高一數(shù)學(xué)專題講座抽象函數(shù)

1、抽象函數(shù)專題講座鄭嚴(yán)抽象函數(shù)是指沒有明確給出詳細(xì)的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特別條件的函數(shù)；一.抽象函數(shù)定義域1 已知f x 的定義域，求fgx的定義域其解法是： 如f x的定義域?yàn)閍 x b ，就在fg x中， a g x b ，從中解得 x的取值范疇即為fg x的定義域例 1.已知函數(shù)f x的定義域?yàn)?，5，求 f 3 x5 的定義域解： qf x 的定義域?yàn)?，5，1 3x5 5 ，4 x 10 33故函數(shù)f 3 x5 的定義域?yàn)?10，332 、已知fgx的定義域，求f x的定義域其解法是：如fg x的定義域?yàn)閙 x n ，就由 m x n 確定的g x的范疇即為 f x 的定義域例 2

2、已知函數(shù)f x22 x2 的定義域?yàn)?，3，求函數(shù)f x的定義域解：由 0 x 3 ，得 1 x22x2 5 令 ux22 x2 ，就f x22 x2f u ， 1 u 5 故 f x 的定義域?yàn)?，5二.抽象函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)值1. 換元法 .例 3.已知 f1+ x 2=2+ x 2+x 4, 求 fx解 :令 t=1+ x 2t1 x2 =t -1原式即為：f t=2+t-1+t-12 =t 2 -t +2f x= x2 -x+2x12.待定系數(shù)法：假如抽象函數(shù)的類型是確定的，可用待定系數(shù)法來解答有關(guān)抽象函數(shù)的問題；例 4.已知 fx 是多項(xiàng)式函數(shù)，且fx+1+fx-1=2x2-4x, 求

3、 fx.解:由已知得fx 是二次多項(xiàng)式，設(shè)fx=ax 2+bx+ca 0代入比較系數(shù)得過且過:a=1,b= -2,c= -1,fx=x 2-2x-1.3.賦值法：有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過賦特別值法使問題得以解決；例 5.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y ，均滿意fx+y 2 =fx+2fy2 且 f1 0,就 f2001= .解:令 x=y=0, 得： f0=0, 令 x=0,y=1, 得 f0+1 2=f0+2f1 2,f 10,f 11.令x2n, y1, 得f n1f n22 f 11f n, 2即 fn1 - fn1 , 故f n2n ,f 2001 22001.2三、抽象函數(shù)的

4、模型構(gòu)造1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)f （ x） kx （ k 0） -f （ x± y） f （x）± f （ y）例 6、已知函數(shù)f x對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f xyf xf y ，且當(dāng) x0 時(shí)，f x0 ， f 12 ，求f x 在區(qū)間 2， 1 上的值域；解：設(shè)x1x2 ，就x2x10 ，當(dāng) x0 時(shí)，f x0 ，f x2x1 0 ， f x2 fx2x1 x1f x2x1 f x1 ， f x2 f x1 f x2x1 0 ，即f x1 f x2 ，f x為增函數(shù)在條件中，令y x，就f 0f xf x，再令 x y 0，就f 02 f 0 ，f 00 ，故 f xf

5、 x ，f x為奇函數(shù)，f 1f 12 ，又 f 22 f 14 ， f x的值域?yàn)?4， 2；2、指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f （ x） ax -f （ x y） f （ x） f （ y）；f （ x y）f xf y例 7定義在 r上的函數(shù)f x 滿意：對(duì)任意實(shí)數(shù)m, n ，總有f mn f mf n ，且當(dāng) x0時(shí)， 0f x1 （ 1）試求f 0 的值；（ 2）判定f x的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（ 3）試舉出一個(gè)滿意條件的函數(shù)f x 解 ：（ 1）在f mnf mf n 中，令 m1,n0 得：f 1f 1f 0 由于 f10 ，所以，f 01 （ 2）要判定f x的單調(diào)性，可任取x1,

6、x2r ，且設(shè) x1x2 在已知條件f mn f mf n 中，如取mnx2 , mx1 ，就已知條件可化為：f x2 f x1 f x2x1 由于 x2x10 ，所以 1f x2x1 0 為比較f x2 ,f x1 的大小，只需考慮f x1 的正負(fù)即可在 f mnf mf n 中，令 mx ， nx ，就得f xf x1 x0 時(shí)， 0f x1 ， 當(dāng) x0 時(shí)，f x1f x10. 又 f 01 ，所以，綜上，可知，對(duì)于任意x1r ，均有f x1 0 f x2 f x1 f x1 f x2x1 10 函數(shù)f x 在 r 上單調(diào)遞減（ 3）如xf x123、對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f （x） l

7、o gax（ a>0 且 a 1） -f （ x· y） f （ x） f （ y）；f （x ）f （ x） f （ y）y例8、已知函數(shù)f x滿意定義域在 0, 上的函數(shù)，對(duì)于任意的x, y0, ，都有f xyf xf y ，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，yf x0 成立，（ 1）設(shè)x, y0, ，求證f xf yf x ；（ 2）設(shè)x1 , x20, ，如f x1 f x2 ，試比較x1 與 x2 的大?。唬?3）解關(guān)于 x 的不等式fx 2 a1 xa10證明：（1）f xyf xf y ，f yxf xf y ， f y xf yf x（ 2）f x1 f x2 ，f x1 f x

8、2 0 ，即 f x1 x2f x1 f x2 f x1 0 x2當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，f x0 成立，當(dāng)f x0 時(shí)， x1， x1x21 ， x1x2（ 3）令 xy1代入f xy f xf y 得f 1f 1f 1 ，f 10 ，關(guān)于 x 的不等式fx 2a1 xa10 為 fx 2a1xa1f 1 ，由（ 2）可知函數(shù)f x在定義域0, 上是減函數(shù)，0x2a1xa11 ，由2xa1xa11得，當(dāng) a1時(shí)，1xa ，此時(shí) xa1 xa10 成立；當(dāng) a1時(shí)， ax1，此時(shí) x2a1 xa10 成立；當(dāng) a1 ， x1 ，此時(shí)2xa1 xa10 成立；4、冪函數(shù)型的抽象函數(shù)f xx2-f xyf

9、 xf y ，f xf x ；yf y例 9.已知定義在-,00,+上的函數(shù)fx 對(duì)任何 x,y 都有 fxy=fxfy,且 fx >0,當(dāng) x>1 時(shí) ,有 fx<1.（ 1）判定 fx 的奇偶性（ 2）判定并證明fx 在0,+ 上的單調(diào)性 .（ 3）求解不等式f 3 xx2 -4 1解: （1）令 y 1，就f - xf xf 1 ，再令 x y1，就f 1f 12 ，f 11 ，再令 x y-1 ，就f 1f -12 ，f -11 ，故 f xf x ，f x 為偶函數(shù)，（ 2） 對(duì)xr有f x f x .x f 2 x 0, 又f x 0, 故f x 0設(shè)x 1 ,

10、x 2r, 且x 1x, 就 x 22x 11, 就f x 2 f x 2x 1. x 1 f x 2 . f x x 11f x 2 1f x1 f x 1 f x 1 x 1所以 fx 1>fx 2,故 fx 在 r+ 上為減函數(shù) .3 由（ 2）知函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的不等式 f3x x2 -4 1=f1 即為 0<3 xx2 -41解得： x的范疇 -，-4-1，0）（0，14，+同學(xué)練習(xí)：一填空題1. 如f x的定義域?yàn)?，5，就 xf xf 2 x5 的定義域?yàn)?-4,022.如函數(shù)f 2 x1 的定義域?yàn)?, 32,就函數(shù)f log 2 x的定義域?yàn)? , 4 2

11、23、函數(shù) fx的定義域?yàn)?, ，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有 fxy= fx+fy且 f4=2，就f 24 （1 ）已 知f x12是 一 次函 數(shù) ， 且 滿 足3 f x12 f x12 x17，f x=；（ 2）已知f x1x31 ， f x =；3xx答案：（ 1）f x2 x7（ 2）f xx33x （ x2 或 x2 ）；5.已知f x 是定義在r 上的偶函數(shù) ,且在0,是增函數(shù) ,f 1 0, 就不等式 3f log 18x0 的解集是 .1111解:由已知f log 18x0f log 1 x8f 3log 1 x83log 1 x8或log 1 x38311x13 , 或x13x

12、1 或x2 .882y6.已知f x 是定義在 3,3 上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時(shí)，f x的圖像如右圖所示，那么不等式f xx0 的o123x解集是 ； -1,00,17. 假如fxyf x f y, 且f12,就f 2f 4f 6lf 2000的值是 f 1f 3f 5f 1999 20008設(shè) f x 是定義在r 上的函數(shù)；對(duì)任意x1， x20 .1 ，都有 f x1 x2 f x1 ·f x2 ，且2f1 a 0f 1 的值為 4解 ： 由f x1f x2 f x1 f x2 , x1 , x20 ,1 知：2f xf x f x 0， x0 ， 1 f 122f 11 f 1 f

13、 1 f 1 2 ， f 1 a 0，1f 1 a 22222221111111214f 2 二、解答題f 44 f 4 f 4 f 4 ， f a49、已知函數(shù)f （x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y 均有 f （ x y） 2 f （ x） f （ y），且當(dāng) x>0 時(shí)， f x>2 ，f 3 5 ，求不等式f a 22a23 的解 .解：先證明函數(shù)f （x）在 r 上是增函數(shù)；再求出f （ 1） 3；最終脫去函數(shù)符號(hào). 得 a-1,32210.設(shè)定義在 r 上的函數(shù) fx, 滿意當(dāng) x>0 時(shí),fx>1, 且對(duì)任意x,y r,有 fx+y=fxfy,f1=21 解不等式f 3

14、xx4, ; 2 解方程 f x1 f x 23f 21.解:1 先證 fx>0, 且單調(diào)遞增，由于fx=fx+0=fxf0,x>0時(shí) fx>1, 所以 f0=1.又 f xf x2xx2 f 220, 假設(shè)存在某個(gè) x or , 使f x o 0,就fx=fx-xo+x o=fx-x ofx o=0, 與已知沖突，故fx>0任取 x1,x2 r 且 x1<x 2,就 x2-x 1>0,fx 2-x 1>1,所以 fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1 =fx 2-x 1fx 1-fx 1 =fx 1fx 2 -x 1-1>0.所

15、以 x r 時(shí) ,fx 為增函數(shù) . 解得 :x|1<x<22f1=2,f2=2,f3=8,原方程可化為:fx 2+4fx-5=0, 解得 fx=1 或 fx=-5 （舍 由1 得 x=0.11 .函數(shù)f x的定義域?yàn)閞,并滿意以下條件:對(duì)任意 xr, 有f x>0;對(duì)任意x, yr ,有 f xyf x y ; 1.(1) 求f 0的值 ;f 1 32求證 :f x在 r 上是單調(diào)增函數(shù);3如abc0且 b 2ac ,求證 :f a f c2 fb .1解: 對(duì)任意xr , 有f x>0, 令 x0, y2 得,f 0f 0 2f 01(2) 任取任取x , xr,

16、且xx,就令 x1 p , x1 p , 故 pp121213123212函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞,并滿意以下條件:對(duì)任意 xr , 有f x>0; 對(duì)任意x, yr ,有 f xyf x y ; 1f 1 3 f x f x 111p11p2 <012f p1 f p2 f f f x1 < f x2 3333函數(shù)f x是 r 上的單調(diào)增函數(shù).3 由（ 1）（ 2）知，f b f 01 ，f b1 f a f b . a f bab , fcb . ccf b bbbaca c f a f cf b bf b b2 f b b，而 ac2 ac2b22ba c 2f bb2

17、b2f bb2 f b f a f c2 fb12. 定義域?yàn)?r的函數(shù) fx 滿意：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x ， y 都有 fx+y=fx+fy成立，且當(dāng)x 0時(shí)fx 0恒成立 .1判定函數(shù) fx 的奇偶性，并證明你的結(jié)論；2證明 fx 為減函數(shù)；如函數(shù)fx 在 -3 ， 3）上總有 fx 6成立，試確定f1 應(yīng)滿意的條件； 3 解關(guān)于 x的不等式12f axnf x 12f a xnf a, n是一個(gè)給定的自然數(shù), a0解: （ 1）由已知對(duì)于任意x r， y r， f（ x+y） =f （ x） + f （ y）恒成立令x=y=0 ，得 f （0+0 ） = f （ 0） + f （ 0）， f

18、（ 0） =0令x=-y ，得 fx-x = f x + f -x =0對(duì)于任意 x，都有 f -x = - f x f x 是奇函數(shù) .（ 2）設(shè)任意 x 1， x2 r且 x1 x2，就 x 2-x 1 0，由已知 f（ x 2-x 1） 0（ 1） 又f （ x2-x 1） = f （ x2）+ f （-x 1） = f （ x 2） - f （ x1）（ 2）由（ 1）（ 2）得 f x1 f x 2, 依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知f x 在 -， + 上是減函數(shù) . f x 在 -3 ， 3 上的最大值為f -3 .要使 f x 6恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f -3 6，又 f （-3） = - f （ 3） = - f （ 2+1 ）=- f （2） + f （ 1） = - f （ 1） + f （ 1）+ f （ 1） = -3 f （ 1）， f （ 1） -2.（ 3）1f（ ax2） - f （ x ）n1f （a2x ）- f （a）nf（ ax2） - f （ a2x ） nf