解三角形中相關(guān)的取值范圍問題

1、解決與三角形相關(guān)的取值范圍問題例仁在銳角VABC中，A 2B，則C的取值范圍是 例2:若VABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列，a,b,c所對(duì)的角依次為A, B,C，則sin B cosB的取值范圍是例 3:在 VABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 a cosC, b cos B, c cos A成等差數(shù)列。（1）求B的大小。（2）若b 5，求VABC周長的取值范圍。例4：在VABC 中, a2 b2 c2 |ab，若VABC的外接圓半徑為竽，則VABC的面積的最大值為例5： （2008,江蘇）滿足AB 2, AC .2BC的VABC的面積的最大值是例6 :已知角A, B

2、,C是VABC三個(gè)內(nèi)角，a,b,c是各角的對(duì)邊，向量(5，c°s 一)，且 m n8 2uA B rm (1 cos(A B),cos )， n(1)求 tan A tan B 的值。求absinC2的最大值a b c通過以上例題，我們發(fā)現(xiàn)與三角形相關(guān)的取值范圍問題常常結(jié)合 正弦定理、余弦定理、面積公式、數(shù)列、三角函數(shù)、基本不等式、二 次函數(shù)、向量等知識(shí)綜合考查。這一類問題有利于考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的 綜合運(yùn)用能力，是高考命題的熱點(diǎn)。理順這些基本知識(shí)以及技巧和方 法可以提高我們解題的能力。希望本文能對(duì)同學(xué)們復(fù)習(xí)備考有所幫 助。鞏固練習(xí)1. 在VABC中，a 2,c 1，貝C的取值范圍為 2

3、. 若鈍角三角形的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的取值范圍是3. 在RtVABC中，C -，且A, B,C所對(duì)的邊a, b,c滿足a b xc,則實(shí)2數(shù)x的取值范圍為4. 在銳角VABC中，A 2B , AC 1，則BC的取值范圍是5. 在銳角VABC中，三個(gè)內(nèi)角A, B,C成等差數(shù)列，記 M cosAcosC，則M的取值范圍是6. 已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a，則a的取值范圍是7 .已知VABC外接圓的半徑為6 ,若面積Svabc a2 (b c)2且 sinB si nC 4，貝U si nA, Svabc 的最大值為3irrir r8. 在 VABC

4、 中，m (si nA,cosC), n (cosB,si nA),且 m n si nB sin C(1) 求證：VABC為直角三角形(2) 若VABC外接圓的半徑為1,求VABC的周長的取值范圍9. 在VABC中代B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知.2s in A 、3cos A(1)若a2 c2 b2 mbc，求實(shí)數(shù)m的值(2)若a .3，求VABC面積的最大值。解決與三角形相關(guān)的取值范圍問題例1:在銳角VABC中，A 2B，則c的取值范圍是b解析：由 0 A 2B 且0 CA B -2 2得6c sinC sin3B sin 2BcosB cos2Bs in B ,2 ,B，所以4c

5、os B 1，4b sin Bsin Bsin B又 cosB (遼,乜)所以- 4cos2B 1 (1,2)22b點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)在求B的范圍上，容易忽視“ VABC是銳角三角形” 這個(gè)條件。本題涉及三角形邊角之間的關(guān)系，考察邊角互化，化多 元為一元，體現(xiàn)了解題的通性通法。例2:若VABC的三邊a,b,c成等比數(shù)列，a,b,c所對(duì)的角依次為代B,C，則sin B cosB的取值范圍是解析：由題設(shè)知b2 ac ， 又余2 2 , 2 a c b cosB2ac2 2a c ac 2ac ac 12ac2ac 2所以° B 3又 sinB cosB 2 sin（B）且44、2sin（B

6、-） （1, 一2即sinB cosB 的取值范圍是（12點(diǎn)評(píng)：本題將數(shù)列、基本不等式、三角函數(shù)、解三角形等知識(shí)結(jié)合起來，有利于提高學(xué)生解題的綜合能力。例 3： 在 VABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，且 acosC,bcos B,ccos A 成等差數(shù)列。（1）求B的大小。（2）若b 5，求VABC周長的取值范圍。解析：（1）由題意知 acosC ccosA 2bcosB，由正弦定理得sinAcosC sin CcosA 2sin BcosB所以 sin(A C) 2sin BcosB，于是 cosB 1 ,B 23(2)由正弦定理10，所以sin A sin B s

7、inCJ3a b c10 10 10 2 10-si nA 5in C 5 si n(A)si nA 5 10s in( A)33#33J36又由oA 得A2，所以2663a b c5 10sin(A -)(10,15。點(diǎn)評(píng)：對(duì)三角函數(shù)式的處理常常借助于同角三角函數(shù)間關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及恒等變換式等實(shí)施變形，達(dá)到化簡、求值域的目的例4:在VABC中，a2 b2 c2 2 ab，若VABC的外接圓半徑為 二2，則32VABC的面積的最大值為2 2 2解析：又a2 b2 c2 -ab及余弦定理得cosC匕于3 '所以22sin C -32又由于 c 2RsinC 4，所以 c2 a2 b2

8、2ab cosC 即 16 ab a2 b2 2ab3所以ab 12，又由于S 1absinCab ，故當(dāng)且僅當(dāng)a b 2.323時(shí)，VABC的面積取最大值4-.2點(diǎn)評(píng)：先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面積公式結(jié)合基本不等 式，求面積的最大值，要注意正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用。例5：（2008,江蘇）滿足AB 2, AC 2BC的VABC的面積的最大值是 解析：設(shè)BC x，則AC，根據(jù)面積公式得 1ab BCsinB由余弦定理得cosB ABlABCBcAC24 x2( . 2x)24 x24x4x16代入式得 Svabc X,1 f ")2128 ( 4x由三角形三邊關(guān)系有

9、,2x x 2且x 2,2x，所以Z 2 2 x 2 2 2，故當(dāng)x 23時(shí)，Svabc取得最大值2、2。點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合函數(shù)的知識(shí)，以學(xué)生熟悉的三角形為載體，考察了面積公式、余弦定理等知識(shí)，是一道考察解三角形的好題。例6 :已知角A, B,C是VABC三個(gè)內(nèi)角，a,b,c是各角的對(duì)邊，向量uAB r 5 AB ur r 9m (1 cos(A B),cos )， n (,cos)， 且 m n -2 8 2 8(1)求 tan A ta nB 的值。（2）求 a； b2解析：由m （1曲弘匚的最大值。ccos（A2 Acos 251 cos(A B)8即 cosAcosB 9sin Asin

10、B，所以 tan A tanBA B、 r 方 A BLr r 9 tB),cos )， n ( ,cos )， 且 m n 得2 8 2 8 旦 9，所以 4cos(A B) 5cos( A8B)，(2)由余弦定理得嚴(yán)sinc2 a b c/A f tanA tanB 9“ Atan(A B)(ta nA1 tan A tan B 8即tan(A B)有最小值-，又tanC4abs inC2abcosC9tan B)-8tan (A19-ta nC，而22 tan AtanBB），所以tanC有最大值-（當(dāng)且僅當(dāng)tan A tanB -時(shí)取等號(hào)）434所以嚴(yán)si嚴(yán)2的最大值為3a2 b2c2

11、8通過以上例題，我們發(fā)現(xiàn)與三角形相關(guān)的取值范圍問題常常結(jié)合正弦定理、余弦定理、面積公式、數(shù)列、三角函數(shù)、基本不等式、二 次函數(shù)、向量等知識(shí)綜合考查。這一類問題有利于考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的 綜合運(yùn)用能力，是高考命題的熱點(diǎn)。理順這些基本知識(shí)以及技巧和方 法可以提高我們解題的能力。希望本文能對(duì)同學(xué)們復(fù)習(xí)備考有所幫 助。鞏固練習(xí)1在VABC中，a 2,c 1，貝C的取值范圍為 2. 若鈍角三角形的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的取值范圍是3. 在RtVABC中，C -，且A, B,C所對(duì)的邊a,b,c滿足a b xc,則實(shí)2數(shù)x的取值范圍為4. 在銳角VABC中，A 2B ,

12、AC 1，則BC的取值范圍是5. 在銳角VABC中，三個(gè)內(nèi)角A, B,C成等差數(shù)列，記 M cosAcosC ,則M的取值范圍是6. 已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a，則a的取值范圍是7 .已知VABC外接圓的半徑為6 ,若面積Svabc a2 (b c)2且sin B sinC 4，貝U sin A , SvABC 的最大值為3urir r8. 在 VABC 中，m (si nA,cosC), n (cosB,si nA)，且 m n si nB sin C(1) 求證：VABC為直角三角形(2) 若VABC外接圓的半徑為1,求VABC的周長的取值范圍9. 在VABC中代B,C所對(duì)的邊分

13、別為a,b,c，已知.2 si nA3cos A(1)若a2 c2 b2 mbc，求實(shí)數(shù)m的值(2)若a -.3，求VABC面積的最大值參考答案111. si nC si nA ,C (0,2262. (2,)3. (1.2BC理匹sin Bsin2Bsin B1 知一B -64G-2,3), 由正弦定理2cosB5.易知B3,Ac23rt r2則 M cosAcosC cosAcos( A)1 cos2 A2.3sin Acos A2cos A 143 si n2A41嚴(yán)2A舌）0 A 31 1 1 1M -sin(2A -)-(,2642 46.設(shè)1,3, a所對(duì)的角分別為A,B,C ,由

14、二角形二邊關(guān)系有1 3a,11，故2 a 4，易知BA，要保證VABC為銳角三角形,只需cosB0,cosC2 22a 32 1 a0 ,解得7 .由 SVABC(b c)2 ,得a2b2號(hào)）由余弦定理得2bccosA ,2 ,sin A c、c bc( 2)2si nA 小 A 故有 22cos A ,2易得A為8sinA 故有sinA 17則bc 2R(si nBsinC)12 -3161, sin A bc、24 一SVABCbcsin A)26422 (217銳角，且4 2sin A4cos2 A ,即 17si n2 Asin2 A425617（當(dāng)且僅當(dāng)bc 8時(shí)取等256由 a2

15、c2.222b2 mbc得 b2bc即Svabc的最大值為17.urrir r8. ( 1)由 m (s in 代 cos C), n (cos B,si nA)，且 m n si nB si nC 得sin AcosB sin AcosC sin B sinC , 由正弦定理得 acosB acosC b c,2 2.2 2.2 2由余弦定理得a-c-aab-bc2ac2ab整理得(b c)(a2 b2 c2) 0又由于b c 0，故a2 b2 c2，即VABC是直角三角形(或者：由 sin AcosB si n AcosC si nB si nC 得，sin AcosB si n AcosC sin (A C) sin (A B)化簡得 cos A(si nB si nC) 0，由于 si nB si nC 0，故 cosA 0，即VABC是直角三角形)(2)設(shè)VABC內(nèi)角代B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c由于VABC外接圓的半徑為1， A -,所以a 2 Rs in A 2， 2所以 b c 2R(si nBcosB)2(si nB cosB) 2.2