解析幾何的綜合應(yīng)用教師版

1、橢圓與圓的綜合問題x2y213例1 設(shè)橢圓+ = 1（>/9>0）的左焦點為f,上頂點為a ,其離心率為一，b（色0）過人5f三點的圓c恰 tr lr22好與直線/:% + v3j + 3 = 0相切，（1）求橢圓的方程;（2）已知點m（3 +巧,2）,點p位橢圓上的一個動點，求麗莎 的取值范圍。x2 y2解：（1） + = 143（2）設(shè)p（兀,y）則麗=（兀一3,歹）,而=（巧,2）.麗而=屈+ 2歹-疝x = 2cos0廠.八則y =sin0 bp bm = 2y3 coso + +2舲 sin & - 3巧=2拆sin（& + 彳）- 3能:,bp bme

2、-2a/6 - 3巧,2亦-33 法二：線性規(guī)劃兀2例2 已知a,5c均在橢圓a/: + / =1（>1）上直線ab .ac分別過橢圓的左右焦點當(dāng)ac斤耳=0 2pf的最大值.時，有9afl af2=afl . （i）求橢圓m的方程；（ii）設(shè)p是橢圓m上的任一點，ef為圓n :/+© 2尸二1的任一條直徑，求pe+解：（1）因為ac ff2=0,所以有ac丄片場 所以mff2為直角三角形；可coszfja坊=卜/寸則有9af-所以，ci2af2 =9 閘卜/寸cos z恥鬥=9 曲=阿2 =網(wǎng)| 網(wǎng)卜3|閥又 afa+af2在 aaff2 中有af=af即2+ 4(亍_1),

3、解得 / =2v-2 所求橢圓m方程為+ / =1(ii) pe+2 可2制阿22p是橢圓m上的任一點，設(shè)p（x0,y0）,貝ij有乞+兒2= 1即%02 =2-2yjd0fapb x又 2（0,2）,所以 np = x（）2 + （y（）- 2=-伉 _ 2）2 +10而y°w-1,1,所以當(dāng)兒=1時，麗彳取最大值9故pe+pf的最大值為6.2 2例3：已知半橢圓亠+ £ = 1 (y » 0)和半圓x2 + y2= b2(y w 0)組成曲線c ,/r 02 2其中a>b>0；如圖，半橢圓d + £ = l(，no)內(nèi)切于矩形abcl，且

4、cd交y軸于點g ,點p是半圓7 rx2 4- / = b y<0)±異于a,b的任意一點，當(dāng)點p位于點a/()時，agp的面積最大.(1)求曲線c的方程;(2)連pc、pd交ab分別于點e、f ,求證：ae2 4- bf2為定值.3.解:(1)己知點m(，-3)在半圓x2 + y2=/?2(y<()±,所以()2+(-)2 =z?2,又b>0,所以b = lf當(dāng)半圓x2 + /= hy < 0)在點p處的切線與直線ag平行時，點p到直線ag的距離最大，此時aagp的面積取得最大值，故半圓x2 + /= by < 0)在點m處的切線與直線ag平

5、行，所以 om 丄 ag,又 kom=所以 g=5/2=-,又 b = ,所以 a =邁,(4 分)-02b所以曲線 c 的方程為 x2+- = l(y>0) x2+/=l(y<0)o(2)點c(1,a/2),點d(1,血)，設(shè)尺心兒)，貝u有直線pc的方程為y%(兀_1),無)-1令丿=0,得觀=1-血區(qū)；),所以ae = 2_m。：)；北-血兒-血直線pd的方程為y-y/2 =(兀 + 1),令y = 0,得尸=一1 一皿()+1)>0-2所”2+ =則ae2 + bf2 = l2血(兀0)+2+血匸)如+14兀：+4(y0 ->/2)2又由丘+泌=1,得丘=1一朮

6、，代入上式得8_4尤 | 8血 | 8 = 8_4y：+8v(yo_>/) | $ (y()2 y()(>o -v2)2=4(y()_f)-+8 = 4,所以 ae2 + bf2 為定值。(>o-v2)2x2v2例4.已知橢圓 一+丄=1的右焦點為人右準(zhǔn)線為/,且直線y =兀與/相交于/點. m + m m(i) 若。0經(jīng)過0、f、力三點，求oc的方程；(ii) 當(dāng)加變化時，求證：oc經(jīng)過除原點0外的另一個定點；(iii) 若af ab<5時，求橢圓離心率幺的范圍.4.解：(i) a2 = in1 +m,b2 = m, /. c2 = tv2,即 c = "7

7、,/. f(m, 0),準(zhǔn)線 x = 1 + m, /. a(1 + % 1 + m) 設(shè)oc的方程為x2 + /+zir + £y + f = 0,將0、f、/!三點坐標(biāo)代入得：f=0d = -m.*.qc的方程為 f + y -mv-(2 + m)y = 0e =-2 - mf = 0< m2 + dm = 0,解得 <2 + 2加+£) + £* = 0(ii)設(shè)點 b 坐標(biāo)為(#,q),則 p2-妙一(2 + /7?)q = o,整理得：0 = -1 q = p2 +t?2 -2q-m(p-q) = 0對任意實數(shù)m都成立 + g = 0 i 2

8、2 ° 解得p + q 2q 0故當(dāng)加變化時，oc經(jīng)過除原點。外的另外一個定點(1,1)(iii )由 (1,1)、f(m,0). a(1 +1 + m) w af = (-1, -1 - m), ab = (-2 - m, -m)af-ab = m2 + 2m+2<5, (h軍得-3<m<+m>0小,0 < m < 1m > 0又橢圓的離心率£=(0 < m < 1 ):橢圓的離心率的范圍是0 v幺 22 2例5.已知橢圓 l + l = l（ab0）的左、右焦點分別為耳，兄，其半焦距為c cr zr+ y2=01.

9、（1）若p是圓m上的任意一點，求證：竺為定值；9pf2m的方程為/v、25cxi 3丿(2)若橢圓經(jīng)過圓上一點q，且coszf, =,求橢圓的離心率;16(3)解:在（2）的條件下，若oq = - （o為坐標(biāo)原點），求圓m的方程.（1）設(shè)p（x9 y）是圓m上任意一點,則pf2 / 2 2 （x + c）2 +rr, _x + c） + y _9朋2飛-沙+廠（尸+喚'795cx3丿5cx3y4.,理=2.pf?(2)在 fxqf2 中，ff2 = 2c，點 q 在圓上.設(shè) qf = 2m, qf2 = m,則心=色加,22即：m = a曲4c，= 4m2-2 - 2m m cos z

10、flqf2,得：4c2 = 2說2,4c2 =/,.離心率£ = £ = _!_4a 2邁=西+亦,何=|e|312z. 4x = 4m2 +7772 4- 2 - 2m - m - ,m2 = ,m =.i 32嚴(yán)嚴(yán)1,.所求圓的方程皿91693216+ 廠二一.9例6設(shè)橢圓c:= l（a>b>0）的上頂點為a，橢圓c上兩點p, q在兀軸上的射影分別為左焦點£和右焦點3毘，直線pq的斜率為亍，過點a且與人仟垂直的直線與x軸交于點b, af.b的外接圓為圓m.（1）求橢圓的離心率；1 9 1 °直線3x + 4y + 0= 0與圓m相交于e,f兩點，且memf = - -a21求橢圓方程；42（3）設(shè)點7v（o,3）在橢圓c內(nèi)部，若橢圓c上的點到點n的最遠(yuǎn)距離不大于6© ,求橢圓c的短軸長的取值范圍.6.解：（1）由條件可知p -c-b23_1因為kpq=,所以得：e=a（0,v5c）片（c,0）,b（3c,0）,從而 m（c,o）2(2)由(1)可知，a = 2c,h = y/3c,所以, 半徑為a,因為仏皿"#所以*即,可得：m到直線距離譬x2 y2從而，求!llc = 2,所以橢圓方程為：一 +丄=1；9分16 12（3）因為點n在橢圓內(nèi)部，