2022年傳熱學(xué)-傳熱學(xué)教案

1、第 2 章 導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1 、重點(diǎn)內(nèi)容： 傅立葉定律及其應(yīng)用； 導(dǎo)熱系數(shù)及其影響因素； 導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)模型。2 、掌握內(nèi)容：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解法3 、了解內(nèi)容：多維導(dǎo)熱問題第一章介紹傳熱學(xué)中熱量傳遞的三種基本方式：導(dǎo)熱、對流、熱輻射。根據(jù)這三個(gè)基本方式， 以后各章節(jié)深入討論其熱量傳遞的規(guī)律，理解研究其物理過程機(jī)理，從而達(dá)到以下工程應(yīng)用上目的：基本概念、基本定律 : 傅立葉定律 , 牛頓冷卻定律 , 斯忒藩玻耳茲曼定律。 能準(zhǔn)確的計(jì)算研究傳熱問題中傳遞的熱流量 能準(zhǔn)確的預(yù)測研究系統(tǒng)中的溫度分布導(dǎo)熱是一種比較簡單的熱量傳遞方式 , 對傳熱學(xué)的深入學(xué)習(xí)必須從導(dǎo)熱開始，著重討論穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

2、。首先，引出導(dǎo)熱的基本定律，導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)熱微分方程；其次，介紹工程中常見的三種典型 （所有導(dǎo)熱物體溫度變化均滿足）幾何形狀物體的熱流量及物體內(nèi)溫度分布的計(jì)算方法。最后，對多維導(dǎo)熱及有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱進(jìn)行討論。2-1 導(dǎo)熱基本定律一 、溫度場1 、概念溫度場是指在各個(gè)時(shí)刻物體內(nèi)各點(diǎn)溫度分布的總稱。由傅立葉定律知： 物體導(dǎo)熱熱流量與溫度變化率有關(guān)，所以研究物體導(dǎo)熱必涉及到物體的溫度分布。一般地，物體的溫度分布是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。即：()tf xyz， ， ，（2-1）式中：xyz、 、為空間笛卡兒坐標(biāo)；為時(shí)間坐標(biāo)。2 、溫度場分類1 ）穩(wěn)態(tài)溫度場（定常溫度場）：是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點(diǎn)的溫度

3、分布不隨時(shí)間的改變而變化的溫度場稱穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達(dá)式：()tf xyz， ，（2-2）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -在特殊情況下， 物體的溫度僅在一個(gè)坐標(biāo)方向上有變化，如圖 1.1 所示的兩個(gè)各自保持均勻溫度的平行平面間的導(dǎo)熱就是一個(gè)例子。這種情況下的溫度場稱為一維穩(wěn)態(tài)溫度場。2 ）非穩(wěn)態(tài)溫度場（非定常溫度場）：是指在變動(dòng)工作條件下，物體中各點(diǎn)的溫度分布隨時(shí)間而變化的溫度場稱非穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達(dá)式為式（2-1）。3 、等溫面及等溫線1 ）等溫面：對于三維溫度場中同一瞬間同溫度

4、各點(diǎn)連成的面稱為等溫面。2 ）等溫線（ 1 ）定義：在任何一個(gè)二維的截面上等溫面表現(xiàn)為等溫線。一般情況下，溫度場用等溫面圖和等溫線圖表示。（ 2 ）等溫線的特點(diǎn)：物體中的任何一條等溫線要么形成一個(gè)封閉的曲線，要么終止在物體表面上，它不會與另一條等溫線相交。（ 3 ）等溫線圖的物理意義：若每條等溫線間的溫度間隔相等時(shí)，等溫線的疏密可反映出不同區(qū)域?qū)釤崃髅芏鹊拇笮?。若t相等，且等溫線越疏，則該區(qū)域熱流密度越?。环粗?，越大。二 、導(dǎo)熱基本定律教材（ 1-1 ）、（ 1-2 ）式的適用條件：（ 1 ）一維導(dǎo)熱（ 2 ）一塊平板兩側(cè)表面溫度分別維持各自均勻的溫度。1 、導(dǎo)熱基本定律（傅立葉定律）1 ）

5、定義：在導(dǎo)熱現(xiàn)象中，單位時(shí)間內(nèi)通過給定截面所傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率， 而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反，即：tax圖 2-1 溫度場的圖示精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -此處， x是垂直于面積a的坐標(biāo)軸。2 ）數(shù)學(xué)表達(dá)式：tax（2-3）傅里葉定律用熱流密度q表示為：tqx（2-4）式中：tx是物體溫度沿 x方向的變化率；q是沿 x方向傳遞的熱流密度（嚴(yán)格說熱流密度是矢量，所以q是熱流密度矢量在x方向的分量）。當(dāng)物體的溫度是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，三個(gè)坐

6、標(biāo)方向上的單位矢量與該方向上熱流密度分量乘積合成一個(gè)熱流密度矢量，記為q。傅里葉定律的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：tqgradtnn（2-5）式中：gradt是空間某點(diǎn)的溫度梯度；n 是通過該點(diǎn)的等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向；q為該處的熱流密度矢量。2 、溫度梯度與熱流密度矢量的關(guān)系如圖 2-2（a）所示，表示了微元面積da附近的溫度分布及垂直于該微元面積的熱流密度矢量的關(guān)系。1 ）熱流線定義：熱流線是一組與等溫線處處垂直的曲線，通過平面上任一點(diǎn)的熱流線與該點(diǎn)的熱流密度矢量相切。圖 2-2 等溫線與熱流線精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

7、 第 3 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -2 ）熱流密度矢量與熱流線的關(guān)系：在整個(gè)物體中， 熱流密度矢量的走向可用熱流線表示。如圖2-2（b）所示，其特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)熱流線之間所傳遞的熱流密度矢量處處相等，構(gòu)成一熱流通道。三 、導(dǎo)熱系數(shù)（ 導(dǎo)熱率、比例系數(shù)）1 、導(dǎo)熱系數(shù)的含義導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)值上等于qtnn（2-5）2 、特點(diǎn)其大小取決于：（ 1 ）物質(zhì)種類（氣體液體金屬）；（ 2 ）物質(zhì)溫度，與t 間的關(guān)系，可寫成：bt10其中： t溫度：b常數(shù)；0該直線延長與縱坐標(biāo)的截距。3 、保溫材料（隔熱、絕熱材料）把導(dǎo) 熱系 數(shù) 小 的材 料稱保 溫材 料 。 我國 規(guī)定 ：350pj

8、t時(shí) ，12.0w/(m.k)的材料稱為保溫材料。保溫材料導(dǎo)熱系數(shù)界定值的大小反映了一個(gè)國家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高。我國50 年代為 0.23 w/(m.k) ，80 年代 gb4272-84規(guī)定為 0.14w/(m.k) ，gb427-92規(guī)定為 0.12 w/(m.k) 。4 、保溫材料熱量轉(zhuǎn)移機(jī)理 ( 高效保溫材料 ) 高溫時(shí)： (1) 蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱；(2) 穿過微小氣孔的導(dǎo)熱。更高溫度時(shí)：（ 1 ）蜂窩固體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱；（ 2 ）穿過微小氣孔的導(dǎo)熱和輻射。5 、超級保溫材料采取的方法：（ 1 ）夾層中抽真空（減少通過導(dǎo)熱而造成熱損失）（ 2 ） 采用

9、多層間隔結(jié)構(gòu) （ 1cm 達(dá)十幾層）特點(diǎn)：間隔材料的反射率很高， 減少輻射換熱， 垂直于隔熱板上的導(dǎo)熱系數(shù)可達(dá)： 104w/(m.k)。6 、各向異性材料指有些材料（木材，石墨）各向結(jié)構(gòu)不同，各方向上的也有較大差別，這些材料稱各向異性材料。此類材料必須注明方向。相反，稱各向同性材料。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -22 導(dǎo)熱微分方程式及定解條件由前可知：（ 1 ）對于一維導(dǎo)熱問題，根據(jù)傅立葉定律積分，可獲得用兩側(cè)溫差表示的導(dǎo)熱量。（ 2 ）對于多維導(dǎo)熱問題，首先獲得溫度場的分布函

10、數(shù)()tfxyz， ，然后根據(jù)傅立葉定律求得空間各點(diǎn)的熱流密度矢量。一 、導(dǎo)熱微分方程1 、定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導(dǎo)熱物體中的溫度場應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為導(dǎo)熱微分方程。2 、導(dǎo)熱微分方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)方法，假定導(dǎo)熱物體是各向同性的。1 ）針對笛卡兒坐標(biāo)系中微元平行六面體由前可知，空間任一點(diǎn)的熱流密度矢量可以分解為三個(gè)坐標(biāo)方向的矢量。同理，通過空間任一點(diǎn)任一方向的熱流量也可分解為x 、y、 z坐標(biāo)方向的分熱流量，如圖 2-3 所示。 通過xx、yy、zz三個(gè)微元表面而導(dǎo)入微元體的熱流量：x、y、z的計(jì)算式。根據(jù)傅立葉定律得：dydxztdxdzytdydzxt

11、zyx（a） 通過dxxx、dyyy、dzzz三個(gè)微元表面而導(dǎo)出微元體的熱流量的計(jì)算式。根據(jù)傅立葉定律得：圖 2-3 微元平行六面體的導(dǎo)熱分析精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -dzdydxztzdzzdydxdzytydyydxdydzxtxdxxzzdzzyydyyxxdxx（b） 對于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時(shí)間間隔內(nèi)有以下熱平衡關(guān)系：導(dǎo)入微元體的總熱流量 + 微元體內(nèi)熱源的生成熱 = 導(dǎo)出微元體的總熱流量 + 微元體熱力學(xué)能（內(nèi)能）的增量(c) 其中: 微元體內(nèi)能的

12、增量 =dxdydztc(d) 微元體內(nèi)熱源生成熱 =dxdydz(e) 其中及、c分別為微元體的密度、比熱容、單位時(shí)間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成熱及時(shí)間。將式（ a）、（ b）、（ d）、（ e）代入式（ c），并整理得：ztzytyxtxtc(2-7) 這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式。物理意義：反映了物體的溫度隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系。討論：const時(shí)：czya222222ttxtt(2-8) 其中ca稱擴(kuò)散系數(shù)（熱擴(kuò)散率）。 物體內(nèi)無內(nèi)熱源，即0，且const時(shí)：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 23

13、 頁 - - - - - - - - -222222zyattxtt(2-9) 若const，且屬穩(wěn)態(tài)，即：0t時(shí)：0zy222222ttxt(2-10) 即數(shù)學(xué)上的泊松方程。該微分方程屬常物性、穩(wěn)態(tài)、三維、有內(nèi)熱源問題的溫度場控制方程式。 常物性、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：0zy222222ttxt (2-11) 即數(shù)學(xué)上的拉普拉斯方程。2）圓柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程, ,rzcos ,sin,xryrzzrtqr，1tqr，ztqz211tttt c r rrrrzz(2-12) 3）球坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程, ,rsincos,sinsin,cosxryrzrrtqr，1tqr，1sintqr22

14、22111sinsinsintttt c r rrrrr (2-13) 綜上說明：（ 1 ）導(dǎo)熱問題仍然服從能量守恒定律；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -（ 2 ）等號左邊是單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量（非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)）；（ 3 ）等號右邊前三項(xiàng)之和是通過界面的導(dǎo)熱使微分元體在單位時(shí)間內(nèi)增加的能量 ( 擴(kuò)散項(xiàng) ) ；（ 4 ）等號右邊最后項(xiàng)是源項(xiàng)；（ 5 ）若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散項(xiàng)即從導(dǎo)熱微分方程中消失。通過導(dǎo)熱微分方程可知， 求解導(dǎo)熱問題， 實(shí)際

15、上就是對導(dǎo)熱微分方程式的求解。預(yù)知某一導(dǎo)熱問題的溫度分布，必須給出表征該問題的附加條件。二、 定解條件1 、定義：是指使導(dǎo)熱微分方程獲得適合某一特定導(dǎo)熱問題的求解的附加條件。2 、分類：1 ）初始條件：初始時(shí)間溫度分布的初始條件；2 ）邊界條件：導(dǎo)熱物體邊界上溫度或換熱情況的邊界條件。說明： 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有兩個(gè)；穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件只有邊界條件，無初始條件。3 、導(dǎo)熱問題的常見邊界條件可歸納為以下三類：1 ）第一類邊界條件：規(guī)定了邊界上的溫度值, 即wtconst。對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱這類邊界條件要求給出以下關(guān)系，0時(shí), ftw1；2 ）第二類邊界條件：規(guī)定了邊界上的熱流密度值；對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱這類

16、邊界條件要求給出以下關(guān)系式：當(dāng)0時(shí)，fntw2式中 n為表面 a 的法線方向。3 ）第三類邊界條件：規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h以及周圍流體的溫度ft 。以物體被冷卻為例：fwwtthnt對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，式中h、ft 均是的函數(shù)。三、有關(guān)說明1 、熱擴(kuò)散率的物理意義精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -由熱擴(kuò)散率的定義：ca可知：1）是物體的導(dǎo)熱系數(shù)，越大，在相同溫度梯度下，可以傳導(dǎo)更多的熱量。2) c是單位體積的物體溫度升高1所需的熱量。c越小，溫度升高 1所吸收的熱

17、量越少， 可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。由此可見a的物理意義： a越大，表示物體受熱時(shí)，其內(nèi)部各點(diǎn)溫度扯平的能力越大。 a越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，a也是材料傳播溫度變化能力大小的指標(biāo)，亦稱導(dǎo)溫系數(shù)。2 、導(dǎo)熱微分方程的適用范圍1 ）適用于q不很高，而作用時(shí)間長。同時(shí)傅立葉定律也適用該條件。2 ）若時(shí)間極短，而且熱流密度極大時(shí)，則不適用。3 ）若屬極低溫度（接近于0k）時(shí)的導(dǎo)熱不適用。學(xué)習(xí)了導(dǎo)熱微分方程及邊界條件后， 對于導(dǎo)熱的絕大多數(shù)問題都可以通過給出該問題的完整數(shù)學(xué)描寫后進(jìn)行求解，求出物體內(nèi)的溫度分布， 進(jìn)而結(jié)合傅里葉定律求出熱流

18、量或者熱流密度等其它需要求解的問題。對于工程實(shí)際的一些問題，完全可以對實(shí)際問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕⑶蠼?，同學(xué)們要掌握解決實(shí)際問題的方法。下面通過幾個(gè)例題來說明。例題 1：一直徑為d、長為l的圓桿，兩端分別與溫度為1t 及2t 的表面接觸，桿的導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)。試對下列兩種穩(wěn)態(tài)情形列出桿中溫度的微分方程式及邊界條件，并求之：（1）桿的側(cè)面是絕熱的；（2）桿的側(cè)面與四周流體間有穩(wěn)定的對流換熱，平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，流體溫度ft 小于1t 及2t 。拿到問題后， 首先要分析屬于什么類型的問題，并對微分方程進(jìn)行簡化， 而后其邊界條件。解： （1）（1）210220ttttdxtdlxx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p

19、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -解方程得溫度分布函數(shù)為：112txlttt（2）210220)(4ttttttdhdxtdlxxf引入過余溫度ftt，有：flxfxttttdhdxd221102204解方程，得)()()(21mlchmxshlxmch例題 2：核反應(yīng)堆的輻射防護(hù)壁因受射線的照射而發(fā)熱，這相當(dāng)于防護(hù)壁內(nèi)有0axe的內(nèi)熱源，其中0是0 x的表面上的發(fā)射率，a 為已知常數(shù)。已知0 x處1tt ，x處2tt ，防護(hù)壁內(nèi)溫度分布滿足220d tdx，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)。試導(dǎo)出該防護(hù)壁中溫度分布的表

20、達(dá)式及最高溫度所在的位置。解：該問題的完整數(shù)學(xué)描寫為：221200d tdxt xtt xt，也即2021200axd tedxt xtt xt積分，得0122axtec xca代入邊界條件，得0211202121attceacta將12cc、值代入溫度分布表達(dá)式中，得溫度分布為：0002112221axattteextaaa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -最高溫度應(yīng)滿足0dtdx求得最高溫度所在的位置為：21200()11lnaattexaa例題 3：一厚為的無限大平板，其一

21、側(cè)被加熱，熱流密度wq為常數(shù)，另一側(cè)向溫度為t的環(huán)境散熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，平板導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)。試列出平板中穩(wěn)態(tài)溫度場的微分方程式及邊界條件，并求出平板內(nèi)的溫度分布函數(shù)。解：建立如右圖所示的坐標(biāo)，則該問題的微分方程式及邊界條件為：2200wxxxd tdxtqxth ttx求解微分方程，得12tc xc將兩邊界條件代入，解得1wqc，2wwqqcth則單層平壁內(nèi)的溫度分布表達(dá)式為：wwqqtxth2-3 通過平壁、圓筒壁、球殼和其他變截面物體的導(dǎo)熱一 、通過平壁的導(dǎo)熱1 、單層平壁已知：單層平壁兩側(cè)恒溫且為1t 、2t , 壁厚m ，如圖 2-4 所示，建立坐標(biāo)系，溫度只在 x 方向變化，屬一

22、維溫度場。試確定溫度分布并求q。1 ）溫度分布當(dāng)const時(shí)，無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱完整的數(shù)學(xué)描寫為：圖 2-4 單層平壁0 x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -210220ttttdxtdxx對微分方程積分得其通解（連續(xù)積分兩次）：21cxct其中1c 、2c 為常數(shù)，由邊界條件確定。代入邊界條件，得該條件下其溫度分布為：112txttt由上式可知物體內(nèi)溫度分布成線性關(guān)系，即溫度分布曲線的斜率是常數(shù)（溫度梯度）ttdxdt12。2 ）熱流密度q根據(jù)傅立葉定律，結(jié)合溫度分布函數(shù)，

23、得通過平壁的熱流密度為：tttq21（ 2-18 ）若表面積為a，通過平壁的導(dǎo)熱熱流量則為: tatt a21（ 2-19 ）此兩式是通過平壁導(dǎo)熱的計(jì)算公式，它們揭示了q、與、和t之間的關(guān)系。2 、熱阻的含義熱量傳遞是自然界的一種轉(zhuǎn)換過程，與自然界的其他轉(zhuǎn)換過程類同，如：電量的轉(zhuǎn)換，動(dòng)量、質(zhì)量等的轉(zhuǎn)換。其共同規(guī)律可表示為：過程中的轉(zhuǎn)換量=過程中的動(dòng)力 / 過程中的阻力，由前可知：在平板導(dǎo)熱中導(dǎo)熱熱流量：ta，即：at (2-21) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -式中:-熱流量

24、，為導(dǎo)熱過程的轉(zhuǎn)移量；t-溫差，為導(dǎo)熱過程的動(dòng)力；a- 為導(dǎo)熱過程的阻力。由此引出熱阻的概念：1 ）熱阻定義：熱轉(zhuǎn)移過程的阻力稱為熱阻。2 ）熱阻分類：不同的熱量轉(zhuǎn)移有不同的熱阻，其分類較多，如：導(dǎo)熱阻、輻射熱阻、對流熱阻等。對平板導(dǎo)熱而言又分：面積熱阻ar ：位面積的導(dǎo)熱熱阻稱面積熱阻。熱阻r：整個(gè)平板導(dǎo)熱熱阻。3 ）熱阻的特點(diǎn)：串聯(lián)熱阻疊加原則： 在一個(gè)串聯(lián)的熱量傳遞過程中， 若通過各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱流量相同，則串聯(lián)過程的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的分熱阻之和。因此，穩(wěn)態(tài)傳熱過程熱阻的組成是由各個(gè)構(gòu)成環(huán)節(jié)的熱阻組成，且符合熱阻疊加原則。3 、復(fù)合壁的導(dǎo)熱情況復(fù)合壁（多層壁）：就是由幾層不同材料疊加在

25、一起組成的復(fù)合壁。如圖 2-5 所示。以下討論三層復(fù)合壁的導(dǎo)熱問題，如圖2-5 所示：假設(shè)條件：層與層間接觸良好，沒有引起附加熱阻（亦稱為接觸熱阻）也就是說通過層間分界面時(shí)不會發(fā)生溫度降。已知各層材料厚度為1、2、3，對應(yīng)導(dǎo)熱系數(shù)為1、2、3，多層壁內(nèi)外表面溫度為1t 、4t ， 其中間溫度2t 、3t 未知，const。試求：通過多層壁的熱流密度q。解：根據(jù)平壁導(dǎo)熱公式可知各層熱阻為：圖 2-5 多層平壁精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -334322321121qttqttqt

26、t根據(jù)串聯(lián)熱阻疊加原理得多層壁的總熱阻為（適用條件： 無內(nèi)熱源， 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱）：33221141qtt則多層壁熱流密度計(jì)算公式為：33221141ttq（2-22）依次類推， n層多層壁的計(jì)算公式是：niiinttq111（2-23）解得熱流密度后，層間分界面上的未知溫度2t 、3t 即可求出：1112qtt（2-24）說明：當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)對溫度有依變關(guān)系時(shí)， 即導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)bt10時(shí)，只需求得該區(qū)域平均溫度下的值，代入以上公式即可求出正確結(jié)果。二 、通過圓筒壁的導(dǎo)熱1 、單層圓筒壁已知圓筒內(nèi)、外半徑分別為21rr 、， 內(nèi)外表面溫度恒定分別為21tt 、，若采用圓柱坐標(biāo)系zr，求解

27、，則成為沿半徑方向的一維導(dǎo)熱問題， 如圖 2-6 所示，假設(shè)：const。1 ）圓筒壁的溫度分布根據(jù)圓柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -ztztrrtrrrtc211得常物性、穩(wěn)態(tài)、一維、無內(nèi)熱源圓筒壁的導(dǎo)熱微分方程為：0drdtrdrd（225）如圖建立坐標(biāo)系，邊界條件為：2121ttttrrrr對此方程積分得其通解 ( 連續(xù)積分兩次 ) ：21lncrct其中1c 、2c 為常數(shù)，由邊界條件確定。代入邊界條件，得：121211212121/lnln/

28、lnrrttrtcrrttc將1c 、2c 代入導(dǎo)熱微分方程通解中，得圓筒壁的溫度分布為：112121/ln/lnrrrrtttt（226）由此可見，圓筒壁中的溫度分布呈對數(shù)曲線，而平壁中的溫度分布呈線性分布。2 ）圓筒壁導(dǎo)熱的熱流密度：對圓筒壁溫度分布求導(dǎo)得：1212/ln1rrttrdrdt代入傅立葉定律得通過圓筒壁的熱流密度：1212/lnrrttrdrdtq（227）由此可見，通過圓筒壁導(dǎo)熱時(shí)，不同半徑處的熱流密度與半徑成反比。3 ）圓筒壁面的熱流量：圖 2-6 單層圓筒壁精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 23 頁

29、 - - - - - - - - -1221/ln)(22rrttlrlq（228）由此可見，通過整個(gè)圓筒壁面的熱流量不隨半徑的變化而變化。2、多層圓筒壁據(jù)熱阻的定義，通過圓通壁的導(dǎo)熱熱阻為：lrrtr2/ln12（229）同理：對于多層圓通壁的導(dǎo)熱問題，可根據(jù)熱阻疊加原理， 求得通過多層圓通壁的導(dǎo)熱熱流量：33422311241/ln/ln/ln)(2ddddddttl（230）三、其他變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)的導(dǎo)熱問題前三種情況的求解方法： 1）求解導(dǎo)熱微分方程得其溫度分布；2）據(jù)傅立葉定律獲得導(dǎo)熱熱流量。1 、變導(dǎo)熱系數(shù)根據(jù)傅立葉定律求解而導(dǎo)熱系數(shù)為變數(shù)或沿導(dǎo)熱熱流密度矢量方向?qū)峤孛娣e為變量

30、時(shí)，此方法有效。導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的函數(shù)，根據(jù)傅立葉定律得：dxdtta分離變量后積分，并注意到與 x無關(guān)，則得：dttadxttxx2121方程右邊乘以1212/tttt，得：12122121ttttdttadxttxx顯然，式中1221ttdtttt項(xiàng)是在1t 至2t 范圍內(nèi)的積分平均值， 可用表示，于是上式寫成：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -2112xxttdxa（234）方程中若t，則bt10或at0，由此可見：是算術(shù)平均溫度2/ )(21ttt下的值，計(jì)算時(shí)只需把前述公

31、式中的取平均溫度下的值即可。2-4 通過肋片的導(dǎo)熱一、基本概念1 、肋片：依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。2 、常見肋片的結(jié)構(gòu)：針肋、直肋、環(huán)肋、大套片。3 、肋片導(dǎo)熱的作用及特點(diǎn)：1 ）作用：增大對流換熱面積及輻射散熱面, 以強(qiáng)化換熱。2 ）特點(diǎn)：在肋片伸展的方向上有表面的對流換熱及輻射散熱，肋片中沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。即：const。4 、分析肋片導(dǎo)熱解決的問題：一是確定肋片的溫度沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向是如何變化的？二是確定通過肋片的散熱熱流量有多少？肋片在工程實(shí)際的換熱設(shè)備中，常用于強(qiáng)化對流換熱，如散熱器外加肋片，翅片管換熱器等都是應(yīng)用肋片強(qiáng)化換熱的典型例子。肋片的型式多種

32、多樣， 其中最簡單的就是等截面直肋。二、通過等截面直肋的導(dǎo)熱如圖 2-7 所示，已知肋根溫度為0t , 周圍流體溫度為 t ，且tt0，h為復(fù)合換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。試確定：肋片中的溫度分布及通過肋片的散熱量。解：假設(shè)： 1）肋片在垂直于紙面方向 ( 即深度方向 ) 很長，不考慮溫度沿該方向的變化，因此取單位長度分析；2）材料導(dǎo)熱系數(shù)及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h均為常數(shù)，沿肋高方向肋片橫截面積ca 不變；3）表面上的換熱熱阻h/1遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻/，即肋片上任意截面上的溫度均勻不變；4）肋片頂端視為絕熱，即0/dxdt；在上述假設(shè)條件下，復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問題就轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，如圖2.7 （b）。但是肋

33、片導(dǎo)熱不同于前面的平壁和圓筒壁的導(dǎo)熱。從圖 2-7 中可以看出，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -肋片的邊界為肋根和肋端， 分別添加第一和第二類邊界條件，但肋片的周邊也要與周圍流體進(jìn)行對流換熱， 將該項(xiàng)熱量作為肋片的內(nèi)熱源進(jìn)行處理，這樣肋片的導(dǎo)熱問題就簡化成了一維有內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。其相應(yīng)的導(dǎo)熱微分方程為：022dxtd（a）計(jì)算區(qū)域的邊界條件是：000dt/dxhxttx(b) 針對長度為dx的微元體，參與換熱的截面周長為p，則微元表面的總散熱量為：tthpdxs)(（c）

34、微元體的體積為dxac, 那么，微元體的折算源項(xiàng)為：ccsattphdxa（d）負(fù)號表示肋片向環(huán)境散熱，所以源項(xiàng)取負(fù)。將式（ d）代入式（ a），得：圖 2-7 通過肋片的熱量傳遞精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -cattphdxtd22（e）該式為溫度 t的二階非齊次常微分方程。為求解方便，引入過余溫度tt，使式 (e) 變形成為二階齊次方程 , 可得所研究問題的完整數(shù)學(xué)描寫為：0000222dxdhxttxmdxd（235）式中)/(cahpm為一常量。式（235）是一個(gè)二階

35、線性齊次常微分方程，求解得其通解為：mxmxecec21（f ）其中21cc 、為積分常數(shù)，由邊界條件確定。將邊界條件代入得：021021mhm hmecmeccc(g) 求解，得：mhmhmhmhmhmheeeceeec0201將21cc 、代入通解中 , 得肋片中的溫度分布為：mhchhxmcheeeemhmxmhmx02201（236）令hx, 即可從上式得出肋端溫度的計(jì)算式：mhchh0（237）據(jù)能量守恒定律知，由肋片散入外界的全部熱流量都必須通過0 x處的肋根截面。將式（ 236）的代入傅里葉定律的表達(dá)式，即得通過肋片散入外界的熱流量為：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

36、- - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -mhmthmhpmhmthamhshmhchmadxdaccxcx00000（238）說明： 1）上述結(jié)論是在假設(shè)肋端絕熱的情況下推出的，即0dt/dxhx?？蓱?yīng)用于大量實(shí)際肋片，特別是薄而長結(jié)構(gòu)的肋片，可以獲得實(shí)用上足夠精確的結(jié)果。若必須考慮肋端的散熱，則0dt/dxhx，上述公式不適用，此時(shí)可在肋端添加第三類邊界條件進(jìn)行求解；2）計(jì)算熱流量的比較簡便的方法。若肋片的厚度為，引入假想高度2hh代替實(shí)際肋高h(yuǎn)仍按式（ 238）計(jì)算。這種處理，實(shí)際上是基于這樣一種想法， 即為了照顧末梢端面的

37、散熱而把端面面積鋪展到側(cè)面上去。三、通過環(huán)肋及三角形截面直肋的導(dǎo)熱前面推導(dǎo)的等截面直肋的情況是肋片求解中一種最為簡單的情況。變截面直肋或等厚度環(huán)肋的情況要復(fù)雜一些，因?yàn)閷τ谶@些情況，截面積ca 不能再作為常量處理，因而其基本微分方程式的求解要復(fù)雜得多。為了表征肋片散熱的有效程度，引入肋效率的概念，它有以下物理意義：基溫度下的散熱量假設(shè)整個(gè)肋表面處于肋實(shí)際散熱量f（239）已知肋效率f即可計(jì)算出肋片的實(shí)際散熱量。對于等截面直肋，其肋效率為：mhmhthhphmhmthmhpf00（240）對于直肋，假定肋片長度l比其厚度要大得多，所以可取出單位長度來研究。其中參與換熱的周界2p，于是有：hhhh

38、hahpmhc212（h）對于環(huán)肋，理論分析表明，肋效率也是參數(shù)mh的單值函數(shù)。假定環(huán)的內(nèi)半徑遠(yuǎn)大于其厚度，則上式同樣成立。將上式的分子分母同乘以2/1h，得：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -2/32/32hahhhhpmhl（241）式中，hal代表肋片的綜剖面積。實(shí)用上，往往采用以肋效率f與式（ 241）所示的mh或2/32hahl為坐標(biāo)的曲線，來表示各種肋片的理論解的結(jié)果。圖 214、215（見教材 41 頁）分別示出了直肋和環(huán)肋的這種曲線圖。四、接觸熱阻兩個(gè)名義上互相接

39、觸的固體表面，實(shí)際上接觸僅發(fā)生在一些離散的面積元上，如圖 218所示。在未接觸的界面之間的間隙中常常充滿空氣，熱量將以導(dǎo)熱及輻射的方式穿過這種氣隙層。這種情況與兩固體表面真正完全接觸相比，增加了附加的傳遞阻力， 稱為接觸熱阻。 對于需要強(qiáng)化換熱的情形，如肋片表面，接觸熱阻是有害的。當(dāng)采用在圓管上纏繞金屬帶以生成環(huán)肋， 或在管束間套以金屬薄片形成管片式換熱器時(shí)， 采用脹管或浸鍍錫液的操作都是為了有效地減少接觸熱阻。 當(dāng)界面間有了接觸熱阻時(shí)界面上的溫度就不再連續(xù)，如圖218 所示。目前，不同接觸情況下的接觸熱阻主要靠實(shí)驗(yàn)測定。例題（習(xí)題 269）：一種利用對比法測定材料導(dǎo)熱系數(shù)的裝置示意圖如附圖所示。用導(dǎo)熱系數(shù)已知的材科a及待測導(dǎo)