19-20版第2章22222向量減法運算及其幾何意義

1、2.2.2向量減法運算及其幾何意義學習目標核心素養(yǎng)1理解相反向量的含義，能用相反向 量說出向量減法的意義.(難點) 2掌握向量減法的運算及其幾何意 義，能熟練地進行向量的加減運 算.(重點)3能將向量的減法運算轉化為向量 的加法運算.(易混點)1. 類比數(shù)的運算，自然引入向量的減法 運算是加法運算的逆運算，順利給出向 量減法的三角形法則，培養(yǎng)了學生的數(shù) 學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)2. 通過加法進行向量的加法的學習，提 升學生的數(shù)學運算和邏輯推理能力.自主預習©探新Ml冒j 站週 Ig* 怯痢匚新知初探二1 相反向量(1) 定義：如果兩個向量長度相等，而方向相反，那么稱這兩個向量是相反

2、 向量.(2) 性質(zhì)：對于相反向量有：a + ( a) = 0. 若a, b互為相反向量，則a= b, a+ b= 0. 零向量的相反向量仍是零向量.2. 向量的減法(1) 定義：a b= a+ ( b),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.(2) 作法：在平面內(nèi)任取一點 0,作0A= a, 0B= b,則向量a b= BA,如 圖所示.3. |a|、|a±與|b|三者之間的關系l|a|b|匡 |a+ b| 三 |a|+ |b|；|a|b|醫(yī) |a b|< |a|+ |b|.思考：在什么條件下，|a b匸|a|+|b|?提示當a, b至少有一者為0或a, b非零且反向時

3、成立.L初試身手11.非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是（）A. m= nB. m= nC. |m| = |n|D.方向相反A 由條件可知，當m和且n和時B, C, D項都成立，故選A.2.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是（）A. AC AB= BCB.AD BD= ABC.BD AC= BCD.BD CD = BC如圖，根據(jù)向量減法的三角形法則知A、B、D 均正確，C 中，BD AC=AD AB (AB + AD)= 2AB羽C，故選 C.3.化簡OP QP+ PS+ SP的結果等于（QPB. OQC.SPD. SQ原式二(OP+ PQ) + (PS+ SP) = OQ+ 0 =

4、 OQ.4. 如圖，在？ABCD 中，AB = a，AD = b,用 a，b表示向量 AC，BD,貝U AC, BD=.a+ b b a 由向量加法的平行四邊形法則,及向量減法的運算法則可知AC = a+ b, BD = b a.合作探究®握素春向量減法的幾何意義【例11 如圖所示，四邊形ABCD中，若AB = a, AD = b, BC = c,則DCA. a b+cB. b (a + c)C. a+ b+ cD. ba+c(2)如圖所示，已知向量a, b, c不共線，求作向量a+ b c.思路點撥：利用向量減法和加法的幾何意義，將DC向AB, BC, AD轉化;(2)利用幾何意義

5、法與定義法求出 a+ b c的值. A DC = AC AD = (AB+ BC) AD = a+ c b.(2)解法一：(幾何意義法)如圖所示，在平面內(nèi)任取一點0,作OA= a,AB= b,則0B= a+ b,再作0C = c,則CB = a+ b c.法二：(定義法)如圖所示，在平面內(nèi)任取一點0,作0A= a, AB= b,則OB a+ b,再作BC c,連接 0C,則 0C = a + b c.圖圖求作兩個向量的差向量的兩種思路(1) 可以轉化為向量的加法來進行，如a b,可以先作一b,然后作a+ (- b) 即可.(2) 可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量

6、為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.跟蹤訓練1. 如圖，已知向量a, b, c,求作向量a b c.解法一：先作a b,再作a b c即可.如圖所示，以A為起點分別作向量AB和aC,使Ab a, aC b.連接CB, 得向量CB a b,再以C為起點作向量CD,使CD c,連接DB,得向量DB. 則向量DB即為所求作的向量a b c.H*-b圖圖法二：先作b, c,再作a+ (- b) + (-c),如圖.作 AB= b 和 BC= c；作0A= a,則0C = a b c.向量減法的運算及簡單應用【例2】(1)如圖所示,用a，b表示DB ；c 表示 EC.用b,(2)化簡下列各向

7、量的表達式: AB+ BC AD ； (AB CD) (AC BD); (AC+ B0+ 0A) (DC DO OB).思路點撥：按照向量加法和減法的運算法則進行化簡，進行減法運算時，必 須保證兩個向量的起點相同.解 vBC = a, CD = b, DE = c. DB CB CD BC CD a b. EC CE (CD + DE) b c.(2) AB+ BC AD = AC AD = DC.(AB CD) (ACbD) = (AB+ BD) (AC+ CD) = AD AD = 0.(AC+ BO+ OA)-(DC DO OB)=(AC+ EA) (OC-OB)= BC-BC = 0.

8、一題多解(2)法一：(加法法則)原式=AB CD AC+BD=(AB+ BD) (AC + CD)=AD AD = 0;法二：減法法則(利用相反向量)原式=AB CD AC+BD=(AB AC) + (DC DB) =CB+ BC = 0;法三：減法法則(創(chuàng)造同一起點)原式=AB CD AC+BD=(OB OA) (OD OC) (OC OA) + (OD OB)OB OA OD + OC OC+ OA+ OD 0B= 0.1. 向量減法運算的常用方法可或週過相履向把向駄減楚的返算轉化為加法近算f、運用向狂減法的三瞬形養(yǎng)則.此時方1要注恚兩個向盪慝疽撫同的起卅法J_z'引入點0逆用向童

9、減法的三角形袪則，將各向址起點統(tǒng)一2 向量加減法化簡的兩種形式(1) 首尾相連且為和.(2) 起點相同且為差.解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用.3.與圖形相關的向量運算化簡首先要利用向量加減的運算法則、 運算律，其次要分析圖形的性質(zhì)，通過圖 形中向量的相等、平行等關系輔助化簡運算.越跟蹤訓練2. 化簡下列向量表達式:(1)OM ON + MP Na;(2)(AD BM)+ (BC - MC).解(1)OM ON + MP NA= NM + MP NA= NP NA=AP.(2)(AD BM) + (BC MC) = AD + MB + BC+ CM = AD + (MB +

10、BC + CM) =類型3AD + 0 = AD.向量減法幾何意義的應用探究問題1. 以向量加法的平行四邊形法則為基礎，能否構造一個圖形將a+ b和a b放在這個圖形中?提示：如圖所示平行四邊形 ABCD中，AB = a，AD = b，貝U a+ b= AC，ab= DB.2. 已知向量a, b,那么|a|- |b|與|a±)|及|a|+ |b|三者具有什么樣的大小關系?提示：它們之間的關系為|a|- |b|< |adb|< |a|+ |b|.當a, b有一個為零向量時，不等式顯然成立.當a, b不共線時，作0A= a, AB= b,則a+ b= OB,如圖所示，根據(jù)三角

11、形的性質(zhì),有Ha|- |b|<|a+ b|v|a| + |b|.同理可證 |a|b|v|a b|<a|+ |b|.(3) 當a, b非零且共線時,當向量a與b同向時，作法同上，如圖所示,不妨設|a|>|b|，作法同上,如圖所此時|a+ b|= |a| + |b|當向量a, b反向時，示，此時 |a+ b| = |a|b|.aOa +b'B b rA a®綜上所述,得不等式Ha| |b|< |aib|< |a|+ |b|.【例3】(1)在四邊形ABCD中，AB= DC,若|AD AB|= |BC BA|,則四邊形ABCD是(A .菱形)B .矩形C

12、.止方形D .不確定(2)已知|AB匸6, |AD| = 9,求|AB AD|的取值范圍.思路點撥：先由AB= DC判斷四邊形ABCD是平行四邊形,再由向量減法的幾何意義將AD AB|= |BC BA|變形，進一步判斷此四邊形的形狀.由 |AB|AD|W |AB AD|< |AB|+ |AD|求范圍.(1)BAB= DC,四邊形ABCD為平行四邊形,又 AD-/B|=|BC-BA|,A |BD|= |心四邊形ABCD為矩形.(2)解t |AB|- |AD|W |AB- AD|W |AB|+ |AD|,且AD|= 9, AB| = 6,二 3< |AB- AD|< 15.當AD

13、與AB同向時，AB-AD|= 3;當AD與AB反向時，AB-AD|= 15.Al AD|的取值范圍為3 , 15.母題探究1將本例(2)的條件改為“ AB|= 8, |AD|= 5”，求|BD|的取值范圍.解 因為BD = AD AB, AB|= 8, |AD| = 5,|AD|- |AB|W |AD- AB|W |AD+ |AB|,所以 3< |BD|< 13, 當AB與AD同向時，|BD|= 3;當AB與AD反向時，|BD|= 13.所以|BD的取值范圍是3, 13.2在本例(2)條件不變的條件下，求：AB + AD|的取值范圍. 解由 |AB| |AD|W |AB+ AD|&

14、lt; |AB|+ AD|,當AB與AD同向時，AB + AD|= 15;當AB與AD反向時，AB + AD|= 3.3本例(2)中條件“|AD匸9”改為“|BD|= 9”，求|AD|的取值范圍.解AD =BD-BA,又|BA|=AB|,由 |BD|-|BA|< |BD BA|< |BD|+ |BA|,壩tr方怯1. 用向量法解決平面幾何問題的步驟(1) 將平面幾何問題中的量抽象成向量.(2) 化歸為向量問題，進行向量運算.(3) 將向量冋題還原為平面幾何冋題.2. 用向量法證明四邊形為平行四邊形的方法和解題關鍵(1) 利用向量證明線段平行且相等，從而證明四邊形為平行四邊形，只需證

15、 明對應有向線段所表示的向量相等即可.(2) 根據(jù)圖形靈活應用向量的運算法則，找到向量之間的關系是解決此類問 題的關鍵.匚課堂小結1.向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義，一 AB= BA 就可以把減法轉化為加法.即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.如 a b= a+ ( b).2. 在用三角形法則作向量減法時，要注意“差向量連接兩向量的終點，箭 頭指向被減向量”解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆.3. 以平行四邊形 ABCD的兩鄰邊AB, AD分別表示向量AB= a, AD= b, 則兩條對角線表示的向量為AC = a+ b, BD = b-a, DB= a b,這一結論在以后 應用非常廣泛，應該加強理解并掌握當堂達標®iMNGTANGDAB1.下列等式：0 a= a； 一(一a) = a； a+ ( a)= 0; a+ 0= a； a b= a+ ( b); a+ ( a) = 0.正確的個數(shù)是()A. 3 B. 4C. 5D. 6C 由向量減法、相反向量的定義可知 都正確，錯誤.2 .化簡 BA CA+ DB DC =.0 BA CA+ DB DC=(BA+ AC) + (DB DC)= BC+ CB=0.3. 若 a, b 為相反向量，且 |a|= 1, |b|= 1，貝U|a + b| =, |a b|0 2 因為a, b為