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1、列方程解決實(shí)際問題制作人:張少軒制作人:張少軒一、內(nèi)容概述一、內(nèi)容概述 1 1、根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組解應(yīng)用題、根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組解應(yīng)用題 2 2、列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟、列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟 (1 1)審:審題,分析題中已知什么,求什么,明確各數(shù)量之間的關(guān)系;)審:審題,分析題中已知什么,求什么,明確各數(shù)量之間的關(guān)系; (2 2)設(shè):設(shè)未知數(shù)(一般求什么,就設(shè)什么為)設(shè):設(shè)未知數(shù)(一般求什么,就設(shè)什么為x x、y y);); (3 3)找:找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的兩個(gè)相等關(guān)系;)找:找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的兩個(gè)相等關(guān)系
2、; (4 4)列:根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,進(jìn)而列出兩個(gè)方程,組)列:根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式,進(jìn)而列出兩個(gè)方程,組 成方程組;成方程組; (5 5)解:解所列方程組,得未知數(shù)的值;)解:解所列方程組,得未知數(shù)的值; (6 6)答:檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是否符合題意,寫出答案(包括單位名稱)。)答:檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是否符合題意,寫出答案(包括單位名稱)。 3 3、在列方程解應(yīng)用題時(shí),常遇到的等量關(guān)系有:、在列方程解應(yīng)用題時(shí),常遇到的等量關(guān)系有: (1 1)行程問題:在行程問題中有三個(gè)量:速度、時(shí)間、距離。)行程問題:在行程問題中有三個(gè)量:速度、時(shí)間、距離。 其關(guān)系式是:速度其
3、關(guān)系式是:速度時(shí)間時(shí)間= =距離。距離。 (2 2)工程問題:工程問題中也有三個(gè)量:工作效率、工作時(shí)間、工作量。)工程問題:工程問題中也有三個(gè)量:工作效率、工作時(shí)間、工作量。 其關(guān)系式為:工作效率其關(guān)系式為:工作效率工作時(shí)間工作時(shí)間= =工作量工作量 工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量,同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一,一般地將工作工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量,同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一,一般地將工作總量設(shè)為總量設(shè)為1 1,也可以設(shè)為,也可以設(shè)為a a,應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用。工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列,應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用。工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析。表法進(jìn)行分析。 (3
4、3)幾何問題:初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,許多幾何問題是借助代數(shù)知識(shí)解決的,這樣就出)幾何問題:初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,許多幾何問題是借助代數(shù)知識(shí)解決的,這樣就出現(xiàn)了幾何與代數(shù)現(xiàn)了幾何與代數(shù) 的綜合性題目。這類題目是近幾年中考及競(jìng)賽中常見的題型,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。的綜合性題目。這類題目是近幾年中考及競(jìng)賽中常見的題型,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。 (4 4)利率問題:利息)利率問題:利息= =本金本金利率利率時(shí)間。時(shí)間。 (5 5)利潤問題:利潤率)利潤問題:利潤率= =100% 100% (6 6)數(shù)字問題:)數(shù)字問題: =100a+10b+c=100a+10b+c。 二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納1 1、常見的行程問題
5、可分為四種情況,它們分別是:平路;上、下坡路;環(huán)路;、常見的行程問題可分為四種情況,它們分別是:平路;上、下坡路;環(huán)路;水路。常見的行程問題分成兩大類型:相遇問題和追擊問題。水路。常見的行程問題分成兩大類型:相遇問題和追擊問題。 (1 1)相遇問題:兩人從不同地點(diǎn)出發(fā),相向而行,直到相遇。)相遇問題:兩人從不同地點(diǎn)出發(fā),相向而行,直到相遇。 (2 2)追擊問題:)追擊問題: 兩人同地不同時(shí),同向而行,直到后者追上前者,其等量關(guān)系是:兩人兩人同地不同時(shí),同向而行,直到后者追上前者,其等量關(guān)系是:兩人所走路程相等,(兩人所用時(shí)間不同)所走路程相等,(兩人所用時(shí)間不同) 兩人同時(shí)不同地,同向而行,直
6、到后者追上前者,其等量關(guān)系是:兩人兩人同時(shí)不同地,同向而行,直到后者追上前者,其等量關(guān)系是:兩人所走的路程之差等于已知兩地距離。(兩人所用時(shí)間相同)所走的路程之差等于已知兩地距離。(兩人所用時(shí)間相同) 兩人不同時(shí)不同地,同向而行,直到后者追上前者,其等量關(guān)系是:兩兩人不同時(shí)不同地,同向而行,直到后者追上前者,其等量關(guān)系是:兩人所走路程之差等于兩地的距離。(兩人所用時(shí)間不同)人所走路程之差等于兩地的距離。(兩人所用時(shí)間不同) 注意環(huán)路與直路的區(qū)別,例如在環(huán)路問題中,若兩人同時(shí)同地出發(fā),同向注意環(huán)路與直路的區(qū)別,例如在環(huán)路問題中,若兩人同時(shí)同地出發(fā),同向而行,當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí),兩人所走路程差為一周長
7、。而行,當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí),兩人所走路程差為一周長。 水路行船問題:順?biāo)俣人沸写瑔栴}:順?biāo)俣?= =靜水速度靜水速度+ +水流速度;水流速度; 逆水速度逆水速度= =靜水速度靜水速度- -水流速度。水流速度。 解行程問題的應(yīng)用題時(shí),通常采用線段圖或列表進(jìn)行分析,從而正確地找解行程問題的應(yīng)用題時(shí),通常采用線段圖或列表進(jìn)行分析,從而正確地找出等量關(guān)系,列出方程(組)解決問題。出等量關(guān)系,列出方程(組)解決問題。 2 2、解有關(guān)增長率問題時(shí),要掌握下面的基本等量關(guān)系式:、解有關(guān)增長率問題時(shí),要掌握下面的基本等量關(guān)系式: 原量原量(1+1+增長率)增長率)= =增長后的量,增長后的量, 原量原量(1
8、-1-減少率)減少率)= =減少后的量。減少后的量。 3 3、解有關(guān)配套問題,要根據(jù)配套的比例,依據(jù)特定的數(shù)量關(guān)系列方程(組)、解有關(guān)配套問題,要根據(jù)配套的比例,依據(jù)特定的數(shù)量關(guān)系列方程(組)求解題。求解題。 4 4、含有兩個(gè)未知量的應(yīng)用題,一般列出二元一次方程組比列一元一次方程、含有兩個(gè)未知量的應(yīng)用題,一般列出二元一次方程組比列一元一次方程要容易些,解應(yīng)用題時(shí)要養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣,一是檢驗(yàn)所求得解是否符合要容易些,解應(yīng)用題時(shí)要養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣,一是檢驗(yàn)所求得解是否符合方程組,二是檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義。方程組,二是檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義。三、典型例題三、典型例題例例1 1、已知某電腦公司有、已
9、知某電腦公司有 a a型、型、b b型、型、c c型三種型號(hào)的電腦,其價(jià)格分別為型三種型號(hào)的電腦,其價(jià)格分別為a a型型每臺(tái)每臺(tái)60006000元,元,b b型每臺(tái)型每臺(tái)40004000元,元,c c型每臺(tái)型每臺(tái)25002500元,我市東坡中學(xué)計(jì)劃將元,我市東坡中學(xué)計(jì)劃將100500100500元錢全部用于從該電腦公司購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電腦共元錢全部用于從該電腦公司購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電腦共3636臺(tái),請(qǐng)你設(shè)計(jì)臺(tái),請(qǐng)你設(shè)計(jì)出幾種不同的購買方案供該校選擇,并說明理由。出幾種不同的購買方案供該校選擇,并說明理由。分析:運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想,借助方程組的數(shù)學(xué)模型求解分析:運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思
10、想,借助方程組的數(shù)學(xué)模型求解 解:設(shè)購買解:設(shè)購買a a型、型、b b型、型、c c型三種型號(hào)的電腦分別為型三種型號(hào)的電腦分別為x x臺(tái),臺(tái),y y臺(tái),臺(tái),z z臺(tái)。臺(tái)。 (1 1)如果只購買)如果只購買a a型和型和b b型電腦,依題意,得型電腦,依題意,得 不合題意,舍去不合題意,舍去 (2 2)如果只購買)如果只購買b b型和型和c c型電腦,則有型電腦,則有 符合題意;符合題意;(3 3)如果只買)如果只買a a型和型和c c型電腦,則型電腦,則 符合題意;符合題意; 綜上所述,有兩種方案可選擇;綜上所述,有兩種方案可選擇; 即購買即購買b b型電腦型電腦7 7臺(tái),臺(tái),c c型電腦型電
11、腦2929臺(tái),或購臺(tái),或購a a型電腦型電腦3 3臺(tái),臺(tái),c c型電腦型電腦3333臺(tái)。臺(tái)。 例例2 2、張華到銀行以兩種形式分別存了、張華到銀行以兩種形式分別存了20002000元和元和10001000元,一年后全部取出,扣除利元,一年后全部取出,扣除利息所得稅后可得到利息息所得稅后可得到利息43.9243.92元,已知這兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為元,已知這兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%3.24%,問這兩種儲(chǔ),問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾?(注:利息所得稅蓄的年利率各是百分之幾?(注:利息所得稅= =利息全額利息全額20%20%) 解:設(shè)解:設(shè)20002000元、元、10001000元的年利率
12、分別為元的年利率分別為x%x%和和y%y%,則根據(jù)題意,得方程組,則根據(jù)題意,得方程組 解方程組,解方程組,x=2.25x=2.25,y=0.99y=0.99, 答:兩種儲(chǔ)蓄的年利潤分別為答:兩種儲(chǔ)蓄的年利潤分別為2.25%2.25%和和0.99%0.99%。注意:與利息相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題是中考中的熱點(diǎn)題型,同學(xué)們千萬要注意。注意:與利息相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題是中考中的熱點(diǎn)題型,同學(xué)們千萬要注意。例例3 3、某家具廠生產(chǎn)一種方桌,設(shè)計(jì)時(shí)、某家具廠生產(chǎn)一種方桌,設(shè)計(jì)時(shí)1 1立方米的木材可做立方米的木材可做5050個(gè)桌面,或個(gè)桌面,或300300條桌腿,條桌腿,現(xiàn)有現(xiàn)有1010立方米的木材,怎樣分配生
13、產(chǎn)桌面在和桌腿使用的木材,使桌面、桌腿剛好立方米的木材,怎樣分配生產(chǎn)桌面在和桌腿使用的木材,使桌面、桌腿剛好配套,并指出共可生產(chǎn)多少張方桌?(一張方桌有配套,并指出共可生產(chǎn)多少張方桌?(一張方桌有1 1個(gè)桌面,個(gè)桌面,4 4條桌腿)條桌腿) 解:設(shè)用解:設(shè)用x x立方米的木材做桌面,立方米的木材做桌面,y y立方米的木材做桌腿,根據(jù)題意,立方米的木材做桌腿,根據(jù)題意, 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意, 此時(shí),可做方桌為此時(shí),可做方桌為50506=3006=300(張)(張) 答:用答:用6 6立方米的木材做桌面,立方米的木材做桌面,4 4立方米的木材做桌腿,可做立方米的木材做桌腿,可做300300張方桌。張方桌。 例例4 4:甲、乙兩車分別以均勻的速度在周長為:甲、乙兩車分別以均勻的速度在周長為600600米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲車的速度米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲車的速度較快,當(dāng)兩車反向運(yùn)動(dòng)時(shí),每較快,當(dāng)兩車反
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