)噪聲為零時,即即Snn(ej ) =0; H(ej ) =1，信，信號全部通過；號全部通過； 當(dāng)信號為零時當(dāng)信號為零時,即即Sss(ej ) =0; H(ej ) =0 ，噪，噪聲被全部抑制掉聲被全部抑制掉; 因此維納濾波器確有濾除噪聲的能力。因此維納濾波器確有濾除噪聲的能力。 非因果維納濾波器的幅頻特性如下圖所示。非因果維納濾波器的幅頻特性如下圖所示。0( )0,( )0()1( )0,( )0( )( )0,( )0( )( )ssnnjssnnssssnnssnnSSH eSSSSSSS0非因果維納濾波器的幅頻特性非因果維納濾波器的幅頻特性Sss(ej )Snn(

15、ej )H(ej )1噪聲是白色的噪聲是白色的設(shè)計非因果的維納濾波器設(shè)計非因果的維納濾波器( )0.80, 1, 2,mssRmm L( )0.4500nnRmmm當(dāng)為其它值傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：1( )()0.36(10.8 )(10.8)( )()0.45mssssmnnnnSzRm zzzSzRm z110.36(10.8 )(10.8)( )0.360.45(10.8 )(10.8)zzH zzz 它是非因果的，而且是無限長的，可以它是非因果的，而且是無限長的，可以取短近似，如只取取短近似，如只取4項為：項為：110.4340.434(0.37364 )( )10.3736410.373

16、64( )0.434(0.37364) ,0, 1, 2,nzH zzzh nnL44( )() ( )s nx nk h k 非因果維納濾波器需要用全時間上的觀察非因果維納濾波器需要用全時間上的觀察值來估計值來估計s(n),s(n),所以不能實時實現(xiàn)，即使采所以不能實時實現(xiàn)，即使采用把用把h(n)h(n)截短的近似估計，也必須延遲若截短的近似估計，也必須延遲若干拍，待干拍，待x xn+kn+k輸入后（輸入后（k k是截短范圍是截短范圍) )才能做才能做出本次估計。出本次估計。 維納濾波器的時域解維納濾波器的時域解 （Time domain solution of the Wiener Tim

17、e domain solution of the Wiener filterfilter） 設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)h(n)或傳或傳遞函數(shù)遞函數(shù)H(Z)H(Z)的表達式，其實質(zhì)就是解維納的表達式，其實質(zhì)就是解維納霍夫（霍夫（WienerWienerHorfHorf）方程。）方程。 我們從時域入手求最小均方誤差下的我們從時域入手求最小均方誤差下的h(n)h(n)。這里只討論因果可實現(xiàn)濾波器的設(shè)計，既：這里只討論因果可實現(xiàn)濾波器的設(shè)計，既：( )0,0h nn當(dāng)1. FIR型：限制處理器

18、的形式，只用最近的型：限制處理器的形式，只用最近的p+1個觀察值個觀察值x(n),x(n-1),x(n-p)來估來估計計s(n),即：即：2. 預(yù)白化處理，把觀察序列值預(yù)白化處理，把觀察序列值x(n)白化。變白化。變成白噪聲成白噪聲w(n)，再對，再對w(n)做可實現(xiàn)的最優(yōu)做可實現(xiàn)的最優(yōu)濾波，如圖：濾波，如圖：0( )( ) ()pks nh k x nkX(n)d(n)預(yù)白化預(yù)白化H2w(n)白色白色由正交原理得：由正交原理得：0( )( ) ()pks nh k x nk00 ( )( ) () ( )0,1,( )()(),1,pkpxxxskEs nh k x nk x mmn nnp

19、h k RnkmRnmmn nnpLL也就是：用矩陣表示：用矩陣表示： R RxxxxH H=G=G 0( )()()0,1,2.pxxxskh k RmkRmmp，(0)( 1)()(1)(0)(1)( )(1)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxRRRpRRRpRpRpRLLMMLML自相關(guān)陣： (0), (1)( )(0),(1)( )xsxsxsHhhh pGRRRp待求系數(shù)矢量：互相關(guān)矢量：LL H=Rxx-1GR Rxxxx是對稱且是對稱且ToplitzToplitz型的型的這時的最小均方誤差為：這時的最小均方誤差為：0(0)( )()pLMSssxskRh k Rk信號模型

20、圖信號模型圖( )w n( )A z( )s n9.5.2 9.5.2 預(yù)白化處理預(yù)白化處理 預(yù)白化方法是基于如下事實：預(yù)白化方法是基于如下事實： 當(dāng)當(dāng)x(n)是方差是方差 x2=1的白噪聲時，有：的白噪聲時，有： Rxx(m-n)=1 當(dāng)當(dāng)m=n =0 其它其它 所以上式直接就可以得出：所以上式直接就可以得出： h(m)=Rxs(m) m=0 0()( )()xsxxnRmh n Rmn 離散維納離散維納-霍夫方程為霍夫方程為: 它的付氏變換寫作：它的付氏變換寫作： Sxs(ej )+ 或用或用Z變換表示：變換表示： H(z)= Sxs(z)+ 符號符號 . +表示原函數(shù)表示原函數(shù)m0部分對

21、應(yīng)的付部分對應(yīng)的付氏變換和氏變換和Z變換。變換。X(n)S(n)+n(n)d(n)=s(n)預(yù)白化預(yù)白化H2(z)w(n)白色白色H1(z)E.2極小極小( )d n優(yōu)化優(yōu)化-+預(yù)白化算法處理框圖預(yù)白化算法處理框圖復(fù)習(xí)一個復(fù)習(xí)一個Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 如果如果h(n)=h(-n),則有則有: H(z)=H(z-1); 那么，如果那么，如果z1是是()的極點，的極點，1/Z1一定是一定是H(z)的極點的極點;同樣，零點也有這樣的性質(zhì)；同樣，零點也有這樣的性質(zhì)； 還有如果還有如果h(n)是實函數(shù)，則是實函數(shù)，則(z)極點一定極點一定是共軛對稱的是共軛對稱的( )( )( )( )( ) ( )(

22、 )xxxxxxxxxxxxxxSzSz SzSzSzSzSz由處于單位圓內(nèi)的極,零點組成由處于單位圓外的極,零點令：其中：組成且：11( )( )1( )( )xxxxxxSzSzH zSz則：1.預(yù)白化濾波器預(yù)白化濾波器H1(z)的設(shè)計的設(shè)計 對對x(n)的可實現(xiàn)白化濾波器的可實現(xiàn)白化濾波器H1(z)可如下求得可如下求得: 2.2.最優(yōu)濾波器最優(yōu)濾波器H H2 2(z)(z)的設(shè)計的設(shè)計 因為因為W(n)W(n)是白色的，所以：是白色的，所以：2112( )( )1( )( )( )111( )1( )( )( )( )( )WSWSxsxxxxxsxxHzSzSzHSzzHzSzSzSz

23、HzSz12( )1( )( )( )( )( )xsxxxxSzH zH z HzSzSz最后得總濾波器最后得總濾波器:1111( )( ) ()( ) () ()( )()+k=k( )( )1( )( )( )wskxskxskwsxsRnE W m S nmEh k x mk S nmEh k RnkEh kn RkRzHRzz令n則有：證明：證明： 例例9.5 9.5 設(shè)設(shè)x(n)=s(n)+n(n),sx(n)=s(n)+n(n),s、n n統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立, ,且：且： 設(shè)計可實時實現(xiàn)的維納濾波器。設(shè)計可實時實現(xiàn)的維納濾波器。 解：解：( )( )0, 1, 2,( )0.80,

24、 1, 2,nnmssRmmmR mm LL1( )( )10.36( )( )(1 0.8)(1 0.8 )mnnnnmmssssmSzRm zSzRm zzz因此得：因此得： 1110.36( )( )( )1(1 0.8)(1 0.8 )(1 0.5)(1 0.5 ) 1.6(1 0.8)(1 0.8 )xxssnnSzSzSzzzzzzz 11110.5( )1.610.810.5( )1.610.80.36( )( )(10.8)(10.8 )xxxxxssszSzzzSzzSzSzzz可見：可見： 括弧中的因子可按下式做部分分式分解：括弧中的因子可按下式做部分分式分解：前一項對應(yīng)與

25、前一項對應(yīng)與n 0部分，后一項對應(yīng)與部分，后一項對應(yīng)與n00部分，故部分，故: :1( )0.36( )(1 0.8)(1 0.5 )xsxxzSzzSzzz11.2 (0.5 )0.48(1 0.8)(1 0.5 )zzz1( )0.48( )1 0.8xsxxzSzSzz 因此因此: : 得得: : 或用或用IIRIIR方式實現(xiàn)：方式實現(xiàn)：1( )10.3( )( )( )1 0.8xsxxxxzSzH zSzSzz( )0.3(0.8) 0nh nn(1)0.3 ( )0.8 ( )s nx ns n 此時此時: : 由正交原理：由正交原理： 得維納得維納- -霍夫方程組霍夫方程組: :

26、0( )(1)( ) ()pkd ns nh k x nk0 (1)( ) () ( )00pkE s nh k x n k x mmp0(1)( )() 0pxsxxkRmh k Rm kmp 用矩陣形式表示用矩陣形式表示: : 這里的自相關(guān)陣仍是對稱且這里的自相關(guān)陣仍是對稱且ToeplitzToeplitz型的。型的。(1)(0)( 1)()(0)(2)(1)(0)(1)(1)(1)( )(1)(0)( )xsxxxxxxxsxxxxxxxsxxxxxxRRRRphRRRRphRpRpRpRh p LLgMMMML 例例9.79.7 用用p=2p=2的的FIRFIR結(jié)構(gòu)給例結(jié)構(gòu)給例9.59

27、.5設(shè)計維納一設(shè)計維納一 步預(yù)測器。步預(yù)測器。20( )()(1)m=012( )( )( )(0)1 12( 1)0.800.8( 2)0.64( )( )(0.8)xxxskxxssnnxxxxxxmxsssh k RmkRmRmRmRmRRRRmRm ， ，所時：以：此 故得故得: : 解得：解得： 故故(0)0.306; (1)0.087; (2)0.034hhh 20.80.64(0)0.80.820.8(1)0.640.640.82(2)0.512hhh2(1)( ) ()0.306 ( ) 0.087 (1) 0.034 (2)k os nh k x n kx nx nx n9.

28、7.1 9.7.1 后驗維納濾波后驗維納濾波維納濾波是以信號和噪聲的相關(guān)函數(shù)或功維納濾波是以信號和噪聲的相關(guān)函數(shù)或功率譜已有先驗知識為前提的。如果這些統(tǒng)計率譜已有先驗知識為前提的。如果這些統(tǒng)計特性未知，就需先作出它們的估計，然后再特性未知，就需先作出它們的估計，然后再據(jù)以設(shè)計維納濾波器。但是從嚴(yán)格意義上說據(jù)以設(shè)計維納濾波器。但是從嚴(yán)格意義上說，這時所得結(jié)果并不是真正的維納濾波器，這時所得結(jié)果并不是真正的維納濾波器，所以稱之為后驗所以稱之為后驗“維納維納”濾波。濾波。 從頻域上應(yīng)用后驗維納濾波的核心問題是由從頻域上應(yīng)用后驗維納濾波的核心問題是由各次觀察各次觀察x xi i(n)(n)中分解出信號

29、的譜估計中分解出信號的譜估計 和噪聲的譜估計和噪聲的譜估計 。通?？刹捎孟率霾健Ｍǔ？刹捎孟率霾襟E：驟： 1.1.先對各次觀察求均值，設(shè)做先對各次觀察求均值，設(shè)做N N次觀察：次觀察： 式中，式中，s(n)s(n)是確定性的誘發(fā)響應(yīng)，是確定性的誘發(fā)響應(yīng)，n ni i(n(n) )是第是第i i次刺激后記錄中的噪聲。次刺激后記錄中的噪聲。 1,2,iix ns nn niNjsssei ijn nse 則平均誘發(fā)響應(yīng)：則平均誘發(fā)響應(yīng)： 然后求然后求 的功率譜。如果的功率譜。如果s(n)s(n)和和n ni i(n(n) ) 統(tǒng)計獨立，各次噪聲也互相獨立，則統(tǒng)計獨立，各次噪聲也互相獨立，則: :1

30、11( )( )1( )( )NiiNiix nxnNs nnnN( )x n1()()()jjjxxssnnSeSeSeN2.2.再分別對每一次觀察再分別對每一次觀察x xi i(n) (n) 求功率譜求功率譜: : 并求這些功率譜的平均值并求這些功率譜的平均值: :()()()i ijjjx xssnnSeSeSe11()()()()i iNjjxxx xijjssnnSeSeNSeSe3.3.聯(lián)立解聯(lián)立解 1 ,21 ,2中最后兩式中最后兩式，便可求得，便可求得S Sssss(e(ej j ) ) 和和S Snnnn(e(ej j ) ) 的估計：的估計：()()()1()()()1()

31、()1jjjnnxxxxjjjssxxnnjjxxxxNSeSeSeNSeSeSeNSeSeN 據(jù)此，得后驗據(jù)此，得后驗 維納維納 濾波器如下：濾波器如下： （i i）用于對單次觀察進行濾波：）用于對單次觀察進行濾波： （iiii）用于對平均誘發(fā)響應(yīng)）用于對平均誘發(fā)響應(yīng)x(n)x(n)進行濾波：進行濾波：1()()()()jjssjjssnnSeH eSeSe2()()1()()jjssjjssnnSeHeSeSeN許多研究者用這種濾波方法對各種平均誘發(fā)許多研究者用這種濾波方法對各種平均誘發(fā)響應(yīng)進行了濾波，但效果報道不一。有的效響應(yīng)進行了濾波，但效果報道不一。有的效果較好，有的卻不甚見效。其原

32、因除了譜估果較好，有的卻不甚見效。其原因除了譜估計不是真實值，因此所得得計不是真實值，因此所得得H( )只能是近似只能是近似的估計外，還由于的估計外，還由于“維納維納”濾波的其它假設(shè)濾波的其它假設(shè)也未必能滿足。其中：也未必能滿足。其中：1. 過程不是平穩(wěn)的過程不是平穩(wěn)的;2. “信號和噪聲是相加的信號和噪聲是相加的”這一假設(shè)是一個有這一假設(shè)是一個有用模型，但刺激愈接近閾值不正確；用模型，但刺激愈接近閾值不正確；3. 信號與噪聲未必統(tǒng)計獨立。實際上刺激對作信號與噪聲未必統(tǒng)計獨立。實際上刺激對作為噪聲的自發(fā)活動往往也有一些作用。為噪聲的自發(fā)活動往往也有一些作用。 為了改進后驗為了改進后驗“維納維納

33、”濾波的效果。又做濾波的效果。又做出了許多改進方案，介紹如下：出了許多改進方案，介紹如下： 1.1.交替集均法交替集均法 此法除按前式求外此法除按前式求外, ,又按下又按下式計算另一種平均值：式計算另一種平均值： 即：即：每當(dāng)序號每當(dāng)序號i i 為偶數(shù)時，就將觀察值取為偶數(shù)時，就將觀察值取負號，通過這樣的負號，通過這樣的“相加相加”，S(n)S(n)將被平將被平均掉，因此均掉，因此 的功率譜將只反映噪聲：的功率譜將只反映噪聲：111( )( 1)( )( )Niiix ns nn nN%( )x n% 便可得便可得 維納維納 濾波器。濾波器。 這個方法的優(yōu)點式計算量大為下降：只需要這個方法的優(yōu)

34、點式計算量大為下降：只需要求兩次功率譜求兩次功率譜 一次對一次對 ，一次對，一次對 ，而采用前法卻需要求而采用前法卻需要求N+1N+1次功率譜次功率譜 對每個對每個x xi i(n) (n) 求求 ，還要對，還要對 求求 。但理論分。但理論分析可以證明，所得譜估計方差較大是這種方析可以證明，所得譜估計方差較大是這種方法的缺點。法的缺點。1()()()()()jjxxnnjjjssxxxxSeSeNSeSeSe%( )x n( )x n%()i ijx xSe( )x n()jxxS e 2.2.譜平滑：譜平滑： 把前面得到的功率譜把前面得到的功率譜 和和 加以平加以平滑，然后再代維納濾波公式，

35、可以改善濾波滑，然后再代維納濾波公式，可以改善濾波效果。設(shè)施加在效果。設(shè)施加在 和和 上的譜窗上的譜窗口分別是口分別是1 1(e(ej j ) )和和2 2(e(ej j ) )，則平滑后的譜，則平滑后的譜分別是分別是: :()jxxSe()jxxSe12()()()()()()SMjjjxxxxSMjjjxxxxSeW eSeSeW eSe()jxxSe()jxxSe 然后把它們代入維納濾波公式，得：然后把它們代入維納濾波公式，得： 窗口長度要比較數(shù)據(jù)長度短，其具體值要窗口長度要比較數(shù)據(jù)長度短，其具體值要在方差和偏差之間取折中。時窗寬則譜窗在方差和偏差之間取折中。時窗寬則譜窗窄，因此平滑作用

36、小，偏差小，方差大。窄，因此平滑作用小，偏差小，方差大。反之，時窗窄則譜窗寬，平滑作用顯著，反之，時窗窄則譜窗寬，平滑作用顯著，因此偏差大，方差小。因此偏差大，方差小。()1()11()SMjjxxSMjxxSeNH eNN Se 維納濾波器得基本假設(shè)是信號為隨機的，但維納濾波器得基本假設(shè)是信號為隨機的，但是實際工作中信號常有些確定性結(jié)構(gòu)，并非是實際工作中信號常有些確定性結(jié)構(gòu)，并非純粹隨機，因此應(yīng)用效果未必好。因此對它純粹隨機，因此應(yīng)用效果未必好。因此對它簡單應(yīng)用維納濾波效果未必好，因為這樣處簡單應(yīng)用維納濾波效果未必好，因為這樣處理所得的理所得的 充其量也只是真實充其量也只是真實 S(t) 在

37、最在最小均方誤差意義下的逼近，不是真實小均方誤差意義下的逼近，不是真實S(t) 。對這類對這類S(t) 是確定性信號的情況，采用互補是確定性信號的情況，采用互補維納濾波可能是更合理的方案維納濾波可能是更合理的方案。( )s t 以做兩次觀察為例。如果設(shè)計濾波器時，以做兩次觀察為例。如果設(shè)計濾波器時，H H1 1(z)(z)和和H H2 2(z)(z)是分別獨立設(shè)計的是分別獨立設(shè)計的, ,如圖如圖(a)(a)然然后再把處理結(jié)果相加，效果就未必好后再把處理結(jié)果相加，效果就未必好. .H2(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+ x(n)( ) ( )( )a x ns n只是在最

38、小均方誤差意義下的逼近圖如果設(shè)計時多引入一個限制條件，如果設(shè)計時多引入一個限制條件，如：如： 效果就會好些，效果就會好些，如圖如圖(b)(b)。( )( )x ns n（b）中成分不變1-H1(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+ x(n)x2(n)x1(n)1221( )( ) 1( ) 1( )H zH zH zH z 因為此時因為此時:111212( )( ) ( )( )( )1( ) ( )( )XzHz S zNzXzHzS zNzH1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)+ x(n) +n1(n)-n2(n) 可見處理結(jié)果中信號可見處理結(jié)果中信號s(n

39、)s(n)成分不變。成分不變。 H H1 1(z)(z)的任務(wù)是把的任務(wù)是把n n1 1-n-n2 2變成對變成對n n2 2的最優(yōu)抵的最優(yōu)抵消。由于消。由于n n2 2和和n n1 1-n-n2 2都是隨機信號都是隨機信號, ,所以應(yīng)所以應(yīng)用維納濾波的效果就比較好。用維納濾波的效果就比較好。1212121212( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )X zX zX zS zN zN z H zN zx ns nn nn nh nn n也就是：9.89.8維納濾波器的應(yīng)用維納濾波器的應(yīng)用（Application Application of Wi

40、ener filterof Wiener filter）要設(shè)計維納濾波器必須知道觀測信號和估要設(shè)計維納濾波器必須知道觀測信號和估計信號之間的相關(guān)函數(shù)，即先驗知識。如計信號之間的相關(guān)函數(shù)，即先驗知識。如果我們不知道它們之間的相關(guān)函數(shù)，就必果我們不知道它們之間的相關(guān)函數(shù)，就必須先對它們的統(tǒng)計特性做估計，然后才能須先對它們的統(tǒng)計特性做估計，然后才能設(shè)計出維納濾波器，這樣設(shè)計出的濾波器設(shè)計出維納濾波器，這樣設(shè)計出的濾波器被稱為被稱為“后驗維納濾波器后驗維納濾波器”。 9.8.1.9.8.1.在生物醫(yī)學(xué)信號處理中比較典型的在生物醫(yī)學(xué)信號處理中比較典型的應(yīng)用就是關(guān)于誘發(fā)腦電信號的提取。應(yīng)用就是關(guān)于誘發(fā)腦電

41、信號的提取。 大腦誘發(fā)電位（大腦誘發(fā)電位（Evoked PotentialEvoked Potential，EPEP）指在外界刺激下，從頭皮上記錄到的特異指在外界刺激下，從頭皮上記錄到的特異電位，它反映了外周感覺神經(jīng)、感覺通路電位，它反映了外周感覺神經(jīng)、感覺通路及中樞神經(jīng)系統(tǒng)中相關(guān)結(jié)構(gòu)在特定刺激情及中樞神經(jīng)系統(tǒng)中相關(guān)結(jié)構(gòu)在特定刺激情況下的狀態(tài)反應(yīng)。在神經(jīng)學(xué)研究以及臨床況下的狀態(tài)反應(yīng)。在神經(jīng)學(xué)研究以及臨床診斷、手術(shù)監(jiān)護中有重要意義。診斷、手術(shù)監(jiān)護中有重要意義。 EPEP信號十分微弱，一般都淹沒在自發(fā)腦電信號十分微弱，一般都淹沒在自發(fā)腦電（EEGEEG）之中，從）之中，從EEGEEG背景中提取誘發(fā)

42、電位一背景中提取誘發(fā)電位一直是個難題：直是個難題：EPEP的幅度比自發(fā)腦電低一個數(shù)的幅度比自發(fā)腦電低一個數(shù)量級，無法從一次觀察中直接得到；量級，無法從一次觀察中直接得到；EPEP的頻的頻譜與自發(fā)腦電頻譜完全重迭，使得頻率濾波譜與自發(fā)腦電頻譜完全重迭，使得頻率濾波失效；在統(tǒng)計上失效；在統(tǒng)計上EPEP是非平穩(wěn)的、時變的腦誘是非平穩(wěn)的、時變的腦誘發(fā)電位。發(fā)電位。 通過多次刺激得到的腦電信號進行疊加來提通過多次刺激得到的腦電信號進行疊加來提取取EPEP，這是現(xiàn)今最為廣泛使用的，這是現(xiàn)今最為廣泛使用的EPEP提取方法。提取方法。 為了解決誘發(fā)電位提取問題，研究者利用為了解決誘發(fā)電位提取問題，研究者利用維納濾波來提高信噪比，先后有維納濾波來提高信噪比，先后有WalterWalter、DoyleDoyle、WeerdWeerd等對維納濾波方法進行了改等對維納濾波方法進行了改進。在頻域應(yīng)用后驗維納濾波的核心就是進。在頻域應(yīng)用后驗維納濾波的核心就是由各次觀察