數(shù)字信號處理基礎(chǔ)-Z變換

1、光機電一體化技術(shù)研究所nZ變換nDFT 離散傅里葉變換nFFT 快速傅里葉變換n數(shù)字濾波器光機電一體化技術(shù)研究所 Z變換n序列序列 對離散信號的分析和處理時，按一定的先對離散信號的分析和處理時，按一定的先后次序排列，在時間上不連續(xù)的一組數(shù)的后次序排列，在時間上不連續(xù)的一組數(shù)的集合。集合。 表示為：表示為： ,nx(n)x光機電一體化技術(shù)研究所Z變換n定義定義序列序列x(n)的的Z變換定義為變換定義為0)()()()()()(nnnnznxnxFZXznxnxFZX光機電一體化技術(shù)研究所0nTs)nTt ()nT(x) t ().t (x) t (x抽樣信號的拉氏變換：dte)nTt ()nT(

2、xdte ) t (x) t (xst00nst0ss 對上式取拉氏變換：交換積分與求和次序：sT0nnsT0nsnTsezz )n(x) z (xzlnT1sez;e )nT(x) s (x或令借助抽樣信號的拉氏變換引出Z變換光機電一體化技術(shù)研究所z)n(x)n(x,Z),(ZZ)n(xn1的生成函數(shù)相應(yīng)的值數(shù)值。數(shù)為每一項的系一般為復(fù)變數(shù)洛朗級數(shù)的特例級數(shù)的一個冪變換為的列定義：一個離散時間序szesTnnezznxzx 0)()(1T 令0TT2T3T4t) t (xs0234)n(x1n光機電一體化技術(shù)研究所典型序列的典型序列的Z Z變換變換 單位樣值序列單位樣值序列 單位階躍序列單位

3、階躍序列 斜變序列斜變序列 指數(shù)序列指數(shù)序列 正弦余弦序列正弦余弦序列0)()(:nnznxzX單單nnznxzX)()(:雙雙Z變換定義，典型序列的變換定義，典型序列的Z變換變換光機電一體化技術(shù)研究所)0(1)()() 1 (0zznnZTnn0()(2)()()( )(63 :(00,)(0,0)nnrmmrmZTnmnm zr zzpmzmz位 移 性 ）)0 (0) 1() 1()1() 3 (101zzzznznnZTnnnn z0m0z0m典型序列的典型序列的Z變換變換光機電一體化技術(shù)研究所1001 ( )( )(1)11nnnnzZT u nu n zzzzz2021) 1()1

4、 (1)()(zzzznnunnuZTnn)(11)(10azazzazzanuaZTnnnn由此可以看出z變換的基本形式：azz)46p(z,z11得兩邊各乘求導(dǎo)后將上式兩邊分別對光機電一體化技術(shù)研究所000000000020sin() / 2 () / 2sin2 cos1jnjjnjjnjnjjzZT ezezZT ezeZTnZTeejzzjzezezzz正弦序列的正弦序列的 Z 變換變換光機電一體化技術(shù)研究所1cos2)cos(2/)(2/)(cos020000000000zzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj余弦序列的余弦序列的 Z 變換

5、變換光機電一體化技術(shù)研究所)(cos2)cos(2/)(2/)(cos2020000000000zzzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjnnjnjnjnjn光機電一體化技術(shù)研究所0)(nnznx1.根據(jù)級數(shù)理論2.借助于S平面與Z平面的映射3.幾類序列Z變換的收斂域雙邊序列左邊序列右邊序列有限長序列4.例子：.z,z.,)z(X)n(x,z:變換同樣的可有條件下不同序列在不同的收斂變換而對于雙邊可能的收斂域這時只有一種一一對應(yīng)與變換式序列變換對于單邊說明Z變換的收斂域光機電一體化技術(shù)研究所nnnaa1lim*比項法：設(shè)不能肯定。級數(shù)發(fā)散。級數(shù)收斂。, 1, 1,

6、 1nnnalim)(*設(shè)：柯西準(zhǔn)則撿根法不能肯定。級數(shù)發(fā)散。級數(shù)收斂。, 1, 1, 11.根據(jù)級數(shù)理論光機電一體化技術(shù)研究所是收斂半徑。之范圍，這里于變換存在時是指數(shù)階的，則它的且當(dāng)有限的在每個有限的間隔內(nèi)是如果序列RRzZnnx)(，列之間存在著對應(yīng)關(guān)系指數(shù)階函數(shù)和指數(shù)階序為指數(shù)階函數(shù)。稱時都有使所有的和時存在正數(shù)當(dāng)定義：如有一序列)()(,)(nxAanxNnNaAnnxn光機電一體化技術(shù)研究所（1）有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列）有限序列：在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn收斂域為除了收斂域為除了0和和 的整個的整個 平面平面zR

7、ezImzj)(nx12000nznz 時，和時外，所有z值都收斂幾類序列的收斂域光機電一體化技術(shù)研究所（2）右邊序列：只在）右邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列1nn )(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx收斂半徑收斂半徑圓外為圓外為收斂域收斂域1xRRezImzj光機電一體化技術(shù)研究所（3）左邊序列：只在）左邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列2nn )(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(l

8、im1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx收斂半徑收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，圓內(nèi)為收斂域，若若 則不包括則不包括z=0點點02n2xRImzjRez光機電一體化技術(shù)研究所（4）雙邊序列：只在）雙邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，區(qū)間內(nèi)， 有非零的有限值的序列有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圓圓內(nèi)收斂收斂圓圓外外收斂收斂12xxRR12xxRR有環(huán)狀收斂域有環(huán)狀收斂域沒有收斂域沒有收斂域12xxRRImzjRez光機電一體化技術(shù)研究所)8()()31()(. 3)1()31()(. 2)()31()(. 1, nununxnunxnunx

9、Znnn極圖。并標(biāo)標(biāo)明收斂域，畫出變換求下列序列的onnnn20)31( )(. 4nx光機電一體化技術(shù)研究所)(31)()1 (nunxn右邊序列右邊序列31311131)(101zzzzzXnn311xR31 z311xR31ImzjRez圓外為收斂域，圓外為收斂域，若若 n0 則不包括則不包括z=0點點 光機電一體化技術(shù)研究所) 1(31)()2(nunxn左邊序列左邊序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn001311)3(lim2znRzzxnnn收斂半徑收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，圓內(nèi)為收斂域，若若 則不包括則不包括z=0點點0n2xR31Imzj

10、Rez 光機電一體化技術(shù)研究所)8()(31)()3(nununxn有限長序列有限長序列)()(11)(31)(31783181318131701zzzzzzzXnn收斂域為除了收斂域為除了 0 和和 的整個的整個 平面平面zRezImzj3131283180)(82zzezezKjkj8個零點個零點7階極點階極點一階極點一階極點 光機電一體化技術(shù)研究所)(kf0)31(kk02kk.)z31()z31(z311 .)z2()z2(.z)k(f)z(F312112131kk解：雙雙邊邊序序列列：. 4光機電一體化技術(shù)研究所22lim212, 1)2(lim1kkkkkkzzzzZ或條件是的正冪

11、無窮級數(shù)第一項僅含有3131lim1)31(limkkkkkkkzzZ或的負(fù)冪的無窮級數(shù)第二項僅含有312)(zzF的絕對收斂域為光機電一體化技術(shù)研究所RezImz的圓環(huán)。的絕對收斂域為312)( zzF312光機電一體化技術(shù)研究所Z變換與拉普拉斯的關(guān)系1.從 S 平面到 Z 平面的映射zlnT1s jsjrez jTjTjTT)j(sTreezeeezes2T2Teers 光機電一體化技術(shù)研究所j平面s00r單位圓平面zzReziimj12zjImzRe12平面的映射平面與zs光機電一體化技術(shù)研究所域特性時域與拉氏變換四種典型信號s. 2j0)e1 (s10stj011s1j011s10ja

12、bbs1as1全平面s11ba0t)tt (u) t (u01ttt0001) t (uet11) t(uet) t( ue) t ( uebtat時限信號右邊信號左邊信號雙邊信號光機電一體化技術(shù)研究所0n)n(n0)n(uann0) 1n(uann0)1n(ub)n(uann時限序列右邊序列左邊序列雙邊序列zRezImj0zRezImj0zRezImj0zRezImj01)n(azzazzbzzazz全平面zaz az bza域特性時域與離散序列四種典型信號z. 3光機電一體化技術(shù)研究所:zs律遵從如下關(guān)系式關(guān)系，其基本規(guī)和時域波形特征子對應(yīng)平面極點的位置平面極點的位置、Tjjere)(sTezTerT光機電一體化技術(shù)研究所單位園光機電一體化技術(shù)研究所注意圖中對應(yīng)關(guān)系。為簡化表達(dá)式取之后有當(dāng)選定.2, 1,2TSsTT2402480sss是多值對應(yīng)。映射并非單值而將是周期重復(fù)，此后的情況已增至?xí)r，當(dāng)s-z光機電一體化技術(shù)研究所平面的位置s波形特征平面極點的位置z度幅率頻0虛軸等幅單位圓1r 0右半平面0左半平面0實軸減幅圓外1r 圓內(nèi)1r 無振蕩增幅)(0 正實軸)( 共軛上下移水平振蕩頻率呈扇形展開T2s當(dāng)此后將重復(fù)達(dá)到最高頻率負(fù)實軸光機電一體化技術(shù)研究所:z. 4變換收斂域小結(jié)拉氏變換和.,zz,S. 1長序列這對應(yīng)著時域中是有限平面為有限變換收斂域平面限拉氏變換的