導數(shù)與微分的定義課件

1、第二章導數(shù)與微分微積分學的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學家 Leibniz 導數(shù)導數(shù) 描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具 (從微觀上研究函數(shù))導數(shù)思想最早由法國數(shù)學家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數(shù)學家 Newton第一節(jié)1.導數(shù)和微分的定義一、導數(shù)的定義一、導數(shù)的定義四、導數(shù)的幾何意義四、導數(shù)的幾何意義三、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系三、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系二、單側導數(shù)二、單側導數(shù)五、微分五、微分一、一、 引例引例1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tfs 0t則 到 的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速

2、度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運動 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyC NT0 xM在 M 點處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當 時)割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 兩個問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy C NT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量為函數(shù)增量與

3、自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題變化率問題二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義定義定義1 . 設函數(shù))(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有

4、定義 , 在點0 x處可導可導, 在點0 x的導數(shù)導數(shù). 運動質(zhì)點的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在 時刻的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線)(:xfyC在 M 點處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點 不可導. 0 x若,lim0 xyx也稱)(xf在0 x若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導,此時導數(shù)值構成的新函數(shù)稱為導函數(shù).記作:;y; )(xf ;ddxy.d)

5、(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就說函數(shù)就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導. 的導數(shù)為無窮大 .由定義求導數(shù)的步驟);()() 1 (xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限一些基本初等函數(shù)的導數(shù) 常數(shù)函數(shù)的導數(shù) 冪函數(shù)的導數(shù) 正（余）弦函數(shù)的導數(shù) 對數(shù)函數(shù)的導數(shù) 指數(shù)函數(shù)的導數(shù)常數(shù)函數(shù)的導數(shù)常數(shù)函數(shù)的導數(shù).)()(的導數(shù)的導數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解0()( )( )limxf xxf xfxx 0limxCCx . 0 ( )0.C 注注：.)()(, 0) )(000處處的的導導數(shù)數(shù)

6、值值在在點點表表示示函函數(shù)數(shù)而而xxxfxfxf 例例2.正弦函數(shù)的導數(shù)正弦函數(shù)的導數(shù).)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設設函函數(shù)數(shù)解解0sin()sin(sin )limxxxxxx 0sin2lim cos()22xxxxx .cos x (sin )cos .xx 44cos)(sin xxxx.22 所以所以(cos )sin .xx 同理可得同理可得例例1.例例3. 求函數(shù))N()(nxxfn解解:()( )f xxf xx ( )fx limnnxaxxxx 0lim(x 21()nxxx32()nxxx 1)nx1nnx冪函數(shù)的導數(shù)0limx 10()nx

7、xx 的導數(shù)1()nnxnx 更一般地更一般地1()()xxR說明：說明：對一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）對數(shù)函數(shù)的導數(shù).),(log的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)10aaxya解解0log ()loglimaaxxxxyx 1(ln).xx 0log (1)1limaxxxxxx 01lim log (1)xxaxxxx 11 1log.lnaexxa1(log)lnaxxa例例4.指數(shù)函數(shù)的導數(shù).)1, 0()(的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaaxfx解解0()limxxxx

8、xaaax 01limxxxaax ln .xaa()ln .xxaaa ().xxee 例例5.（見（見1-4函數(shù)連續(xù)性的例函數(shù)連續(xù)性的例3 ）01limlnxxaax在點0 x的某個右右 鄰域內(nèi)五、五、 單側導數(shù)單側導數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導數(shù)導數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 處有,1)0(f1)0(fxyoxy 定義定義2 . 設函數(shù)有定義,存在,0 xx0 xx定理定理2. 函數(shù)

9、在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在 , 則稱)(xf在開區(qū)間 內(nèi)可導,),(ba在閉區(qū)間 上可導.,ba可導的充分必要條件是且處可導在點xxf)(四、四、 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系定理定理1.處連續(xù)在點xxf)(證證: 設)(xfy 在點 x 處可導,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù))(xfy 在點 x 連續(xù) .即1sin, 0,( )0, 0.xxf xxx0

10、x 在處的連續(xù)但不可導。注意注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導連續(xù)未必可導.證31lim10(1),xxf 例例1:, 1)(3 xxf1x 處連續(xù)但不可導在試證1x 處連續(xù)。在0(1)(1)limxfxfx 又300limxxx 1x 處不可導。在例例2:01/1xy31yx yx01分段函數(shù)在分段點的可導性.,),(),()(000可可導導性性的的討討論論在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxxxxxxxf 000()()limxf xxf xx 000()()limxxxxx 0()fx0()fx000()()limxf xxf xx 000()()limxxxxx ,)()( )( , )( axf

11、xfxfxf0000都都存存在在且且若若.)( , )( axfxxf00且且可可導導在在點點則則解解yx xyo(0)(0),xfxfxx 00(0)(0)limlimxhfxfxxx , 1 00(0)(0)limlimxxfxfxxx . 1 ),0()0( ff即即.0)(點點不不可可導導在在函函數(shù)數(shù) xxfy例例6.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf7. 設0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f0sin(0)0limhhh1)0(f0(0)0limhahha故1a時,1)0( f此時

12、)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) .三、三、 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .xyo0 x0 xyox曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0

13、時 xfo( )yf x 0()Tfx 0 x切線切線法線法線xy例8， 求曲線1yx 在1(,2)2處的切線方程和法線方程。解：21211( )42xfx 切線方程：124()2yx 法線方程：112()42yx一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA0 xx面積的增量為2200()Axxx 20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當 x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其的微分

14、微分,定義定義: 若函數(shù))(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 可微的充要條件充要條件是處可導，在點0)(xxfy )( xoxA則xxfy)(d0在點0 x可微可微,定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點 的可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x

15、且, )(0 xfA即xxfy)(d0定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點 的可導,0 x)0)(0時 xf則說明說明:0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當故當微分的幾何意義

16、xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xydyxtan當 很小時,xyyd時，當xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xddyx xd記例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P66表)又如又如,內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 導數(shù)的實質(zhì):3. 導數(shù)的幾何意義:4. 可導必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導;5. 已學求導公式 :6. 判斷可導性不連續(xù), 一定不可導.直接用導數(shù)定義;看左右導數(shù)是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cos xaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的極限;切線的斜率;思考與練習思考與練習1. 函數(shù) 在某點 處的導數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)系:0)(xxxf)(0 xf 注