高等數(shù)學(xué)：曲面的構(gòu)造

1、曲面的構(gòu)造曲面的構(gòu)造xyz1 1、柱面、柱面例例: : 分析方程分析方程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程的坐標(biāo)也滿足方程222xyR 解解: :在在 xoy 面上，面上，表示圓表示圓C, 222xyR 222xyR 沿曲線沿曲線C平行于平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面軸的一切直線所形成的曲面故在空間故在空間222xyR 過此點作過此點作平行平行 z 軸的直線軸的直線 l ,稱為稱為圓圓柱面柱面. .對任意對任意 z ,表示圓柱面表示圓柱面. .oC在圓在圓C上任取一點上任取一點 1( , ,0),Mx yl1M( , , )M x y z點點其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程其上

2、所有點的坐標(biāo)都滿足此方程, ,M2l定義定義: :平行定直線并沿定曲線平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線移動的直線 l形成的軌跡叫做形成的軌跡叫做柱面柱面.表示拋物柱面表示拋物柱面,母線平行于母線平行于 z 軸軸;準(zhǔn)線準(zhǔn)線l為為xoy 面上的拋物線面上的拋物線.22yx CC 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線.xy22 xozy3 22221xyab表示母線平行于表示母線平行于z 軸軸的橢圓柱面的橢圓柱面.xyzo4類似可寫出雙曲柱面的方程類似可寫出雙曲柱面的方程一般地一般地,在三維空間二元方程表示柱面在三維空間二元方程表示柱面.方程方程母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線0),( yxFz 軸軸在在x

3、oy 面面x 軸軸0),( zyG0),( xzH在在yoz 面面在在yoz 面面y 軸軸圖形圖形xyzxzyxyz5定義：定義：一條一條平面曲線平面曲線2 2、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.曲線稱為曲線稱為母線母線，定直線稱為，定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 .例例 :61O MO M又建立建立yoz面上曲線面上曲線C 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的的方程方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當(dāng)繞當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時, ,11(,)0f y z 111(0,),My zC

4、 在曲面上任取一點在曲面上任取一點給定給定 yoz 面上曲線面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM221,xyy 即即22(, )0fxyz此時有此時有該點轉(zhuǎn)到該點轉(zhuǎn)到( , )0f y z ozyxCO 71,zz 同同時時思考：當(dāng)曲線思考：當(dāng)曲線 C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？:( , )0Cf y z 22(,)0fyxz oyxz8例：例： 試建立頂點在原點試建立頂點在原點, 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角半頂角為為 的圓錐面方程的圓錐面方程. 解解 ：yoz面上直線面上直線L 的方程為的方程為cotzy 繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)時軸旋轉(zhuǎn)時, ,圓錐面的方程為圓錐面的方程為22cotzxy 2222()zaxy cota 令令xyz兩邊平方兩邊平方L), 0(zyM9例例4. 求坐標(biāo)面求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線22221xzac分別繞分別繞 x軸和軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程方程. 10 xy解解: :繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程為222221xyzac 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程