第5章時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法

1、第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法狀態(tài)變量分析法 5.1 引言引言 5.2 用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.3 無(wú)奶長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無(wú)奶長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.4 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.5 狀態(tài)變量分析法狀態(tài)變量分析法第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法5.1 引言引言 一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)

2、進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入輸出服從N階差分方程 0101( )()()( )( )( )1MNiiiiMiiiNiiiy nb x nia y nibzY zH zX za z其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 給定一個(gè)差分方程，不同的算法有很多種，例如： 1122113111( )10.80.151.52.5( )10.310.511( )10.310.5H zzzHzzzHzzz第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法5.2 用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用信

3、號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 觀察(5.1.1)式，數(shù)字信號(hào)處理中有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如圖5.2.1所示。 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法圖5.2.1 三種基本運(yùn)算的流圖表示z1x(n)x(n 1)x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n)x(n)x(n 1)z1x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 和每個(gè)節(jié)點(diǎn)連接的有輸入支路和輸出支路，節(jié)點(diǎn)變量等于所有

4、輸入支路的輸出之和。在圖5.2.2中， 122221221211202( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx nanany nbnbnbn(5.2.1) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.2.2 信號(hào)流圖(a)基本信號(hào)流圖；(b)非基本信號(hào)流圖第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 不同的信號(hào)流圖代表不同的運(yùn)算方法，而對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號(hào)流圖相對(duì)應(yīng)。從基本運(yùn)算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號(hào)流圖(Primiti

5、ve Signal Flow Graghs)。 (1) 信號(hào)流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數(shù)或者是z-1； (2) 流圖環(huán)路中必須存在延時(shí)支路； (3) 節(jié)點(diǎn)和支路的數(shù)目是有限的。 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.2.1 求圖5.2.2(a)信號(hào)流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 將5.2.1式進(jìn)行z變換，得到 11212221221211202( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )W zW z zW zW z zW zX zaW za W zY zbW zbW zbW z經(jīng)過(guò)聯(lián)

6、立求解得到：120121212( )( )( )1Y zbb zb zH zX za za z第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：0( )()Miiy nb x ni 其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的，按照(5.2.2)式，h(n)表示為 ,0( )0,nbnMh n其它n 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 另一類IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對(duì)輸入的反饋支路，也就是說(shuō)，信號(hào)流圖中存在環(huán)路。這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈

7、沖響應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。例如一個(gè)簡(jiǎn)單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)差分方程為 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)。這兩類不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)各有不同的特點(diǎn)，下面分類敘述。第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法5.3 無(wú)奶長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無(wú)奶長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1.直接型 對(duì)N階差分方程重寫(xiě)如下： 01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.3.1 IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu) b0b1b2z1z1z1

8、z1a1a2x(n)x(n 1)x(n 2)y(n)y(n 1)y(n 2)x(n)y(n)b0b1b2z1z1z1z1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z1z1（ a ）（ b ）（ c ）第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.3.1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為12312384112( )5311448zzzH zzzz畫(huà)出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。 解 由H(z)寫(xiě)出差分方程如下：531( )(1)(2)(3)8 ( )4 (1)44811 (2)2 (3)y

9、 ny ny ny nx nx nx nx n第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法圖5.3.2 例5.3.1圖x(n)y(n)z1z1z1 4811 2454381第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 2. 級(jí)聯(lián)型 在(5.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，公子分母均為多項(xiàng)式，且多項(xiàng)式的系數(shù)一般為實(shí)數(shù)，現(xiàn)將分子分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解，得到1111(1)( )(1)MrrNrrC zH zAd z(5.3.1) 形成一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)；Hj(z)如下式：12012

10、1212( )1jjjjjjzzHza za z(5.3.2) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 式中，0j、1j、2j、1j和2j均為實(shí)數(shù)。這H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3) 式中Hi(z)表示一個(gè)一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5.3.3所示。 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.3.3 一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(

11、a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x(n)y(n)z1x(n)y(n)z1z1( a )( b )j0j1j2j0j1j2j1j1j0第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.3.2 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： 12312384112( )1 1.250.750.125zzzH zzzz試畫(huà)出其級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 解 將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到 112112(20.379)(41.245.264)( )(10.25)(10.5)zzzH zzzz第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)

12、與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 3.并聯(lián)型 如果將級(jí)聯(lián)形式的H(z)，展開(kāi)部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 圖5.3.4 例5.3.2圖 x(n)z12y(n)z14z10.3790.251.245.2640.5第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為12( )( )( )( )kH zH zHzHz(5.3.4) 1011212( )1iiiiizH za za z 式中，0i、1i、1i和2i都是實(shí)數(shù)。如果a2i=0則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由(5

13、.3.4)式，其輸出Y(z)表示為 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.3.3 畫(huà)出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解 將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：111281620( )1610.510.5zH zzzz 將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.3.5所示。 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.3.5 例5.3.3圖 x(n)y(n)z1z11680.

14、520160.520z1第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法5.4 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒(méi)有反饋支路，即沒(méi)有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為1010( )( )( )( ) ()NnnNmH zh n zy nh m x nm第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖如圖5.4.1所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

15、或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。 圖5.4.1 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) x(n)y(n)z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N2)h(N1)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 2. 級(jí)聯(lián)型 將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。 例5.4.1 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 畫(huà)出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)

16、時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 解 將H(z)進(jìn)行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖5.4.2所示。 圖5.4.2 例5.4.1圖z1z1z1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z1z1z10.9622.81.5( a )( b )第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 3. 頻率采樣結(jié)構(gòu) 頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)會(huì)以采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓，如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長(zhǎng)度M，則不會(huì)

17、引起信號(hào)失真，此時(shí)原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式： 設(shè)FIR濾皮器單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： 1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz(5.4.1) 2( )( ), 0,1,2,1jkNz eH kH zkN第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 要求頻率域采樣點(diǎn)數(shù)NM。(5.4.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。請(qǐng)讀者分析IIR濾波網(wǎng)絡(luò)，為什么不采用頻率采樣結(jié)構(gòu)。將(5.4.1)式寫(xiě)成下式： 1011(

18、 )( )( )( )1( )( )1NckkNckkNH zHzHzNHzzH kHzWz (5.4.2) 式中 Hc(z)是一個(gè)梳狀濾皮網(wǎng)絡(luò)(參考第八章)，其零點(diǎn)為2,0,1,2,1jkkNkNzeWkN第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法圖5.4.3 FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu) x(n)y(n)z1z1 z NH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz1N1第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 (1)在頻率采樣點(diǎn)k，H(ejk)=H(k)，只要調(diào)整H(k)(即

19、一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k)，就可以有效地調(diào)整頻響特性，使實(shí)際調(diào)整方便。 (2)只要h(n)長(zhǎng)度N相同，對(duì)于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 然而，上述頻率采樣結(jié)構(gòu)亦有兩個(gè)缺點(diǎn)： (1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的。 (2)結(jié)構(gòu)中，H(k)和W-kN一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)是不方便的。 為了克服上述缺點(diǎn)，對(duì)頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。 首稱將單位圓上的

20、零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮一點(diǎn)，收縮到半徑為r的圓上，取r1且r1。此時(shí)H(z)為1101( )( )(1)1NNNrkkNH kH zr zNrWz(5.4.3) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 另外，由DFT的共軛對(duì)稱性知道，如果h(n)是實(shí)數(shù)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對(duì)稱，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我們將hk(z)和 H N-k(z)合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則1()111101122( )()( )11( )( )11()212 cos()kkN kNNkk

21、NNkkH kH NkHzrWzrWzH kHkrWzr Wzaa zrk zr zN第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖5.4.4(a)所示。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，h(z)可表示為式中 012Re( )2Re( )kkkNaH karH k W 1,2,3,12Nk 11201111221()1(0)2( )(1)21112cos()NNNkkkNHHaa zH zr zNrzrzk zr zN (5.4.4) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析

22、法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 式中，H(0)和H(N/2)為實(shí)數(shù)。(5.4.4)式對(duì)應(yīng)的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由N/2-1個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)和兩個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)構(gòu)成，如圖5.4.4(b)所示。圖5.4.4 頻率采樣修正結(jié)構(gòu) 1k0kz1z1 r 2)2cos(2kNrx(n)y(n)z1H(0)z N r r1/NH1(z)H2(z)z1 rH(N/2)( b )( a )(12zHN第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 當(dāng)N=奇數(shù)時(shí)，只有一個(gè)采樣值H(0)為實(shí)數(shù)，H(z)可表示為1(1)/201112211(0)( )(1)2112cos()NNNkk

23、kHaa zH zr zNrzk zr zN(5.4.5) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法5.5 狀態(tài)變量分析法狀態(tài)變量分析法 1. 狀態(tài)方程和輸出方程 狀態(tài)變量分析法有兩個(gè)基本方程，即狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)方程把系統(tǒng)內(nèi)部一些稱為狀態(tài)變量的節(jié)點(diǎn)變量和輸入聯(lián)系起來(lái)；而輸出方程則把輸出信號(hào)和那些狀態(tài)變量聯(lián)系起來(lái)。 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.5.1是二階網(wǎng)絡(luò)基本信號(hào)流圖，有兩個(gè)延時(shí)支路，因此建立兩個(gè)狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)。下面建立流圖中其它節(jié)點(diǎn)

24、w2和輸出y(n)與狀態(tài)變量之間的關(guān)系。 22221121221120222 0111 020(1)(1)( )( )( )(1)( )( )( )( )()( )()( )( )nnananx nnny nbnbnbba bnba bnb x n (5.5.1) (5.5.2) (5.5.3) 將以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫(xiě)成矩陣形式：11222101(1)( )0( )(1)( )1nnx nnnaa (5.5.4) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法圖5.5.1 二階網(wǎng)絡(luò)基本信號(hào)流圖 x(n)y(n)z1z

25、1b0b1b2w1w2w2 a1 a2第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.5.2示出更為一般的二階網(wǎng)絡(luò)基本信號(hào)流圖，兩個(gè)延時(shí)支路輸出節(jié)點(diǎn)定為狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)。按照信號(hào)流圖寫(xiě)出以下方程： 111111122122221122221122( )(1)(1)( )( )( )( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnananb x nnnnananb x ny ncncndx n第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法圖5.5.2 一般

26、二階網(wǎng)絡(luò)基本信號(hào)流圖 x(n)y(n)z1z1b1b2c1c2da22a12a21w1(n)w2(n)w1w2第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 將以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫(xiě)成矩陣形式：11121112222122(1)( )( )(1)( )aannbx nnnbaa(5.5.6)1 212( )( )( )( )Ty nc cnndx n(5.5.7)再用矩陣符號(hào)表示： (1)( )( )( )( )( )W nAW nBx nY nCW nDx n(5.5.8)(5.5.9) 111212212212,T

27、aaAB bbaaCccDd第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 式(5.5.8)和式(5.5.9)分別稱為圖5.5.2二階網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程和輸出方程。 如果系統(tǒng)中有N個(gè)單位延時(shí)支路，M個(gè)輸入信號(hào)：x1(n),x2(n),xM(n)，L個(gè)輸出信號(hào)y1(n),y2(n),，yL(n)，則狀態(tài)方程和輸出方程分別為 (1)( )( )( )( )( )W nAW nBX nY nCW nDX n(5.5.10)(5.5.11) 式中121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )TNTMTLW nnnnX

28、 nx n x nxnY ny n y nyn第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法11 12111 1212122221 222121211 1211112121 222212221212,NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNa aab bbAa aaBb bba aab bbc ccd ddCc ccDd ddc ccddd圖5.5.3 狀態(tài)變量分析法y(n)x(n)z1W(n1)W(n)dABC第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.5.1 建立圖5.

29、5.4流圖的狀態(tài)方程和輸出方程。 圖5.5.4 例5.5.1圖x(n)y(n)z1a1b0z1b1b2a2w1(n1)w1(n)w2(n)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 信號(hào)流圖中有兩個(gè)延時(shí)支路，分別建立兩個(gè)狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)(如圖5.5.4所示)，然后列出延時(shí)支路輸入端節(jié)點(diǎn)方程如下： 1112221(1)( )( )( )(1)( )nananx nnn將上式寫(xiě)成矩陣方程： 121122(1)( )1( )(1)( )010aannx nnn (5.5.12) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本

30、網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 輸出信號(hào)y(n)的方程推導(dǎo)如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n) 將上面w1(n+1)的方程代入上式： y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0 x(n)+b1w1(n)+b2w2(n) =(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0 x(n)11 012 0202( )( ),( )( )ny na bb a bbb x nn第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例 5.5.2直接寫(xiě)出圖5.5.4信號(hào)流圖的 A、B、C

31、和D參數(shù)矩陣。 解 111121221222, , ,baaABCc cDdaab 要注意：從wi(n)到輸出節(jié)點(diǎn)可能不止一條通路，要把所有通路增益加起來(lái)，即111 0220 0,cba b cba b d表示從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路增益，這里d=d0，最后得到四個(gè)參數(shù)矩陣為121,100aaAB 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.5.3 已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 1121122(1)(1 1.440.7)( )(10.5)(10.90.81)zzzH zzzz(1)畫(huà)出H(z)的級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(2)根據(jù)已畫(huà)出的流圖寫(xiě)出

32、其狀態(tài)方程和輸出方程。 112112(1) 1 1.440.7( )210.510.90.81zzzH zzzz第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.5.5 例5.5.3圖 x(n)z12y(n)z1z11.4140.70.9w1(n)w2(n)w3(n)0.51第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 在延時(shí)支路輸出端建立狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如圖5.5.5所示)。寫(xiě)出狀態(tài)變量 w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n) w2(n+1)=w

33、1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 將以上三個(gè)方程寫(xiě)成矩陣方程：112233(1)( )0.5002(1)1.50.90.81( )2( )0100(1)( )nnnnx nnn 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法輸出方程為y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)將上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2

34、x(n)將y(n)寫(xiě)成矩陣方程，即是要求的輸出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)w3(n)T+2x(n) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.5.4 已知FIR濾波網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 解畫(huà)出直接型結(jié)構(gòu)如圖5.5.6所示，在延時(shí)支路輸出端建立狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根據(jù)參數(shù)矩陣中各元素的意義，直接寫(xiě)出狀態(tài)方程和輸出方程如下：30( )iiiH za z112233(1)( )0001(1)100( )1( )0100(1)( )nnnnx nnn y(n)=a1 a2 a

35、3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 圖5.5.6 例5.5.4圖 y(n)x(n)z1z1z1w1(n)w2(n)a1a2a3a0w3(n)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 2. 由狀態(tài)變量分析法轉(zhuǎn)換到輸入輸出分析法 把單輸入單輸出的狀態(tài)方程和輸出方程重寫(xiě)如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14) y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15) 將上面兩式進(jìn)行Z變換 zW(z)=AW(z)

36、+BX(z) (5.5.16) Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 式中 W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)T Wi(z)=ZTwi(n) X(z)=ZTx(n) Y(z)=ZTy(n) 由(5.5.16)式得到： W(z)=zI-A-1 BX(z) (5.5.18) 將上式代入(5.5.17)式，得到：11( )( )( )( )( )( )Y zC zIABX zdX zY zH zC zIABdX z(5.5.19) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基

37、本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.5.5 已知二階網(wǎng)絡(luò)的四個(gè)參數(shù)矩陣如下：2122 011 00010,1,ABaaCba bba bdb 求該網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。解 2111212212111011()11( )zzIAazazazIABazz zaazza zaH zC zIABd 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 系 統(tǒng) 頻 響 決 定 于 H ( z ) 的 零 、 極 點(diǎn) 分 布 。 設(shè)H(z)=B(z)/A(z)，其極點(diǎn)為A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到： A(z)多項(xiàng)式稱為A 矩陣的特征

38、多項(xiàng)式，其根為A矩陣的特征值，因此A矩陣的特征值就是H(z)的極點(diǎn)。如果A矩陣全部特征值的模均小于1，系統(tǒng)因果穩(wěn)定，否則系統(tǒng)因果不穩(wěn)定。21201201221212121b zb zbbb zb zza zaa za z( )det()A zzIA(5.5.20) 第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 z2-3z+2=0 特征值 1=1, 2=2 極點(diǎn) z1=，z2=2 將狀態(tài)方程重寫(xiě)如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n)321032det01AzzIAz第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量

39、分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 方程式左端是n+1時(shí)刻的狀態(tài)變量矢量，右端是n時(shí)刻的狀態(tài)變量矢量和輸入x(n)的線性組合。由起始值 W(n0)，用遞推法求出W(n)的時(shí)域解： n=n0時(shí)，W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0) n=n0+1時(shí)，W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1) =AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0 +1) =A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1) n= n0 +k時(shí)W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+ A k-1 Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域

40、離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 令n=n0+k+1，則 0000101101( )()()( )()()nnnnlin nn nliW nAW nABx nlW nAW nABx nl將n換成n，則(5.5.21) 為求單位脈沖響應(yīng)，將(5.5.15)式中的x(n)用(n)代替，W(n)用(5.5.21)式中的零狀態(tài)響應(yīng)代替，且令n0=0，此時(shí)y(n)=h(n)，得到：第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法111( )()( )00( )00nllnh nCABnldnnh ndnCABn(5.5.22) (5.5.23)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 例5.5.6 求圖5.5.7所示的N階FIR格形網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)以及單位脈沖響應(yīng)。圖5.5.7 例5.5.6圖 z1z1w1w2k1k1k2k2z1z1wN1kN1kN1wNkNx(n)y(n)第第5章章 時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)時(shí)域離散系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò) 結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 解