高中數(shù)學(xué) 函數(shù)定義域

1、實(shí)用文檔 文案大全 函數(shù)的三要素： 對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域 只有當(dāng)這三要素完全相同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。 例：判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么？ 1 3)5)(3(1?xxxy 52?xy 解：不是同一函數(shù)，定義域不同 2。 111?xxy )1)(1(2?xxy 解：不是同一函數(shù)，定義域不同 3。 xxf?)( 2)(xxg? 解：不是同一函數(shù)，值域不同 4xxf?)( 33)(xxF? 解：是同一函數(shù) 5 21)52()(?xxf 52)(2?xxf 解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同 關(guān)于復(fù)合函數(shù) 設(shè) f(x)=2x?3 g(x)=x2+2 則稱 fg(x)（或g

2、f(x)）為復(fù)合函數(shù)。 fg(x)=2(x2+2)?3=2x2+1 gf(x)=(2x?3)2+2=4x2?12x+11 例：已知：f(x)=x2?x+3 求：f (x1) f(x+1) 解：f (x1 )=(x1)2 ?x1+3 f(x+1)=(x+1)2?(x+1)+3=x2+x+3 1. 函數(shù)定義域的求法 ?分式中的分母不為零； ?偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零； ?指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一； ?對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。 ? 正切函數(shù)tan.(,)2yxxRxkk?且 ?余切函數(shù)cotyx? ?,xRxkk?且 ?反三角函數(shù)的定義域(有些地方不考反三角,可以不理

3、) 函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是,22?， 函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函數(shù)yarctgx的定義域是 R ，值域是(,)22?， 函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, ) . 注意， 實(shí)用文檔 文案大全 1. 復(fù)合函數(shù)的定義域。 如：已知函數(shù)()fx的定義域?yàn)椋?，3），則函數(shù)()(1)(2)Fxfxfx?的定義域。1(1,3)2(1,3)xx? 2. 函數(shù)()fx的定義域?yàn)?,)ab,函數(shù)()gx的定義域?yàn)?,)mn, 則函數(shù)()fgx的定義域?yàn)?)(,)(,)gxabxmn?，解不等式，最后結(jié)果才是 3.這里最容易犯錯(cuò)

4、的地方在這里： 已知函數(shù)(1)fx?的定義域?yàn)?1,3),求函數(shù)()fx的定義域；或者說(shuō)，已知函數(shù)(1)fx?的定義域?yàn)?3,4), 則函數(shù)(21)fx?的定義域?yàn)開(kāi)? 一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成 設(shè)()ugx?是A到B的函數(shù)，()yfu?是'B到'C上的函數(shù)，且B'B?，當(dāng)u取遍B中的元素時(shí)，y取遍C，那么()yfgx?就是A到C上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)()yfx?和內(nèi)函數(shù)()ugx?復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。 說(shuō)明： 復(fù)合函數(shù)的定義域，就是復(fù)合函數(shù)()yfgx?中x的取值范圍。 x稱為直接變量，u稱為中間變量，u的取值范圍即為()gx的值域。 )(xgf與)(xfg表示不同的

5、復(fù)合函數(shù)。 例2： 若函數(shù))(xf的定義域是0，1，求)21(xf?的定義域； 若)12(?xf的定義域是-1，1，求函數(shù))(xf的定義域； 已知)3(?xf定義域是?5,4?，求)32(?xf定義域 要點(diǎn)1：解決復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，一般先將復(fù)合函數(shù)分解，即它是哪個(gè)內(nèi)函數(shù)和哪個(gè)外函數(shù)復(fù)合而成的 解答： 函數(shù))21(xf?是由A到B上的函數(shù)xu21?與B到C上的函數(shù))(ufy?復(fù)合而成的函數(shù) ?函數(shù))(xf的定義域是0，1， B=0,1，即函數(shù)xu21?的值域?yàn)?，1 1210?x，021?x ，即210?x， 函數(shù))21(xf?的定義域0 ，21 實(shí)用文檔 文案大全 函數(shù))12(?xf是由A到B上的

6、函數(shù)12?xu與B到C上的函數(shù))(ufy?復(fù)合而成的函數(shù) ?)12(?xf的定義域是-1，1， A=-1,1，即-11?x， 1123?x,即12?xu的值域是-3，1， )(xfy?的定義域是-3，1 要點(diǎn)2：若已知)(xf的定義域?yàn)锳，則)(xgf的定義域就是不等式Axg?)(的x的集合；若已知)(xgf的定義域?yàn)锳，則)(xf的定義域就是函數(shù))(xg )(Ax?的值域。 函數(shù))3(?xf是由A到B上的函數(shù)3?xu與B到C上的函數(shù))(ufy?復(fù)合而成的函數(shù) )3(?xf?的定義域是-4，5), A=-4,5)即54?x，831?x即3?xu的值域B=-1，8） 又)32(?xf是由'

7、;A到'B上的函數(shù)32'?xu與B到C上的函數(shù))(ufy?復(fù)合而成的函數(shù)，而'BB?,從而32'?xu的值域)8,1'?B 8321?x ,1122?x 2111?x )32(?xf的定義域是1 ，211） 例4 ：已知函數(shù)xxxf?1)(,)1(?x 求)(xf的值域。 分析：令1)(?xxu，)1(?x； 則有1)(2?uuug，)0(?u 復(fù)合函數(shù))(xf 是由1)(?xxu與1)(2?uuug復(fù)合而成，而1)(2?uuug，)0(?u的值域即)(xf的值域，但1)(2?uuug的本身定義域?yàn)镽,其值域則不等于復(fù)合函數(shù))(xf的值域了。 2求有關(guān)復(fù)

8、合函數(shù)的解析式， 例6已知 ,1)(2?xxf求)1(?xf； 已知 1)1()1(2?xxf，求)(xf 例7 已知xxxf1)1(? ，求)(xf； 已知221)1(xxxxf?，求)1(?xf 要點(diǎn)3： 實(shí)用文檔 文案大全 已知)(xf求復(fù)合函數(shù))(xgf的解析式，直接把)(xf中的x換成)(xg即可。 已知)(xgf求)(xf的常用方法有：配湊法和換元法。 配湊法就是在)(xgf中把關(guān)于變量x的表達(dá)式先湊成)(xg整體的表達(dá)式，再直接把)(xg換成x而得)(xf。 換元法就是先設(shè)txg?)(，從中解出x（即用t表示x），再把x（關(guān)于t的式子）直接代入)(xgf中消去x得到)(tf，最后

9、把)(tf中的t直接換成x即得)(xf，這種代換遵循了同一函數(shù)的原則。 例8已知)(xf是一次函數(shù)，滿足172)1(2)1(3?xxfxf，求)(xf； 已知xxfxf4)1(2)(3?，求)(xf 要點(diǎn)4： 當(dāng)已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時(shí)，一般用待定系數(shù)法。 若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組、消參的思想方法 求函數(shù)的解析式。已知)(xf滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除)(xf是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如)(xf? 、)1(xf等，必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造出其他等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出)(xf。 三、總結(jié)： 復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成； 設(shè)函數(shù))(ufy?，)(xgu?，則我們稱)(xgfy?是

10、由外函數(shù))(ufy?和內(nèi)函數(shù))(xgu?復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。其中x被稱為直接變量，u被稱為中間變量。復(fù)合函數(shù)中直接變量x的取值范圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義域，中間變量u的取值范圍，即是)(xg的值域，是外函數(shù))(ufy?的定義域。 有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法： 定義域求法： 求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式（由bxga?)(解x）；求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范圍（由bxa?求)(xg的值域）。已知一個(gè)復(fù)合函數(shù)求另一個(gè)復(fù)合函數(shù)的定義域，必須先求出外函數(shù)的定義域。特別強(qiáng)調(diào)，此時(shí)求出的外函數(shù)的定義域一定是前一個(gè)復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的值域，例2（3）反映明顯。 解析式求法：待定系數(shù)法

11、、配湊法、換元法、解方程組消元法 2. 函數(shù)值域的求法 實(shí)用文檔 文案大全 （1）、直接觀察法 對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，如正比例,反比例,一次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),等等, 其值域可通過(guò)觀察直接得到。 例 求函數(shù)1,1,2yxx?的值域 例2. 求函數(shù)x3y?的值域。 解：0x? 3x3,0x? 故函數(shù)的值域是：3,? （2）、配方法 配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)2,1x,5x2xy2?的值域。 解：將函數(shù)配方得：4)1x(y2? 2,1x? 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，4ymin?，當(dāng)1x?時(shí)，8ymax? 故函數(shù)的值域是：4，8 （3）、根判別式法 對(duì)二

12、次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡(jiǎn) 如: 實(shí)用文檔 文案大全 .112.22222222ba y型：直接用不等式性質(zhì)k+xbxb. y型,先化簡(jiǎn)，再用均值不等式xmxnx1 例：y1+xx+xxmxnc y型 通常用判別式xmxnxmxnd. y型 xn 法一：用判別式 法二：用換元法，把分母替換掉xx1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1? 例4. 求函數(shù)22x1xx1y?的值域。 解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程 0x)1y(x)1y(2? （1）當(dāng)1y?時(shí)，Rx? 0)1y)(1y(4)1(2?

13、解得：23y21? （2）當(dāng)y=1時(shí)，0x?，而?23,211 故函數(shù)的值域?yàn)?23,21 4、反函數(shù)法(原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域) 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域。 例 求函數(shù)3456xyx?值域。 346456345635xyyxyyxxxy?,分母不等于0,即35y? 5、函數(shù)有界性法 實(shí)用文檔 文案大全 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定函數(shù)的值域。 我們所說(shuō)的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。 例. 求函數(shù)3xsinxcosy?的值域。 解：由原函數(shù)式可得：y3xcosxsiny? ，可化為：y3)x(xsin

14、1y2? 即1yy3)x(xsin2? Rx? 1,1)x(xsin? 即11yy312? 解得：42y42? 故函數(shù)的值域?yàn)?42,42 6.倒數(shù)法 有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過(guò)來(lái)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況 例 求函數(shù)23xyx?的值域 2320121112202222012時(shí)，時(shí)，=00xyxxxxyyxxxyy? 7. 函數(shù)單調(diào)性法 例. 求函數(shù)1x1xy?的值域。 解：原函數(shù)可化為：1x1x2y? 令1xy,1xy21?，顯然21y,y在,1?上為無(wú)上界的增函數(shù) 實(shí)用文檔 文案大全 所以1yy?，2y在,1?上也為無(wú)上界的增函數(shù) 所以當(dāng)x=1時(shí)，21yyy? 有最小值2 ，原函

15、數(shù)有最大值222? 顯然0y? ，故原函數(shù)的值域?yàn)?,0( 7. 換元法 通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型， 例11. 求函數(shù)1xxy?的值域。 解：令t1x?，)0t(? 則1tx2? 43)21t(1tty22? 又0t?，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 當(dāng)0t?時(shí)，1ymin? 當(dāng)0t?時(shí)，?y 故函數(shù)的值域?yàn)?,1? 例14. 求函數(shù))1x)(cos1x(siny? ，?2,12x的值域。 解：)1x)(cos1x(siny?1xcosxsinxcosxsin? 令txcosxsin? ，則)1t(21xcosxsin2? 22)1t(211

16、t)1t(21y? 由)4/xsin(2xcosxsint? 且?2,12x 可得：2t22? 當(dāng)2t? 時(shí)，223ymax? ，當(dāng)22t? 時(shí)，2243y? 實(shí)用文檔 文案大全 故所求函數(shù)的值域?yàn)?223,2243。 8. 數(shù)形結(jié)合法 例17. 求函數(shù)5x4x13x6xy22?的值域。 解：原函數(shù)可變形為： 2222)10()2x()20()3x(y? 上式可看成x軸上的點(diǎn))0,x(P到兩定點(diǎn))1,2(B),2,3(A?的距離之和， 由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x 軸的交點(diǎn)時(shí)，43)12()23(|AB|y22min?， 故所求函數(shù)的值域?yàn)?43? 10. 一一映射法 原理：因?yàn)?0c(dcxbaxy?在定義域上x與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以 求另一個(gè)變量范圍。 例21. 求函數(shù)1x2x31y?的值域。 解：定義域?yàn)?21x21x|x或 由1x2x31y? 得3y2y1x? 故213y2y1x? 或213y2y1x? 解得