第十二章 彎曲變形

1、彎彎 曲曲 變變 形形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形基本內(nèi)容：基本內(nèi)容：（1）梁的彎曲變形：撓度與轉(zhuǎn)角；）梁的彎曲變形：撓度與轉(zhuǎn)角； 梁的撓曲線微分方程梁的撓曲線微分方程。（2）求梁彎曲變形的）求梁彎曲變形的積分法積分法（3）求梁彎曲變形的）求梁彎曲變形的疊加法疊加法（4）簡單超靜定梁的求解簡單超靜定梁的求解（5）提高梁剛度的措施）提高梁剛度的措施CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12. 1 引言引言一、一、 工程實例工程實例1、傳動軸、機(jī)床的主軸、傳動軸、機(jī)床

2、的主軸2、起重機(jī)大梁、起重機(jī)大梁3、汽車等用的疊板彈簧、汽車等用的疊板彈簧研究彎曲變形的目的：研究彎曲變形的目的：（1）對梁進(jìn)行）對梁進(jìn)行剛度計算剛度計算；（2）求梁的）求梁的靜不定問題靜不定問題。車輛用疊板彈簧車輛用疊板彈簧PqCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、二、 彎曲變形的基本概念彎曲變形的基本概念1、撓曲線、撓曲線(軸軸)： 梁梁在在平面彎曲時，其軸線在載荷作平面彎曲時，其軸線在載荷作用平面（縱向?qū)ΨQ面）內(nèi)，變成了一用平面（縱向?qū)ΨQ面）內(nèi)，變成了一條曲線，該曲線稱為條曲線，該曲線稱為撓曲線（軸）撓曲線（軸）。表示：表示：連續(xù)光滑連續(xù)光

3、滑特點：特點：w =w(x)，它是，它是坐標(biāo)坐標(biāo)x的連續(xù)函數(shù)。也稱為撓曲軸方程。的連續(xù)函數(shù)。也稱為撓曲軸方程。ByxxCcwccC撓度撓度：梁上任一橫截面形心在垂直于軸線方向的位移，梁上任一橫截面形心在垂直于軸線方向的位移，用用w 表示。表示。其其符號符號（正負(fù)號）與坐標(biāo)的正負(fù)相同。（正負(fù)號）與坐標(biāo)的正負(fù)相同。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，用用 表示。表示。符號符號：在圖示坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)角逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。：在圖示坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)角逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。2、撓度和轉(zhuǎn)角、撓度和轉(zhuǎn)角ABlFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECH

4、NOLOGYlAxBByxFCcwccCdtandwxtand( )dww xx)(x也稱為轉(zhuǎn)角方程。也稱為轉(zhuǎn)角方程。即：撓曲軸上任一點處切線的斜率等于該點橫截面的即：撓曲軸上任一點處切線的斜率等于該點橫截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角。在工程中，經(jīng)常要限制最大撓度和最大在工程中，經(jīng)常要限制最大撓度和最大轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角不得超過規(guī)定的數(shù)不得超過規(guī)定的數(shù)值值 f 和和 ，這樣就得到剛度條件如下：，這樣就得到剛度條件如下：|maxfw|max如果如果超過規(guī)定值超過規(guī)定值，即使?jié)M足強(qiáng)度，即使?jié)M足強(qiáng)度要求，也仍然認(rèn)為已經(jīng)失效。要求，也仍然認(rèn)為已經(jīng)失效。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOL

5、OGY12-2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程平面彎曲時中性層的曲率平面彎曲時中性層的曲率zEIxMx)()(1由曲率的概念由曲率的概念22322d1d( )d1 ()dwxxwx 由于小變形由于小變形2d()1dwx221d( )dwxx 上式簡化為：上式簡化為：22d( )dzwM xxEI 即即:CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY22d( )dzwM xxEI 22ddzM xwxEI22d0dwx22d0dwxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12-3 計算梁位移的積分法計算梁位移的積

6、分法 22ddzM xwxEI dddzM xwxCxEI ddzM xwxxCxDEI dzzEIEI wM xxC ddzEI wMxxxCxD CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件右截面左截面,CCww右截面左截面,CC 由于撓曲線是一條連續(xù)而光滑的曲線，因此在撓曲由于撓曲線是一條連續(xù)而光滑的曲線，因此在撓曲線的任一點處（如：彎矩方程的分界處，截面的突變處）左右兩截面線的任一點處（如：彎矩方程的分界處，截面的突變處）左右兩截面的轉(zhuǎn)角和撓度均相等。的轉(zhuǎn)角和撓度均相等。 梁梁上上約束處的已知變形。約束處的已知變

7、形。例例1： 懸臂梁懸臂梁ABP0Aw0A邊界條件邊界條件簡支梁簡支梁xyABPC邊界條件：邊界條件：0Aw0Bw連續(xù)條件：連續(xù)條件：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY右左CCwwCBBlw思考題：思考題：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYlPABx已知：已知：EI, l, P。 求：撓度方程及轉(zhuǎn)角方程，求：撓度方程及轉(zhuǎn)角方程，| |w| |maxmax、| | | maxmax解：解： （1）求支座反力，列彎矩方程）求支座反力，列彎矩方程PFA（2）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程

8、并積分PxPlxRMxMAA)(積分得：積分得： 22d()dM xwPlxxEIEI （3）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)AFAMxyPlMA2d1()d2wPlxxCxEIDCxxlxEIPw)6121(3200AAw)(a)(b代代入入（a)、（b）得：得：00DC處在0 xCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY（4 4）確定撓度方程及轉(zhuǎn)角方程）確定撓度方程及轉(zhuǎn)角方程)21(2xlxEIP)6121(32xlxEIPw)(c)(d（5 5）繪制撓曲軸略圖并求最大撓度和轉(zhuǎn)角）繪制撓曲軸略圖并求最大撓度和轉(zhuǎn)角maxmaxwlPABx

9、AFAMxyEIPlwB33EIPlB22即：即：即：即：EIPlvwB3|3maxEIPlB2|2maxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYx已知：已知：EI, q, l。 求：撓度方程及轉(zhuǎn)角方程，求：撓度方程及轉(zhuǎn)角方程，| |w| |maxmax、| | | maxmax解：解：1、求支座反力，列彎矩方程、求支座反力，列彎矩方程xylABq2qlRRBA222)(xqxqlxM)22(12xqxqlEIw CxqxqlEI)64(132DCxxqxqlEIw)2412(143, 0 x當(dāng)0Aw, lx 當(dāng)0Bw0DEIqlC2432464133

10、2qlxqxqlEIzxqlxqxqlEIwz2424121343ARBRCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY024641332qlxqxqlEIdxdwz時當(dāng)2lx 4max25384lxzqlwwEI zBAEIql243zEIql243max有時當(dāng),2lx 02lxzEIqlw38454ABxxylABqmaxwARBRCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY試求試求圖示簡梁的彎曲變形（抗彎剛度為：圖示簡梁的彎曲變形（抗彎剛度為：EI z）解：解：lPbRA1、求、求支反支反力、寫出彎矩方程；力、寫出

11、彎矩方程；lPaRBAC段：段：11xRMA1xlPbCB段：段：)(222axPxRMA)(22axPxlPbax 10lxa22、 列出撓曲線微分方程，并積分；列出撓曲線微分方程，并積分；AC段：段：12112xlEIPbdxwdz211111dd2zwxPbCxEI l1113116DxCxlEIPbwzCB段：段：222222d()dzzwPbPxxaxEI lEI22222222d()d22zzwxxaPbPCxEI lEI6)(632322axEIPxlEIPbwZZ222DxCx2x1lRARBxwABPab例例4 4CCHINA UNIVERSITY OF MINING AND

12、 TECHNOLOGY12112xlEIPbdxwdz1211112CxlEIPbdxdwz1113116DxCxlEIPbwz)(222222axEIPxlEIPbdxwdzz222222222)(2CEIaxPxlEIPbdxdwzz6)(632322axEIPxlEIPbwZZ222DxCx2x1lRARBxwABPab,01時x; 01w,2時lx 02w,21時當(dāng)axx21ww)(2121ww 21CC 21DD 021 DD)(62221bllEIPbCCz)3(621221xbllEIPbz)(6212211xbllEIPbxwz)0(1ax )(2lxa)3(622222xbl

13、lEIPbz22)(3axbl222222)3(6xxbllEIPbwZ32)(axblCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYx2x1lRARBxwABPab（1）（2）3220blx)43(48|222blEIPbfzl（3）zABEIPl162maxzlxEIPlvf48|22ABCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定線方程，并確定max和和wmax。yaqABCxaaaDEqaqax1

14、x2解：解：由對稱性，只考慮半跨梁由對稱性，只考慮半跨梁ACD111)(qaxxM222211)(2axqqaxwEIqaxwEI 22222)(2)(axqqaxxM)0(1ax )2(2axa12112CxqawEI1113116DxCxqaEIw232222)(62CaxqxqawEI22242322)(246DxCaxqxqaEIw由連續(xù)條件：由連續(xù)條件：212121,wwwwaxx時由邊界條件：由邊界條件：由對稱條件：由對稱條件：得CCDD12120,011wx時得 D100,222wax時得 Cqa23116 例：例：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND T

15、ECHNOLOGY梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：axaxaaxaxEIqwaxxxaEIqawaxaaaxaxEIqaxxaEIqa244)(4240)11(6211)(360)311(622342322131121233222212121最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max AxqaEI1031116EIqawwax819422max2yaqABCxaaaDEqaqax1x2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY畫彎曲梁撓曲軸大致形狀的方法：畫彎曲梁撓曲軸大致形狀的方法：由 確定zEIxMx)

16、()(1撓撓曲軸上各點的曲率與該處彎曲軸上各點的曲率與該處彎矩成正比，因此可由彎矩圖變化矩成正比，因此可由彎矩圖變化規(guī)律確定撓曲軸曲率的變化規(guī)律。規(guī)律確定撓曲軸曲率的變化規(guī)律。010M010M0M符合約束條件和自由邊界條件。符合約束條件和自由邊界條件。集中力偶作用處，彎矩圖有突變，曲率也應(yīng)有突變集中力偶作用處，彎矩圖有突變，曲率也應(yīng)有突變?nèi)羧魪澗卣?fù)號改變，撓曲軸曲率符合改變，撓曲軸出現(xiàn)拐點。彎矩正負(fù)號改變，撓曲軸曲率符合改變，撓曲軸出現(xiàn)拐點。撓曲軸撓曲軸為一條為一條光滑連續(xù)曲線。光滑連續(xù)曲線。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYMxlMaABMC

17、aaaMxABMCaDMaaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例題：例題：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例題：例題：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12.4 12.4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形Axl圖示懸臂梁，任意橫截面的彎矩為：圖示懸臂梁，任意橫截面的彎矩為：22xqFxMMeqFMMMMMAxlxlxleMeMFqAqAFMwEI 一、疊加法思想 為為 單獨單獨作用下的彎矩作用下的彎矩qFMMMM、qFMe、 令令 為為 單獨單獨

18、作用下的撓度作用下的撓度qFMwww、qFMe、qFMqFMMMMwwwEI )(qFMMMM 當(dāng)當(dāng)梁上梁上同時作用有幾種載荷時，可分別求出每一種載荷單獨作用下的變同時作用有幾種載荷時，可分別求出每一種載荷單獨作用下的變形，然后將各個載荷單獨引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時的變形。形，然后將各個載荷單獨引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時的變形。qFMwwww疊加法疊加法CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AN

19、D TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例5：橋：橋式式起重機(jī)的大梁自重為集度起重機(jī)的大梁自重為集度 q 的均布的均布載荷，吊重載荷，吊重 P 為作用于梁中點的集中力。試求大梁為作用于梁中點的集中力。試求大梁跨度中點跨度中點的撓的撓 度。度。（梁的長度梁的長度 l 和抗彎剛度和抗彎剛度 EI 已知）已知）解：解：均布均布載荷載荷 q 引起中點的撓引起中點的撓 度：度：qCf )(PCf )(EIqlqC3845)(4集中載荷集中載荷 P 引起中點的撓引起中點的撓 度：度：EIPlPC48)(3q 和和 P 共同作用引起中點的撓

20、度：共同作用引起中點的撓度：PCqCCfff)()(EIPlEIql48384534xyABl/2Cl/2qPxyABCql/2l/2xyABCPl/2l/2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYaABaq1B1B2B2BaABqaCaABqaC2C2CBB例例6 6：懸臂梁受均布載荷懸臂梁受均布載荷q q作用，作用，抗彎剛抗彎剛度為度為EIEI。試求試求B B截面的轉(zhuǎn)角和撓度截面的轉(zhuǎn)角和撓度。EIqaEIaqB346)2(231EIqafEIqaCC864232EIqaaCCB2474222EIqaBBB2441421EIqaBBB67321EIq

21、aCB6322EIqaEIaqB44128)2(a)(b)對對a圖圖對對b圖圖將將兩種載荷引起的變形疊加兩種載荷引起的變形疊加CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYvvv: :q、l 、EI求求：wC ,BCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY用疊加法求BACw、例：例：解：Cw53844qlEIPlEI348mlEI216A qlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216EIlm6CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 兩根材料相同、抗彎剛

22、度相同的懸臂梁、如圖示，梁的最大撓度是梁的多少倍？2llP2PPlEI33例：例：16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：簡支梁在整個梁上受均布載荷：簡支梁在整個梁上受均布載荷 q 作用作用，若其跨度增加若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？一倍，則其最大撓度增加多少倍？lqIEl qw38454max16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY若圖示梁若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩則力偶矩等于多少？等于多少？例：例：解解：BPaEI 22EIam 2mPa40CHINA U

23、NIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY欲使欲使AD梁梁C點撓度為零，求點撓度為零，求P與與q的關(guān)系。的關(guān)系。例：例：解：解：EIaqwC384)2(54PaaEI()2162 0Pqa56CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：若圖示梁例：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩等于多少？則力偶矩等于多少？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：解：BPaEI 22maEI20mPa4CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY)2

24、(2)2(323EIaPaEIPawB用疊加法求圖示變截面梁用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度截面的撓度 wB 、 wC 。例：例：解：解：EIPaawwBBC33 5123PaEIBPaEIPa aEI22 22()342PaEI順時針 323PaEICCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：求圖示梁例：求圖示梁 C、D兩點的撓度兩點的撓度 wC、 wD。解：解：EIqaEIaqwwDC245384)2(5, 044CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY畫彎曲梁撓曲軸大致形狀的方法：畫彎曲梁撓曲軸大

25、致形狀的方法：由 確定zEIxMx)()(1撓撓曲軸上各點的曲率與該處彎曲軸上各點的曲率與該處彎矩成正比，因此可由彎矩圖變化矩成正比，因此可由彎矩圖變化規(guī)律確定撓曲軸曲率的變化規(guī)律。規(guī)律確定撓曲軸曲率的變化規(guī)律。010M010M0M符合約束條件和自由邊界條件。符合約束條件和自由邊界條件。集中力偶作用處，彎矩圖有突變，曲率也應(yīng)有突變集中力偶作用處，彎矩圖有突變，曲率也應(yīng)有突變?nèi)羧魪澗卣?fù)號改變，撓曲軸曲率符合改變，撓曲軸出現(xiàn)拐點。彎矩正負(fù)號改變，撓曲軸曲率符合改變，撓曲軸出現(xiàn)拐點。撓曲軸撓曲軸為一條為一條光滑連續(xù)曲線。光滑連續(xù)曲線。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND T

26、ECHNOLOGYMxlMaABMCaaaMxABMCaDMaaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY兩邊對兩邊對 x 變量積分一次，有變量積分一次，有CdxEIMdxdw（a a） 截面轉(zhuǎn)角方程截面轉(zhuǎn)角方程將上式兩邊對將上式兩邊對 x 變量再積分一次，有變量再積分一次，有DCxdxdxEIMw)(（b b） 梁的撓曲線方程梁的撓曲線方程對等截面梁，對等截面梁，EI = =常數(shù)，有常數(shù)，有CdxMwEIEIDCxdxdxMEIw)(（c c）式中：式中：C、D 為積分常數(shù)，由為積分常數(shù)，由邊界條件邊界條件或或變形連續(xù)性條件變形連續(xù)性條件確定。確定。2

27、.2.用積分法求撓度與轉(zhuǎn)角方程用積分法求撓度與轉(zhuǎn)角方程EIxMxw)(dd22撓曲線的近似微分方程式撓曲線的近似微分方程式復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)2:2:CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYaaqABC求求中點中點C的撓度？的撓度？qaaABCaa1qABC121CqCq載荷疊加法位移疊加法CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY位移疊加法(逐步剛化法)aABqaCBB例例7 7：懸臂梁受均布載荷懸臂梁受均布載荷q q作用，作用，抗彎剛抗彎剛度為度為EIEI。試求試求B B截面的轉(zhuǎn)角和撓度截面的轉(zhuǎn)角和撓度。EIqaEIma

28、EIqaPCMCC12723424EIqaB841(1)(1)僅考慮僅考慮CBCB的變形的變形, ,即將即將AC段剛化段剛化; ;(2)(2)僅考慮僅考慮ACAC段的變形段的變形, ,即將即將BC段剛化。段剛化。EIqaB631EIqaaEIqaEIqaaCCB12191274342EIqaEIMaEIPaCMCPC322C（3 3）疊加）疊加EIqaBBB2441421EIqaBBB67321aBCq1B1B2BEIqaCB32aaqaP ABC22qaM CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：車床主軸可簡化為圖示簡支外伸梁，車床主軸可簡化

29、為圖示簡支外伸梁，P1 為切削力，為切削力，P2 為齒輪的傳動為齒輪的傳動力。力。試求截面試求截面 B 的轉(zhuǎn)角和端點的轉(zhuǎn)角和端點C 的撓度。的撓度。解：解：P2QMB1CABDP1CB2C截面截面 B 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角MBPBB21PQ aPM1EIlP1622EIMl3EIalPEIlP316122截面截面 C 的的撓度撓度引起的撓度：引起的撓度：BaBC1EIlaPEIalP3162122 BC部分視為懸臂梁，在部分視為懸臂梁，在P1作用下作用下C點的撓度：點的撓度：EIaPC3312 C點的總撓度可視為懸臂梁點的總撓度可視為懸臂梁BC 整體整體轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過B后的撓度：后的撓度：21CCCEIla

30、PEIalP3162122EIaP331EIalaPEIalP3)(162122CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例： 用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：解：CBqaEIqaEI3364順時針BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312順時針 vaqaEIqaEICB448524CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY)2(2)2(323EIaPaEIPawB用疊加法求圖示變

31、截面梁用疊加法求圖示變截面梁B B、C C截面的撓度截面的撓度 w wB B 、 w wC C 。例：例：解：解：EIPaawwBBC33 5123PaEIBPaEIPa aEI22 22()342PaEI順時針 323PaEICCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYaaqABC求求中點中點C的撓度？的撓度？qaaABCaa1qABC121CqCqff載荷疊加法位移疊加法CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY位移疊加法(逐步剛化法)aABqaCBfB例例7 7：懸臂梁受均布載荷懸臂梁受均布載荷q q作用，作

32、用，抗彎剛抗彎剛度為度為EIEI。試求試求B B截面的轉(zhuǎn)角和撓度截面的轉(zhuǎn)角和撓度。EIqaEImaEIqafffPCMCC12723424EIqafB841(1)(1)僅考慮僅考慮CBCB的變形的變形, ,即將即將AC段剛化段剛化; ;(2)(2)僅考慮僅考慮ACAC段的變形段的變形, ,即將即將BC段剛化。段剛化。EIqaB631EIqaaEIqaEIqaaffCCB12191274342EIqaEIMaEIPaCMCPC322C（3 3）疊加）疊加EIqafffBBB2441421EIqaBBB67321aBCq1B1Bf2BfEIqaCB32aaqaP ABC22qaM CHINA UN

33、IVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12-5 簡單靜不定梁簡單靜不定梁一、靜不定梁一、靜不定梁(超靜定梁超靜定梁)的概念的概念不能由靜力平衡方程求出全部未知量的梁不能由靜力平衡方程求出全部未知量的梁 靜不定梁靜不定梁靜靜不定次數(shù)不定次數(shù)未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差多余約束多余約束保持結(jié)構(gòu)靜定保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束多余的約束MFAHAFBM多余約束力多余約束力解除靜不定梁的多余約束，用多余約束力解除靜不定梁的多余約束，用多余約束力代替；變靜不定梁為代替；變靜不定梁為形式上形式上的靜定梁。的靜定梁。原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：（

34、也稱為（也稱為靜定基）靜定基）v對于一個靜不定梁，其對于一個靜不定梁，其相當(dāng)相當(dāng)系統(tǒng)系統(tǒng)的選擇并非唯一。的選擇并非唯一。lABqABqFBBAqCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYMMlABqqBAq()()0BBBqBFwww4()8BqqlwEI 3()3BBBFF lwEI03834EIlFEIqlBqlFB83CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY求圖示靜不定梁的支反力。求圖示靜不定梁的支反力。例：例：解：解：將支座將支座B看成多余約束，變看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：形協(xié)調(diào)條件為：0Bw即R l

35、EIqlEIB34380RqlB38CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 另解另解：將支座：將支座A A對截面轉(zhuǎn)動的約束對截面轉(zhuǎn)動的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：A 0即M lEIqlEIA32403MqlA182CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYABlClq例例8：圖示三支座梁：圖示三支座梁ABC，受均布載荷受均布載荷 q 作用，求該梁的剪力圖、彎矩圖。作用，求該梁的剪力圖、彎矩圖。ABlClABlClqFCABlClqFCCqwCCFw解：求支反力；解：求支反力；

36、變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：0CCCCqFwww45 (2 )384CqqlwEI 3(2 )48CCCFFlwEI代入得：代入得：048)2(384)2(534EIlFEIlqCqlFC45由平衡條件：由平衡條件：FAFB, 0yF02qlFFFBCA, 0BM0222qllFlFCAqlFFBA83CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYABlClqFCFAFBqlFC45qlFFBA83xFSql83ql85ql83ql85xM8/3l21289ql281ql21289qlCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNO

37、LOGYqlABMAFAxMBFBxFByFAyFAx= FBx= 0 , FAy= FBy= q l / 2, MA=MB=m 例例9：求解圖示靜不定梁求解圖示靜不定梁6 63 33 3BAqMAMB變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：0BA024633EIqlEImlEIml2121qlmmmBA qMMABAAAACHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYqlABMAFAxMBFBxFByFAyqlABMBFByFBy= q l / 2,MB=m 變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：0BA06232EIqlEImlEIlFBy2121qlmmmBA qMFABAB

38、yAACHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY maxw max ),500750(ll rad001. 012. 6 梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計為為保證梁的正常工作，需要對其最大轉(zhuǎn)角和最大撓度加以限制保證梁的正常工作，需要對其最大轉(zhuǎn)角和最大撓度加以限制即即要求滿足剛度條件：要求滿足剛度條件： ),100005100003(llCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：車床主軸可簡化為外伸梁，例：車床主軸可簡化為外伸梁，P1 =2kN，P2=1kN 。主軸外徑主軸外徑D=80mm，內(nèi)徑內(nèi)徑d=40