根據(jù)遞推公式_求數(shù)列通項公式的常用方法_總結(jié)歸納

1、求數(shù)列通項公式的常用方法歸納般的數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例1、已知無窮數(shù)列a“的前幾項和為s“,并且an +sn =l(ne?/*),求a“的通項公式？【解析】： sn=-an, :. atj+l = 5,|+1 -st) =an -an+l, z. ah+l = 乂反思:利用相關(guān)數(shù)列與s“的關(guān)系:a=s.,an=sn-sn_ (n>2)與提設(shè)條件,建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.歸納猜想法，二、：由數(shù)列前兒項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性, 這種方法叫歸納法.例2、已知數(shù)列a“中，d=l, an = 2an_ + l(n > 2),求數(shù)列a

2、“的通項公式.【解析】：t q二 1, an = 2an_ +l(n > 2), a2 =2a+ = 3 , a3 = 2a2 + 1 =7 猜測1(皿 m),再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(略)反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法 證明其正確性.附：待定系數(shù)法：形如hn= 入an+l+f(n),入為實數(shù)一般地，若數(shù)列%為等差數(shù)列：貝ij an = bn + c f sn = bn2 + cn (b、c為常數(shù))，若數(shù)列%為等比數(shù)列，貝ij行=aq”-' , sn = aqn - a (的工0,?工1)。三、累加法：利用色+a-4)+a-匕一1)求

3、通項公式的方法稱為累加法。累加 法是求型如af=an+f(n)的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(/)可求前,2項和)；一般地,對于型如an+i = an + f（n）類的通項公式,只要/（1） + /（2） + /5）能進行求和, 則宜采川此方法求解。例3、已知無窮數(shù)列的的通項公式是,若數(shù)列仇滿足也=1, 12丿71+1（n>l）,求數(shù)列化的通項公式.【解析】:(“ n 1) bn = ® +(2 _1)+(億_化一1)=1+空 + +i 丫-12>反思:用累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為6z+1 = j + /（；?） o四、累乘法:利用恒等式色=舛殂上74嚴(yán)0/

4、2）求通項公式的方法稱為 5an-l累乘法，累乘法是求型如：色心=gs）化的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（數(shù)列g(shù)w可求前n項積）。一般地，對于型如產(chǎn)/（n） 如類的通項公式,當(dāng)/丁/（）的值可以 求得時，宜采用此方法。例4、已知坷=1,陽=n（an+1 -an） （n e n*）,求數(shù)列a“通項公式.【解析】： an = n(an+i 一勺)，.乞-1 =佇乜，又有an =a-(an 0,/i>2) =anna a2 an-l2 3n1 x xx-x=n,當(dāng)舁=1時 a=l,滿足 an = n , /. an = n .1 2n-1'""反思：用累乘法求通項公式

5、的關(guān)鍵是將遞推公式變形為an+l=g(n)afl.五、構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）：將遞推公式+嚴(yán)“+d（q,d為常數(shù)，gho, dho） 通過（色+ +兀）=g（a” +x）與原遞推公式恒等變成+ += g（% + ）的方法叫構(gòu) q-q-造新數(shù)列，也即是待定系數(shù)法。例5、已知數(shù)列匕中,a】 =l,a“ =2%_+1（卅2）,求%的通項公式.【解析】：利用（勺+ %）= 2（色-+兀），求得+1 = 2（_, +1）,.© +1是首項為®+l = 2,公比為2的等比數(shù)列，即an+ = 2",.°” =t-反思：構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過（色+】+x） = g（q

6、“ +兀）來構(gòu)造一個我們所熟知的等差或等比數(shù)列.，看成一個新的數(shù)列，即六、倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列嚴(yán)上j（cho,dho）,取倒數(shù)變成=-丄+丄的形 色 + dq”+i c an c式的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此吋將數(shù)列 再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。例6、已知數(shù)列胡）中,也=1,%嚴(yán)一,求數(shù)列色的通項公式.+1【解析】：將+嚴(yán)一取倒數(shù)得：丄 =2 +丄，- =2,. 是以-=1 2色 + 1色+i 5 atl+l anan q為首項，公差為2的等差數(shù)列.丄=1 + 2® -1）,.an2n 1反思:倒數(shù)變換有兩個要點需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項，公

7、差或公比 變化了。七、特征根法：形如遞推公式為an+2 = pan+l + qan （其中p, q均為常數(shù)）。對于由遞推公式an+2 = pan+l +qan ,有絢=a,a2 = 0給出的數(shù)列an,方程 x2-px-q =（）,叫做數(shù)列仏的特征方程。若坷，兀2是特征方程的兩個根，當(dāng)兀工兀2時，數(shù)列d“的通項為= arj + b兀;7 ,其中a, b由ax = a9a2 = p決定 （即把aa2,x,x2和n = l,2,代入=arj +處，得到關(guān)于a、b的方程組）；當(dāng)x=兀2時，數(shù)列陽的通項為色=（a + bn）xf_1，其中a, b由= a9a2 =0決定（即 把aa2,x,x2和 = 1

8、,2,代入an = （a + bn）xl ,得到關(guān)于a、b的方程組）。例 7:數(shù)列?！睗M足 3色卄2 一 5% + 2% = 0(n > 0,n e n), ax = a,a2 =b，求 atl【解析】：由題可知數(shù)列的特征方程是：3x2-5x + 2 = 0o_2兀一 1,兀2 一 §，2an = ax,1-1 + bx；-' = a + b ()" '。又由 = a,a2 = b ,于是 a = a + b< 2 =>b=a+-b3a = 3b 2ab = 3(ab)2故=3b-2a + 3(a-b)(-y反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征

9、方程的根。再由初始值確定出a,b的用己知量a,b 表示的值，從而可得數(shù)列知的通項公式。八、不動點法若a"°且ad-bwo,解“刖，設(shè)-0為其兩根是等比數(shù)列;ii、若q = p ,數(shù)列-是等差數(shù)列。 ana7an 一 2例8、已知數(shù)列a n 滿足a卄1 = 2a“ + 3ai = 2 ,求數(shù)列n 的通項公式?！窘馕觥?7x - 2x =7 2x + 3得2x2 - 4x + 2 = 0,貝9x=i 是函數(shù)f(x)_ 3x -1_4x + 7的不動點。因為° n +1亠-22a“ +35a. -52an +3所以2=22丄=+ an+1l 5an -55 an -15

10、所以數(shù)列占是以占占=1為首項,2以g為公差的等差數(shù)列，則1= 1 +（n-1-5反思:2n + 82n + 3 °3x - 7x - 2本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f(x) = e 的不動點，即方程1 _ 1 . 2 1 的根x = 1 ,進而可推出=+7,從而可知數(shù)列i為差an+lan _1hn - 1數(shù)列，再求出數(shù)列1 j的通項公式，最后求出數(shù)列(an 的通項公式。an 一 1九、換元法即是將一復(fù)雜的整體用一個新的符號來衣示，從而使遞推數(shù)列看起來更簡單，更易找到解決的方法。十、例 9、已知數(shù)列an 滿足an+i =丄(1 + 4a“ + jl + 24a“), a】=1 ,lo求數(shù)

11、列an 的通項公式。十一、【解析】：令bn =jl + 24an ,則=£；(b： 1)故 a+i = （b+1 一 1）代入“嚴(yán)占(1 + 4_+"2仕)得（b；+i 1） = 1 + 4 （b 1） + bn 241624即 4b：+i =（bn +3）2因為 b n = jl + 24 a 口、0 ,故 b 卄1 = j1 + 24 a 口+1 » °則 2bn + i = bn + 3 ,即 bn + 1 = bn + ,可化為bn+1 - 3 = l（bn - 3）,所以bn _3是以b _3 = jl + 24a| _3 = jl + 241

12、 一3 = 2 為首項，以qi|丄 n_°為公比的等比數(shù)列，因此bn - 3 = 2 -（y）n_1 =（y）n_2，則bn =（）+3,即jl + 244 =(|)n-2+3，得an =|(-)n +(|)n +|o反思：本題解題的關(guān)鍵是通過將jl + 24a n的換元為bn ,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化13+空形式，從而可知數(shù)列bn3為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列bn 一 3的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。十、取對數(shù)法：形如an+l = parn （p0,g” >0）這種類型一般是等式兩邊取対數(shù)后轉(zhuǎn)化為a沖=p+q,再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）求解。例10：已知數(shù)列中，q =1,陥嚴(yán)丄&（°0）,求數(shù)列仏喲通項公式.?！窘馕觥浚河?=兩邊取對數(shù)得lgan+l =2lgan+lg ,aa令仇=lga”，則仇+嚴(yán)2乞+lg丄，再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）解得：