數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)-Z變換

1、光機(jī)電一體化技術(shù)研究所nZ變換nDFT 離散傅里葉變換nFFT 快速傅里葉變換n數(shù)字濾波器光機(jī)電一體化技術(shù)研究所 Z變換n序列序列 對(duì)離散信號(hào)的分析和處理時(shí)，按一定的先對(duì)離散信號(hào)的分析和處理時(shí)，按一定的先后次序排列，在時(shí)間上不連續(xù)的一組數(shù)的后次序排列，在時(shí)間上不連續(xù)的一組數(shù)的集合。集合。 表示為：表示為： ,nx(n)x光機(jī)電一體化技術(shù)研究所Z變換n定義定義序列序列x(n)的的Z變換定義為變換定義為0)()()()()()(nnnnznxnxFZXznxnxFZX光機(jī)電一體化技術(shù)研究所0nTs)nTt ()nT(x) t ().t (x) t (x抽樣信號(hào)的拉氏變換：dte)nTt ()nT(

2、xdte ) t (x) t (xst00nst0ss 對(duì)上式取拉氏變換：交換積分與求和次序：sT0nnsT0nsnTsezz )n(x) z (xzlnT1sez;e )nT(x) s (x或令借助抽樣信號(hào)的拉氏變換引出Z變換光機(jī)電一體化技術(shù)研究所z)n(x)n(x,Z),(ZZ)n(xn1的生成函數(shù)相應(yīng)的值數(shù)值。數(shù)為每一項(xiàng)的系一般為復(fù)變數(shù)洛朗級(jí)數(shù)的特例級(jí)數(shù)的一個(gè)冪變換為的列定義：一個(gè)離散時(shí)間序szesTnnezznxzx 0)()(1T 令0TT2T3T4t) t (xs0234)n(x1n光機(jī)電一體化技術(shù)研究所典型序列的典型序列的Z Z變換變換 單位樣值序列單位樣值序列 單位階躍序列單位

3、階躍序列 斜變序列斜變序列 指數(shù)序列指數(shù)序列 正弦余弦序列正弦余弦序列0)()(:nnznxzX單單nnznxzX)()(:雙雙Z變換定義，典型序列的變換定義，典型序列的Z變換變換光機(jī)電一體化技術(shù)研究所)0(1)()() 1 (0zznnZTnn0()(2)()()( )(63 :(00,)(0,0)nnrmmrmZTnmnm zr zzpmzmz位 移 性 ）)0 (0) 1() 1()1() 3 (101zzzznznnZTnnnn z0m0z0m典型序列的典型序列的Z變換變換光機(jī)電一體化技術(shù)研究所1001 ( )( )(1)11nnnnzZT u nu n zzzzz2021) 1()1

4、 (1)()(zzzznnunnuZTnn)(11)(10azazzazzanuaZTnnnn由此可以看出z變換的基本形式：azz)46p(z,z11得兩邊各乘求導(dǎo)后將上式兩邊分別對(duì)光機(jī)電一體化技術(shù)研究所000000000020sin() / 2 () / 2sin2 cos1jnjjnjjnjnjjzZT ezezZT ezeZTnZTeejzzjzezezzz正弦序列的正弦序列的 Z 變換變換光機(jī)電一體化技術(shù)研究所1cos2)cos(2/)(2/)(cos020000000000zzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj余弦序列的余弦序列的 Z 變換

5、變換光機(jī)電一體化技術(shù)研究所)(cos2)cos(2/)(2/)(cos2020000000000zzzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjnnjnjnjnjn光機(jī)電一體化技術(shù)研究所0)(nnznx1.根據(jù)級(jí)數(shù)理論2.借助于S平面與Z平面的映射3.幾類序列Z變換的收斂域雙邊序列左邊序列右邊序列有限長序列4.例子：.z,z.,)z(X)n(x,z:變換同樣的可有條件下不同序列在不同的收斂變換而對(duì)于雙邊可能的收斂域這時(shí)只有一種一一對(duì)應(yīng)與變換式序列變換對(duì)于單邊說明Z變換的收斂域光機(jī)電一體化技術(shù)研究所nnnaa1lim*比項(xiàng)法：設(shè)不能肯定。級(jí)數(shù)發(fā)散。級(jí)數(shù)收斂。, 1, 1,

6、 1nnnalim)(*設(shè)：柯西準(zhǔn)則撿根法不能肯定。級(jí)數(shù)發(fā)散。級(jí)數(shù)收斂。, 1, 1, 11.根據(jù)級(jí)數(shù)理論光機(jī)電一體化技術(shù)研究所是收斂半徑。之范圍，這里于變換存在時(shí)是指數(shù)階的，則它的且當(dāng)有限的在每個(gè)有限的間隔內(nèi)是如果序列RRzZnnx)(，列之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系指數(shù)階函數(shù)和指數(shù)階序?yàn)橹笖?shù)階函數(shù)。稱時(shí)都有使所有的和時(shí)存在正數(shù)當(dāng)定義：如有一序列)()(,)(nxAanxNnNaAnnxn光機(jī)電一體化技術(shù)研究所（1）有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列）有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn收斂域?yàn)槌耸諗坑驗(yàn)槌?和和 的整個(gè)的整個(gè) 平面平面zR

7、ezImzj)(nx12000nznz 時(shí)，和時(shí)外，所有z值都收斂幾類序列的收斂域光機(jī)電一體化技術(shù)研究所（2）右邊序列：只在）右邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列1nn )(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx收斂半徑收斂半徑圓外為圓外為收斂域收斂域1xRRezImzj光機(jī)電一體化技術(shù)研究所（3）左邊序列：只在）左邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列2nn )(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(l

8、im1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx收斂半徑收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，圓內(nèi)為收斂域，若若 則不包括則不包括z=0點(diǎn)點(diǎn)02n2xRImzjRez光機(jī)電一體化技術(shù)研究所（4）雙邊序列：只在）雙邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，區(qū)間內(nèi)， 有非零的有限值的序列有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圓圓內(nèi)收斂收斂圓圓外外收斂收斂12xxRR12xxRR有環(huán)狀收斂域有環(huán)狀收斂域沒有收斂域沒有收斂域12xxRRImzjRez光機(jī)電一體化技術(shù)研究所)8()()31()(. 3)1()31()(. 2)()31()(. 1, nununxnunxnunx

9、Znnn極圖。并標(biāo)標(biāo)明收斂域，畫出變換求下列序列的onnnn20)31( )(. 4nx光機(jī)電一體化技術(shù)研究所)(31)()1 (nunxn右邊序列右邊序列31311131)(101zzzzzXnn311xR31 z311xR31ImzjRez圓外為收斂域，圓外為收斂域，若若 n0 則不包括則不包括z=0點(diǎn)點(diǎn) 光機(jī)電一體化技術(shù)研究所) 1(31)()2(nunxn左邊序列左邊序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn001311)3(lim2znRzzxnnn收斂半徑收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，圓內(nèi)為收斂域，若若 則不包括則不包括z=0點(diǎn)點(diǎn)0n2xR31Imzj

10、Rez 光機(jī)電一體化技術(shù)研究所)8()(31)()3(nununxn有限長序列有限長序列)()(11)(31)(31783181318131701zzzzzzzXnn收斂域?yàn)槌耸諗坑驗(yàn)槌?0 和和 的整個(gè)的整個(gè) 平面平面zRezImzj3131283180)(82zzezezKjkj8個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)7階極點(diǎn)階極點(diǎn)一階極點(diǎn)一階極點(diǎn) 光機(jī)電一體化技術(shù)研究所)(kf0)31(kk02kk.)z31()z31(z311 .)z2()z2(.z)k(f)z(F312112131kk解：雙雙邊邊序序列列：. 4光機(jī)電一體化技術(shù)研究所22lim212, 1)2(lim1kkkkkkzzzzZ或條件是的正冪

11、無窮級(jí)數(shù)第一項(xiàng)僅含有3131lim1)31(limkkkkkkkzzZ或的負(fù)冪的無窮級(jí)數(shù)第二項(xiàng)僅含有312)(zzF的絕對(duì)收斂域?yàn)楣鈾C(jī)電一體化技術(shù)研究所RezImz的圓環(huán)。的絕對(duì)收斂域?yàn)?12)( zzF312光機(jī)電一體化技術(shù)研究所Z變換與拉普拉斯的關(guān)系1.從 S 平面到 Z 平面的映射zlnT1s jsjrez jTjTjTT)j(sTreezeeezes2T2Teers 光機(jī)電一體化技術(shù)研究所j平面s00r單位圓平面zzReziimj12zjImzRe12平面的映射平面與zs光機(jī)電一體化技術(shù)研究所域特性時(shí)域與拉氏變換四種典型信號(hào)s. 2j0)e1 (s10stj011s1j011s10ja

12、bbs1as1全平面s11ba0t)tt (u) t (u01ttt0001) t (uet11) t(uet) t( ue) t ( uebtat時(shí)限信號(hào)右邊信號(hào)左邊信號(hào)雙邊信號(hào)光機(jī)電一體化技術(shù)研究所0n)n(n0)n(uann0) 1n(uann0)1n(ub)n(uann時(shí)限序列右邊序列左邊序列雙邊序列zRezImj0zRezImj0zRezImj0zRezImj01)n(azzazzbzzazz全平面zaz az bza域特性時(shí)域與離散序列四種典型信號(hào)z. 3光機(jī)電一體化技術(shù)研究所:zs律遵從如下關(guān)系式關(guān)系，其基本規(guī)和時(shí)域波形特征子對(duì)應(yīng)平面極點(diǎn)的位置平面極點(diǎn)的位置、Tjjere)(sTezTerT光機(jī)電一體化技術(shù)研究所單位園光機(jī)電一體化技術(shù)研究所注意圖中對(duì)應(yīng)關(guān)系。為簡(jiǎn)化表達(dá)式取之后有當(dāng)選定.2, 1,2TSsTT2402480sss是多值對(duì)應(yīng)。映射并非單值而將是周期重復(fù)，此后的情況已增至?xí)r，當(dāng)s-z光機(jī)電一體化技術(shù)研究所平面的位置s波形特征平面極點(diǎn)的位置z度幅率頻0虛軸等幅單位圓1r 0右半平面0左半平面0實(shí)軸減幅圓外1r 圓內(nèi)1r 無振蕩增幅)(0 正實(shí)軸)( 共軛上下移水平振蕩頻率呈扇形展開T2s當(dāng)此后將重復(fù)達(dá)到最高頻率負(fù)實(shí)軸光機(jī)電一體化技術(shù)研究所:z. 4變換收斂域小結(jié)拉氏變換和.,zz,S. 1長序列這對(duì)應(yīng)著時(shí)域中是有限平面為有限變換收斂域平面限拉氏變換的