第十一章常數(shù)項級數(shù)審斂法

1、常數(shù)項級數(shù)審斂法常數(shù)項級數(shù)審斂法 在研究級數(shù)時，中心問題是判定級數(shù)的斂散在研究級數(shù)時，中心問題是判定級數(shù)的斂散性，如果級數(shù)是收斂的，就可以對它進行某些性，如果級數(shù)是收斂的，就可以對它進行某些運算，并設法求出它的和或和的近似值但是除運算，并設法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個特殊的級數(shù)，在一般情況下，直接了少數(shù)幾個特殊的級數(shù)，在一般情況下，直接考察級數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因考察級數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級數(shù)的斂散性往往不可行而直接由定義來判定級數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級數(shù)的斂，這就要借助一些間接的方法來判定級數(shù)的斂散性，這些

2、方法稱為審斂法散性，這些方法稱為審斂法 對常數(shù)項級數(shù)將分為正項級數(shù)和任意項級數(shù)對常數(shù)項級數(shù)將分為正項級數(shù)和任意項級數(shù)來討論來討論一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中各項均有中各項均有如果級數(shù)如果級數(shù)01 nnnuu這種級數(shù)稱為正項級數(shù)這種級數(shù)稱為正項級數(shù). .這種級數(shù)非常重要，這種級數(shù)非常重要，以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問題以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問題都可歸結為正項級數(shù)的收斂性問題都可歸結為正項級數(shù)的收斂性問題2.2.正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件: : nsss21部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .n

3、s定理定理.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項級數(shù)收斂正項級數(shù)收斂ns3.比較審斂法比較審斂法均為正項級數(shù)，均為正項級數(shù)，和和設設 11nnnnvu且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂； 反反之之，若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv發(fā)發(fā)散散. . 證明證明 1)1(nnv設設,nnvu nnuuus 21且且nvvv 21即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu)()2( nsn設設,nnvu 且且nns 則則 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv定理證畢定理證畢.推推論論: : 若若 1nnu收收斂斂( (

4、發(fā)發(fā)散散) ) 且且)(nnnnvkunnkuv , , 比較審斂法的不便比較審斂法的不便:須有參考級數(shù)須有參考級數(shù).則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .例例 1 1 討討論論 p p- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設設,11nnp .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散則則 p, 1 p設設由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211oyx)1(1 pxyp1234 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 p 發(fā)散發(fā)散時時當當收斂收斂時時當當級數(shù)級

5、數(shù),1,1ppp重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), p-, p-級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). . 比較審斂法是一基本方法，雖然有比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應用起來卻有許多不便，因為它用，但應用起來卻有許多不便，因為它需要建立定理所要求的不等式，而這種需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應用不等式常常不易建立，為此介紹在應用上更為方便的極限形式的比較審斂法上更為方便的極限形式的比較審斂法例例 2 2 證證明明級級數(shù)數(shù) 1)1(1nnn是是發(fā)發(fā)散散的的. 證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)散發(fā)散而級數(shù)而級數(shù).)1(11 nnn

6、發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當當時時, , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當當時，若時，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當當時時, , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對于對于,n ,時時當當nn 22llvullnn )(232nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較

7、審斂法的推論, 得證得證.5 5. .極極限限審審斂斂法法：設設 1nnu為為正正項項級級數(shù)數(shù), , 如果如果0lim lnunn ( (或或 nnnulim),), 則級數(shù)則級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散; ; 如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, , 則則級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. . 例例 3 3 判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: : (1) 11sinnn ; (2) 131nnn ; 解解nnn1sinlim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.)2(nnnn3131lim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂

8、故原級數(shù)收斂.)1(6 6. .比比值值審審斂斂法法( (達達朗朗貝貝爾爾 d da al le em mb be er rt t 判判別別法法) )：設設 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu 則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. . 證明證明,為為有有限限數(shù)數(shù)時時當當 , 0 對對,n ,時時當當nn ,1 nnuu有)(1nnuunn 即即,1時時當當 ,1 取取, 1 r使使,12 nnruu,1223 nnnurruu,11 nmmnuru,111 mnmur收斂收斂而級數(shù)而級數(shù),11收斂收斂 nn

9、ummnuu收斂收斂,1時時當當 , 1 取取, 1 r使使,時時當當nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點比值審斂法的優(yōu)點: 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). .直接從級數(shù)本直接從級數(shù)本身的構成身的構成即通項來判定其即通項來判定其斂散性斂散性 兩點注意兩點注意:1 1. .當當1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 nn,112收收斂斂級級數(shù)數(shù) nn)1( 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. . ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nn

10、nnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 例例 4 4 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn!1)!1(11nnuunn )2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n),( n.10!1發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nn

11、n ,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(211收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nnn例例5 126sin3nnnn 解解由于由于nnnuu1lim 不存在，檢比法失效不存在，檢比法失效 而而nnnnn36sin32 對對 13nnn由檢比法得由檢比法得 13nnn收斂收斂故由比較審斂法知故由比較審斂法知 126sin3nnnn 收斂收斂例例6nnnxn)( !1 )0( x解解nnnnnnnxnnxnuu)( !)1()!1(limlim11 exnxnn )11(lim由檢比法得由檢比法得 ex 級數(shù)收斂級數(shù)收斂ex 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散ex 檢比法失效檢比法失效，但，但nne)11( 即后項大于前項

12、即后項大于前項nnuu 1故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散7.7.根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )： 設設 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim )( 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂; ; 1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. . 證明證明1)1( 取取 100則則10 r由由 nnnulim知知時時，使當，使當nnn runn 0 )(nnrunn 由由 1nnnr收斂及比較審斂法得收斂及比較審斂法得 1nnnu收斂收斂 1nnu收斂收斂1)2( 由由 nnnulim知知時時，使當，使當nnn 1 nnu1 nu故故nu不趨于

13、不趨于 0 1nnu發(fā)散發(fā)散1)3( 不能判定不能判定如如 12111nnnn與與都有都有1lim nnnu但但 121nn收斂收斂 11nn發(fā)散發(fā)散,1 ,1 nnn設設級級數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則級數(shù)收斂則級數(shù)

14、收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項nr的絕對值的絕對值1 nnur. .證明證明, 01 nnuu)()()(21243212nnnuuuuuus ,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列nsnnnnuuuuuus212223212)()( 又1u ,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns.lim12ussnn , 0lim12 nnu)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和),(21 nnnuur余項余項,21 nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.例例 7 7 判判別別級級數(shù)數(shù) 21)1(n

15、nnn的的收收斂斂性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.證明證明 un 單調(diào)減的方法單調(diào)減的方法01 nnuu11 nnuu？0)()( xfnfun考察考察？三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂定義定義: : 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1

16、收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收斂斂. 上定理的作用：上定理的作用：任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ; 若若 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,而而 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為條件收斂為條件收斂. . 例例 8 8 判判別別級級數(shù)數(shù) 12sinnnn的的收收斂斂性性. . 解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.將正項級數(shù)的檢比法和檢根法應用于判定任意項將正項級數(shù)的檢比法和檢根法

17、應用于判定任意項級數(shù)的斂散性可得到如下定理級數(shù)的斂散性可得到如下定理定理定理設有級數(shù)設有級數(shù) 1nnu nnnuu1lim)|lim( nnnu 則則1 1nnu絕對收斂絕對收斂1 1nnu發(fā)散發(fā)散1 可能絕對收斂，可能條件收可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散斂，也可能發(fā)散如如 121)1(nnn 11)1(nnn 11)1(nn注意注意一般而言，由一般而言，由 發(fā)散，并不能推出發(fā)散，并不能推出 1|inu 1inu發(fā)散發(fā)散如如 11)1(nnn 11in發(fā)散發(fā)散但但 收斂收斂 11)1(nnn如果如果 發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定 1|inu則則 必定發(fā)散必定

18、發(fā)散 1inu這是因為檢比法與檢根法這是因為檢比法與檢根法審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項不趨向于審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項不趨向于0由由00|nnuu四、小結四、小結正正 項項 級級 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若ssn;, 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當當 nun思考題思考題 設設正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是是否否成成立立? ? 思考題解答

19、思考題解答由由正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂, nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.練練 習習 題題一一、填填空空題題: : 1 1、 p級級數(shù)數(shù)當當_ _ _ _ _ _ _ _時時收收斂斂, ,當當_ _ _ _ _ _ _ _時時發(fā)發(fā)散散； 2 2、若若正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu的的后后項項與與前前項項之之比比值值的的根根 等等于于, , 則則當當_ _ _ _ _ _ _ _ _時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂；_ _ _ _ _ _ _ _ _時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _時時級級數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散 . . 二、二、用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數(shù)的收斂 性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . . 三、三、 用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性: :