第四節(jié)解的結(jié)構(gòu)

1、復習：復習：向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組向量組的秩向量組的秩11112212112222112200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xa xa x axo 第五節(jié)第五節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)a 12000,nxxx 恒恒 有有 零零 解解 ：( )只有零解（惟一解）r an( )有非零解（無窮多組解）r an解的情形只有兩種:一一.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)： 例例 解方程組解方程組 121202411012210 12420 xxx ()ao 解解121200033000000 120100011000000 340

2、xx 123412341234220240220 xxxxxxxxxxxx 124342xxxxx 1122xcc 21xc 32xc 42xc 121,0cc 12x 21x 30 x 40 x 120,1cc 11x 20 x 31x 41x 12100 21011 30000 56222 43111 .問題問題1：無窮多個向量如何找極大無關(guān)組？：無窮多個向量如何找極大無關(guān)組？問題問題2：極大無關(guān)組的線性組合是否仍然是：極大無關(guān)組的線性組合是否仍然是 方程組的解？方程組的解？解向量組解向量組若能找出一個極若能找出一個極大無關(guān)組，則：大無關(guān)組，則：每一個解每一個解向量都可向量都可由極大無由極

3、大無關(guān)組線性關(guān)組線性表出表出1.齊次線性方程組解的性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì)：1a 2a 12()a 12aa a ()a k k 兩個解的和還是解兩個解的和還是解 一個解的倍數(shù)還是解一個解的倍數(shù)還是解綜合以上兩點可知：綜合以上兩點可知：對于齊次線性方程組，解的線性組對于齊次線性方程組，解的線性組合還是解合還是解.如果找到一個解向量組的極大無關(guān)組，則：如果找到一個解向量組的極大無關(guān)組，則：()k a 1、每一個解向量都可由極大無關(guān)組線性表出。、每一個解向量都可由極大無關(guān)組線性表出。2、極大無關(guān)組的線性組合仍然是方程組的解。、極大無關(guān)組的線性組合仍然是方程組的解。綜上：對于齊次線性方程組的解向

4、量組，只要綜上：對于齊次線性方程組的解向量組，只要 找到一個極大無關(guān)組即可。找到一個極大無關(guān)組即可。齊次線性方程組的解向量組的一個極大無關(guān)組齊次線性方程組的解向量組的一個極大無關(guān)組稱為方程組的一個基礎(chǔ)解系稱為方程組的一個基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系：基礎(chǔ)解系：由基礎(chǔ)解系的定義可知，基礎(chǔ)解系應滿足如下條件：由基礎(chǔ)解系的定義可知，基礎(chǔ)解系應滿足如下條件：（1 ）線性無關(guān)；）線性無關(guān)；（2 ）任一個解都能由它線性表出）任一個解都能由它線性表出. 注：注： 基礎(chǔ)解系一般不基礎(chǔ)解系一般不惟一惟一思考：為什么？思考：為什么？11112212112222112200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa

5、xa xa xa xa x 3.求一組基礎(chǔ)解系的方法：求一組基礎(chǔ)解系的方法：11 12 1 21 22 2 1 2 nnmmmnaaaaaaaaaa 簡化階梯簡化階梯形形 ()ao 1,11,21,2,12,22,1,2,10.0.001.0.0.00.1.000.000.00.00.000.00rrnrrnr rr rr nkkkkkkkkk111112211211rrnnrrnnrrrrrnnxkxk xxkxk xxkxk x 自由未知量自由未知量12 rrnxxx 取值取值10,0 1 11rk 21rk 1rrk 10 001,0 122222,010rrrrkkk 00,1 12,

6、001nnrnn rkkk 12,n r 就是基礎(chǔ)解系。就是基礎(chǔ)解系。11121212221212,100010001rrnrrnrrrrrnnrkkkkkkkkk 設設 為方程組為方程組12nddd 任一解任一解111112211211rrnnrrnnrrrrrnnxkxk xxkxk xxkxk x 故故111112211211rrn nrrn nrrrrrn ndkdk ddkdk ddkdk d 11112112111 rrn nrrn nrrrrn nrnkdk dkdk dkdk ddd 11112112111 rrn nrrn nrrrrn nrnkdk dkdk dkdk dd

7、d 112111100rrrrrkkkd 12001nnrnnkkkd 11rnnrdvd v 即任一解都可由即任一解都可由 線性表出線性表出12,n r 定理定理 如果齊次線性方程組有非零解，那么它如果齊次線性方程組有非零解，那么它一定有基礎(chǔ)解系一定有基礎(chǔ)解系n r 4.基礎(chǔ)解系的存在性基礎(chǔ)解系的存在性，且基礎(chǔ)解系含有，且基礎(chǔ)解系含有 個解向量個解向量注：注： 基礎(chǔ)解系含有基礎(chǔ)解系含有 個解向量，個解向量， 來自于來自于自由未知量的個數(shù)自由未知量的個數(shù)nr nr 例例1 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系及通解求齊次方程組的基礎(chǔ)解系及通解123451234512345123453520-2340-794

8、5031422-90 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解解 1922143549714131212531a 000000000052535710511515401134523454111555 372555xxxxxxxx 方程組的一般解為方程組的一般解為134523454111555372555xxxxxxxx 345 xxx 令令01 ,0 001 14575100 ，21535010 ，311525001 ,100 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系112233ccc123, ,c c c故通解為故通解為（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）二非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1111

9、2211211222221122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb 11 12 1 21 22 2 1 2 nnmmmnaaaaaaaaaa 12mbbbb 12nxxxx axb ab ()( )r abr a 線性線性方程方程組有解組有解()()r abr an ()()r abr an 有惟一解有惟一解有無窮多解有無窮多解任意一個確定的解都任意一個確定的解都稱為它的一個稱為它的一個特解特解.構(gòu)成了一個構(gòu)成了一個解向量組解向量組思考：能否用極大無關(guān)組表示非齊次思考：能否用極大無關(guān)組表示非齊次線性方程組的全部解？線性方程組的全部解？1、非齊次線性

10、方程組的任意解、非齊次線性方程組的任意解能否能否用其解向量組的極大無關(guān)組表示用其解向量組的極大無關(guān)組表示？2、非齊次線性方程組的解向量組的、非齊次線性方程組的解向量組的極大無關(guān)組的線性組合，是否仍是極大無關(guān)組的線性組合，是否仍是非非齊次線性方程組的解？齊次線性方程組的解？1、兩個非齊次的解相加，是否是非齊次的解？、兩個非齊次的解相加，是否是非齊次的解？2、非齊次的解的倍數(shù)，是否是非齊次的解？、非齊次的解的倍數(shù)，是否是非齊次的解？結(jié)論：非齊次的解的線性組合不結(jié)論：非齊次的解的線性組合不一定是非齊次的解一定是非齊次的解ab ab ()a aa bb 2b ab ()a k k b kb ()k a

11、 非齊次的非齊次的解向量組解向量組非齊次的解向量組的極非齊次的解向量組的極大無關(guān)組的線性組合大無關(guān)組的線性組合 非齊次的解向量組的極大無關(guān)組對解的結(jié)非齊次的解向量組的極大無關(guān)組對解的結(jié)構(gòu)問題毫無意義！構(gòu)問題毫無意義！齊次線性方程組稱為非齊次線性方程齊次線性方程組稱為非齊次線性方程組的導出組組的導出組axo axb .非齊次線性方程組的兩個解的差是其導出組的非齊次線性方程組的兩個解的差是其導出組的解解.ab ab ()a aa bb 總之，兩條：總之，兩條：非齊次減非齊次是齊次非齊次減非齊次是齊次非齊次加齊次非齊次加齊次還是還是非齊次非齊次1.非齊次線性方程組的解與它的導出組的解之間有如非齊次線

12、性方程組的解與它的導出組的解之間有如 下關(guān)系：下關(guān)系：ab a ()a aa b b .非齊次線性方程組的一個解與它的導出組的非齊次線性方程組的一個解與它的導出組的 一個解一個解的和還是的和還是非齊次線性方程組的非齊次線性方程組的解解.可以通過齊次（導出組）的解的結(jié)可以通過齊次（導出組）的解的結(jié)構(gòu)，研究非齊次的解的結(jié)構(gòu)構(gòu)，研究非齊次的解的結(jié)構(gòu)2.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 若非齊次方程有無窮多解若非齊次方程有無窮多解，則其通解可表示為，則其通解可表示為0 12-,n r ，其中其中 是其任意一個特解，是其任意一個特解， 是其導是其導出組的基礎(chǔ)解系，出組的基礎(chǔ)解系，0+ 1

13、122 n rn rkkk01122(1) n rn rkkk這是因為這是因為:確實是非齊次方程的解確實是非齊次方程的解.為什么？為什么？（2）非齊次方程的任意一個解都可以表示成）非齊次方程的任意一個解都可以表示成01122 n rn rkkk設設是非齊次方程的任意一個解，是非齊次方程的任意一個解， 則則是其導出組的解是其導出組的解0 于是：于是：01122 n rn rkkk01122n rn rkkk即非齊次方程的任意一即非齊次方程的任意一個解都可以表示成：個解都可以表示成：01122 n rn rkkk非齊次線性方程非齊次線性方程組的解向量組組的解向量組01122 n rn rkkk12

14、, n rk kk 是任意實數(shù)是任意實數(shù). 11111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxkkxk xxkkxk xxkkxk x 1200 ,0rrnxxx 2 2. .令令1000rkk 3求求非齊次線性方程組通解的步驟非齊次線性方程組通解的步驟1 ()ab 簡化階梯形簡化階梯形得特解得特解00,1 ,010 12,.n r ，01122 n rn rccc12-,n rccc1210 , 0rrnxxx 令令得得導出組的基礎(chǔ)解系導出組的基礎(chǔ)解系其中是任意常數(shù)其中是任意常數(shù)11111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxkkxk xxkkxk xxkkxk x

15、 寫出導出組的一般解寫出導出組的一般解即為非齊次方即為非齊次方程的通解，程的通解，12345123452345123457323-2 22623534312xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 111117312132 ()02126235343112ab 解解例例2 用基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解用基礎(chǔ)解系表示方程組的全部解135234591222 231322xxxxxxx 91100222231011322000000000000 方程組的一般解為方程組的一般解為092232000 1352345122132xxxxxxx 34510,0 xxx 令令,010 001 得方程組的一個特得

16、方程組的一個特解解原方程組的導出組的一般解為原方程組的導出組的一般解為34500,0 xxx 令令得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系135234591222231322xxxxxxx 1 1212100 201010 323001 0112233ccc123,c c c故原方程組通解為故原方程組通解為其中其中 為任意常數(shù)為任意常數(shù).1.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解等概念通解等概念2.理解齊次線性方程組解的性質(zhì)，掌理解齊次線性方程組解的性質(zhì)，掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系和通解的握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系和通解的求法求法3.理解非齊次線性方程組解的性質(zhì)，理解非齊次線性方程組解的性

17、質(zhì)，掌握非齊次線性方程組通解的求法掌握非齊次線性方程組通解的求法小 結(jié) 1.求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系課堂練習：課堂練習：123412423412342023036022250 xxxxxxxxxxxxxx 142434152122xxxxxx 令令 得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為41,x 1521221 答案：答案：2.用基礎(chǔ)解系表示用基礎(chǔ)解系表示線性方程組的全部解線性方程組的全部解課堂練習：課堂練習： 答案：答案：12341234124123452311342594175361xxxxxxxxxxxxxxx 1342349117211272xxxxxx 全部解為

18、全部解為129112721127001010cc 12,c c（ 為任意常為任意常數(shù)）數(shù)）也是也是 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系補例補例1.設設 是是 的一個基礎(chǔ)解系，證明：的一個基礎(chǔ)解系，證明：123, axo axo 122331, 證：證： (1)證證 的基礎(chǔ)解系存在，且含的基礎(chǔ)解系存在，且含3個解個解axo 123, 是是 的解的解axo 123,ao ao ao123,ao ao ao因為因為 是是 的一個基礎(chǔ)解系的一個基礎(chǔ)解系123, axo 故故 的基礎(chǔ)解系存在，且含的基礎(chǔ)解系存在，且含3個解個解axo (2)證證是是 的解的解122331, axo 也是也是 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系1.設設 是是 的一個基礎(chǔ)解系，證明：的一個基礎(chǔ)解系，證明：123, axo axo 122331, 證：證：1