女巫的阿涅西

1、女巫的阿涅西阿涅西的“女巫”是一條曲線研究了瑪麗亞·阿涅西在1748年她的書Instituzioni analitiche廣告uso德拉gioventu italiana(第一個(gè)幸存的數(shù)學(xué)工作由一個(gè)女人寫的)。曲線也稱為cubique d 'Agnesi或agnesienne,和早先研究費(fèi)馬,1703年圭多大人物。“女巫”這個(gè)名字來(lái)源于這個(gè)術(shù)語(yǔ)的誤譯averisera(“曲線正矢,”拉丁vertere,“將”)原工作avversiera(“女巫”或“魔鬼的妻子”)在1801年的翻譯工作由劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授約翰·(灰色)。曲線是通過(guò)畫一條線從原點(diǎn)到圓的半徑和中心,

2、然后選擇的點(diǎn)圓的交點(diǎn)坐標(biāo)和協(xié)調(diào)的交叉線的延伸與行 .以參數(shù)形式,(1)(2)為,或(3)(4)為 .笛卡兒方程可以得到消除參數(shù)方程,給出(5)等效的函數(shù)形式是什么洛倫茲函數(shù).曲線和之間的區(qū)域設(shè)在是(6)曲線有拐點(diǎn)在。這條線是一個(gè)漸近線的曲線。的曲率和切向角在第二個(gè)參數(shù)化給出(7)(8)參見(jiàn):巴比爾定理所有曲線的寬度的寬度有相同的周長(zhǎng) .寬度恒定的曲線曲線,當(dāng)旋轉(zhuǎn)在廣場(chǎng),接觸所有四個(gè)邊。這樣的曲線有時(shí)也稱為輥。一個(gè)封閉的凸曲線的“寬度”被定義為平行線邊界之間的距離(“支持線”)。每個(gè)寬度恒定的曲線是凸的。寬度恒定的曲線有相同的“寬度”,不管他們的平行線之間的取向。事

3、實(shí)上,他們也共享相同的周長(zhǎng) (巴比爾定理)。例子包括圓(最大區(qū)域),魯洛三角形(最小的區(qū)域),但有無(wú)限。寬度恒定的曲線可以用在一個(gè)特殊的鉆夾頭將廣場(chǎng)”孔."一個(gè)泛化給寬度恒定的固體。這些沒(méi)有相同的表面區(qū)域?qū)τ谝粋€(gè)給定的寬度,但他們的影子寬度恒定的曲線有相同的寬度!參見(jiàn):蝙蝠俠曲線蝙蝠俠曲線分段曲線形狀的蝙蝠俠超人最初的標(biāo)志張貼在在7月28日,2011年。它可以寫成兩個(gè)函數(shù),一個(gè)用于上部和下部,(1)(2)在哪里是亥維賽階躍函數(shù)和定義為分段常數(shù)函數(shù)時(shí),函數(shù)是由亥維賽一步(3)(4)(5)(6)(j . m .)。它的面積可以計(jì)算完全一樣(7)懸鏈線曲線懸掛軟線或鏈假設(shè)支持在其

4、結(jié)束時(shí)統(tǒng)一引力,見(jiàn)機(jī)行事。懸鏈線這個(gè)詞來(lái)源于拉丁語(yǔ)“鏈?！?669年,Jungius反駁了伽利略的聲稱的曲線鏈掛在重力將會(huì)是一個(gè)拋物線(MacTutor存檔)。曲線也稱為alysoid和懸鏈線。方程獲得了萊布尼茲、惠更斯和約翰·伯努利在1691年回應(yīng)雅各布·伯努利的挑戰(zhàn)?；莞故堑谝粋€(gè)使用術(shù)語(yǔ)懸鏈線在一封給萊布尼茲在1690年,和大衛(wèi)·格雷戈里寫了一篇論文,1690年懸鏈線(MacTutor存檔)。如果你滾拋物線沿著一條直線,它焦點(diǎn)出懸鏈線痕跡。證明1744年歐拉,懸鏈線的曲線,當(dāng)旋轉(zhuǎn),使最小的表面表面積(懸鏈曲面對(duì)給定的邊界)圓.的參數(shù)方程給出了懸鏈線的(1)(

5、2)(3)在哪里對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)是一個(gè)參數(shù)決定的速度鏈”打開(kāi)。“懸鏈線的值從0.05到1.00的步驟0.05以上。的弧長(zhǎng),曲率,切向角為是由(4)(5)(6)斜率是成正比弧長(zhǎng)衡量的中心對(duì)稱。的采查羅方程是(7)圣路易斯拱門密切接近倒置的懸鏈線,但它有一個(gè)非零厚度和不同橫截面面積(底部厚,薄的頂點(diǎn))。重心的半身像腳底部,身高625.0925英尺,最大橫截面積125.1406萬(wàn)平方英尺,和底部橫截面積1262.6651平方英尺。懸鏈線也給道路的形狀(輪盤賭)在普通多邊形“輪”可以旅行順利。對(duì)于一個(gè)普通百分度,笛卡爾相應(yīng)的懸鏈線方程(8)在哪里(9)參見(jiàn)切向角對(duì)于一個(gè)平面曲線,切向角被定義為(1)在哪里是

6、弧長(zhǎng)和是曲率半徑。因此,切向角是由(2)在哪里是曲率。對(duì)一個(gè)平面曲線,切向角也可以定義為(3)灰色(1997)調(diào)用轉(zhuǎn)動(dòng)的角度而不是切向角。參見(jiàn):采查羅方程一個(gè)采查羅方程是一個(gè)自然的方程這表達(dá)了一個(gè)曲線的弧長(zhǎng)函數(shù)和曲率半徑(或等價(jià)曲率)。注意,雖然采查羅方程是固有的,因?yàn)樗遣蛔兊淖儞Q下保持長(zhǎng)度和角度,并不是內(nèi)在曲線,因?yàn)樗Q于弧長(zhǎng)測(cè)量的起點(diǎn),因此參數(shù)化(見(jiàn)下表為例)。下表總結(jié)了采查羅的某些參數(shù)化方程的曲線(cf。勞倫斯1972,p。5,耶茨1952,p . 126)。曲線參數(shù)化采查羅方程星狀的心形心形懸鏈線圓圓漸開(kāi)線擺線擺線三角肌腎形的曳物線Tschirnhausen立方參見(jiàn):自然的方程自然

7、曲線方程是一個(gè)方程它指定獨(dú)立于任何坐標(biāo)或參數(shù)化的選擇。自然方程的研究始于以下問(wèn)題:給定的兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)參數(shù),找到了空間曲線的函數(shù)曲率和扭轉(zhuǎn).歐拉給出了平面曲線積分解決方案(這總是扭轉(zhuǎn))。調(diào)用角之間的切曲線和直線軸的切向角,然后(1)在哪里是曲率。然后方程(2)(3)在哪里是扭轉(zhuǎn),解決了曲線參數(shù)方程(4)(5)方程和被稱為自然(固有)空間曲線的方程。一個(gè)方程表達(dá)的平面曲線和曲率半徑(或)被稱為采查羅方程,一個(gè)平面曲線的方程表達(dá)和被稱為學(xué)富五車方程。的自然參數(shù)方程曲線的參數(shù)化的弧長(zhǎng)而不是任意參數(shù)等 .在特殊的平面情況下可以解決的基本功能是圓,對(duì)數(shù)螺線,圓漸開(kāi)線,圓外旋輪線。Enneper

8、顯示這些的投影螺旋在一個(gè)二次曲線沿著對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)曲面。上述情況下對(duì)應(yīng)油缸,錐,拋物面,球.外擺線,1-Cusped一個(gè)1-cusped圓外旋輪線已經(jīng),所以。半徑測(cè)量從大圓的中心1-cusped圓外旋輪線是由圓外旋輪線方程()所以(1)(2)(3)(4)和(5)的1-cusped圓外旋輪線只是一個(gè)偏移量心形.心形的曲線極坐標(biāo)方程(1)有時(shí)也寫(2)在哪里 .心形的笛卡兒方程(3)和參數(shù)方程(4)(5)心形是簡(jiǎn)并的蝸牛線。這也是一個(gè)1-cusped圓外旋輪線(與),是回光線的由射線原始點(diǎn)的周長(zhǎng)圓和反映圓.心形的尖端在原點(diǎn)。de Castillon所使用的名稱心形首次于1741年在英國(guó)皇家學(xué)

9、會(huì)哲學(xué)學(xué)報(bào)。它的弧長(zhǎng)在1708年發(fā)現(xiàn)了la雇傭。具體有三個(gè)平行切線心形的任何給定的梯度。此外,切線在任何的結(jié)束和弦通過(guò)尖端是指向直角。任何的長(zhǎng)度和弦通過(guò)尖端點(diǎn)是 .心臟也可能產(chǎn)生如下。畫一個(gè)圓并修復(fù)一個(gè)點(diǎn)在上面。現(xiàn)在畫一個(gè)組圈以周長(zhǎng)的并通過(guò)。的信封這些圈然后一個(gè)心形(Pedoe 1995)。讓圓是集中在原點(diǎn)和半徑1,讓不動(dòng)點(diǎn)。然后半徑的圓集中在一個(gè)角(1,0)(6)(7)(8)如果不動(dòng)點(diǎn)不圓,那么結(jié)果呢信封是一個(gè)蝸牛線而不是一個(gè)心形。的弧長(zhǎng),曲率,切向角是(9)(10)(11)的周長(zhǎng)和區(qū)域曲線的(12)(13)參見(jiàn)蝸牛線蝸牛線是極曲線的形式(1)也稱為帕斯卡的蝸牛線。首次研究了杜勒,

10、誰(shuí)給了畫圖的方法Underweysung der Messung(1525)。重新發(fā)現(xiàn)了艾蒂安帕斯卡,布萊斯帕斯卡爾的父親,被Gilles-Personne Roberval 1650年(MacTutor存檔)?！拔伵＞€”這個(gè)詞來(lái)自于拉丁語(yǔ)limax,意思“蝸牛”。如果蝸牛線是凸的。如果,蝸牛線波紋。如果,蝸牛線退化心形。如果蝸牛線有一個(gè)內(nèi)部循環(huán)。如果,這是一個(gè)三等分角線(但不麥克勞林三等分角線).為,內(nèi)循環(huán)區(qū)域(2)(3)(4)在哪里。類似的外信封包圍的面積(5)(6)(7)因此,區(qū)域循環(huán)之間的(8)的特殊情況,這些簡(jiǎn)化(9)(10)(11)以參數(shù)化(12)(13)給出了弧長(zhǎng)的函數(shù)作為(14

11、)在哪里是一個(gè)第二類橢圓積分。讓讓整條曲線的弧長(zhǎng)(15)在哪里是一個(gè)第二類完全橢圓積分.生成的蝸牛線可以通過(guò)指定一個(gè)固定的點(diǎn)序列,然后畫一個(gè)圓圈的中心在一個(gè)給定的圓,所有通過(guò)。的信封這些曲線是一個(gè)蝸牛線。如果不動(dòng)點(diǎn)在周長(zhǎng)圓的,那么信封是一個(gè)心形.蝸牛線是一個(gè)anallagmatic曲線。蝸牛線是螺旋線的圓對(duì)一個(gè)點(diǎn)上周長(zhǎng)(威爾斯1991)。蝸牛線漸屈線蝸牛線漸屈線的回光線的的圓對(duì)于一個(gè)輻射點(diǎn)是蝸牛線漸屈線。它有參數(shù)方程(1)(2)參見(jiàn):回光線的回光線的是曲線的信封射線來(lái)自一個(gè)指定點(diǎn)(或一個(gè)點(diǎn)在無(wú)限的距離產(chǎn)生平行射線)對(duì)于一個(gè)給定的鏡子的形狀。點(diǎn)的射線稱為散發(fā)出來(lái)輻射點(diǎn)?；毓饩€的是一個(gè)漸屈線的or

12、thotomic(勞倫斯1972,60頁(yè))。下表列出了回光線的一些常見(jiàn)的曲線,省略的錯(cuò)誤回光線的上市quadrifolium勞倫斯(1972,p . 207)。漸屈線一個(gè)漸屈線的曲率中心軌跡(信封)的平面曲線的法線。原來(lái)的曲線是說(shuō)漸開(kāi)線漸屈線。給定一個(gè)平面曲線的參數(shù)化表示,漸屈線的方程(1)(2)在哪里運(yùn)行點(diǎn)的坐標(biāo),是曲率半徑(3)和單位之間的角嗎切向量(4)和軸,(5)(6)結(jié)合了(7)(8)曲線的漸屈線的定義是獨(dú)立于任何可微函數(shù)參數(shù)化(灰色1997)。如果曲線的漸屈線嗎,然后據(jù)說(shuō)是嗎漸開(kāi)線的。的中心密切圓曲線形式的漸屈線曲線(灰色1997,p . 1997)。漸開(kāi)線將一個(gè)字符串附加到一個(gè)點(diǎn)

13、在曲線上。擴(kuò)展的字符串,以便它是曲線的切線的附件。然后風(fēng)字符串,它總是緊。的軌跡點(diǎn)跟蹤結(jié)束的字符串被稱為漸開(kāi)線的原始曲線,和原來(lái)的曲線稱為漸屈線漸開(kāi)線。以上說(shuō)明了此過(guò)程圓.盡管有獨(dú)特的曲線漸屈線,它有無(wú)限多的漸開(kāi)線對(duì)應(yīng)不同的初始點(diǎn)的選擇。一個(gè)漸開(kāi)線曲線也可以被認(rèn)為是任何正交所有的切線對(duì)于一個(gè)給定的曲線。漸開(kāi)線的方程(1)在哪里是切向量(2)和是弧長(zhǎng)(3)這個(gè)可以寫參數(shù)化函數(shù)表示作為(4)(5)下表列出了一些常見(jiàn)的漸開(kāi)線曲線,其中一些上面的說(shuō)明。曲線漸開(kāi)線星狀的漸開(kāi)線星狀的1/2倍心形漸開(kāi)線心形3倍大懸鏈線漸開(kāi)線曳物線回光線的圈蝸牛線圓漸開(kāi)線一個(gè)螺旋擺線漸開(kāi)線平等的擺線三角肌漸開(kāi)線三角肌1/3倍

14、橢圓漸開(kāi)線不愿透露姓名的曲線外擺線漸開(kāi)線小圓外旋輪線圓內(nèi)旋輪線漸開(kāi)線類似的圓內(nèi)旋輪線對(duì)數(shù)螺旋漸開(kāi)線另一個(gè)對(duì)數(shù)螺線腎形的漸開(kāi)線凱萊的六次或腎形的2倍大semicubical拋物線漸開(kāi)線半拋物線參見(jiàn):星狀的漸開(kāi)線的漸開(kāi)線的星狀的是一個(gè)圓內(nèi)旋輪線漸開(kāi)線為。令人驚訝的是,它是另一回事星狀的按比例縮小的倍和旋轉(zhuǎn)把。對(duì)于一個(gè)星狀的用參數(shù)方程(1)(2)的漸開(kāi)線是星狀的(3)(4)參見(jiàn)星形線屈線的漸屈線的星狀的是一個(gè)圓內(nèi)旋輪線漸屈線為。令人驚訝的是,它是另一回事星狀的按比例縮小的倍和旋轉(zhuǎn)把。對(duì)于一個(gè)星狀的用參數(shù)方程(1)(2)的漸屈線是星狀的(3)(4)參見(jiàn):懸鏈線漸開(kāi)線的參數(shù)方程對(duì)于一個(gè)懸鏈線是(1)(2

15、)給漸開(kāi)線作為(3)(4)因此,漸開(kāi)線的一半曳物線.參曳物線曳物線出現(xiàn)了對(duì)萊布尼茨在下列問(wèn)題:什么是對(duì)象的路徑與垂直偏移量開(kāi)始時(shí)拖在一系列常數(shù)沿直線長(zhǎng)度被水平線(Steinhaus指出1999年,頁(yè)250 - 251)?通過(guò)將對(duì)象與一條狗,字符串,用皮帶,和沿著一條水平線拉狗的主人,曲線具有描述性名稱“hundkurve”(狗曲線)在德國(guó)。萊布尼茲發(fā)現(xiàn)曲線使用這一事實(shí)的軸是一條漸近線曳物線(MacTutor存檔)。從它的定義,曳物線正是懸鏈線漸開(kāi)線描述一個(gè)點(diǎn)最初在頂點(diǎn)(所以懸鏈線是曳物線漸屈線)。曳物線有時(shí)被稱為tractory或equitangential曲線。曳物線是第一個(gè)研究了惠更斯在1

16、692年,他給它起名叫“曳物線。”之后,萊布尼茨、約翰·伯努利和其他人研究了曲線。在笛卡兒坐標(biāo),曳物線方程(1)一個(gè)參數(shù)形式(2)(3)的弧長(zhǎng),曲率,切向角這個(gè)參數(shù)化與是(4)(5)(6)在哪里是Gudermannian.而令人驚訝的是,區(qū)域下的曲線(7)第二個(gè)參數(shù)的形式角直線相切的曳物線可以通過(guò)計(jì)算找到(8)(9)(10)然后解決并在獲得回堵(11)(12)(13)1997年(灰色)。這種參數(shù)化曲率(14)的角度,參數(shù)方程可以寫(15)(16)(17)(18)(洛克伍德1967,p . 123)是逆Gudermannian.一個(gè)遍歷與恒速曳物線參數(shù)化是由(19)(20)當(dāng)曳物線繞著

17、它旋轉(zhuǎn)漸近線,偽球面結(jié)果。這是一個(gè)表面的常數(shù)負(fù)曲率。曳物線,一個(gè)的長(zhǎng)度切從接觸點(diǎn)的漸近線是恒定的。的區(qū)域曳物線及其漸近線之間是有限的。參見(jiàn)Gudermannian窗體頂端最小值馬克斯窗體底端Gudermannian函數(shù)奇函數(shù)表示要么或出現(xiàn)在逆方程墨卡托投影.表達(dá)了緯度的垂直位置在這種投影,所以Gudermannian函數(shù)被定義為(1)(2)真實(shí)的,這也等于定義(3)(4)Gudermannian中實(shí)現(xiàn)Wolfram語(yǔ)言作為Gudermannianz。Gudermannian的導(dǎo)數(shù)(5)和它的不定積分是(6)在哪里是dilogarithm.它有麥克勞林級(jí)數(shù)(7)(OEISA091912和A136

18、606).Gudermannian連接的三角和雙曲函數(shù)通過(guò)(8)(9)(10)(11)(12)(13)Gudermannian是相關(guān)的指數(shù)函數(shù)通過(guò)(14)(15)(16)(拜爾1987,p . 1987;Zwillinger 164,p . 485)。其他基本身份(17)(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。如果,然后(19)(20)(21)(22)(拜爾1987,p . 1987;Zwillinger 164,p . 530),在過(guò)去的身份已經(jīng)被修正。一個(gè)額外的身份是由(23)(m .”的探討。通訊,2006年4月15日)。窗體頂端最小值馬克斯再保險(xiǎn)即時(shí)通訊窗體底端G

19、udermannian函數(shù)也可以擴(kuò)展到復(fù)雜的平面,正如上文所述。參見(jiàn):漏斗漏表面是a常規(guī)的表面和表面的革命笛卡兒方程定義的(1)和參數(shù)方程(2)(3)(4)為和。的系數(shù)第一基本形式是(5)(6)(7)的系數(shù)第二基本形式是(8)(9)(10)的面積元素是(11)和高斯函數(shù)和平均曲率(12)(13)的高斯曲率可以隱式地(14)這兩個(gè)表面積和體積固體是無(wú)限的。參見(jiàn):偽球面?zhèn)吻蛎媸浅?shù)- - - - - - -高斯曲率表面的革命由一個(gè)曳物線對(duì)其漸近線。tractricoid,它有時(shí)也被稱為tractroid antisphere或tractrisoid(Steinhaus指出1999年,p . 199

20、9)。笛卡爾參數(shù)方程是(1)(2)(3)為和 .它可以用隱式笛卡爾形式寫的(4)其他參數(shù)化包括(5)(6)(7)為和(灰色et al . 2006年,p . 480)(8)(9)(10)為和,在那里(11)(12)(灰色et al . 2006年,p . 477)。第一個(gè)參數(shù)化的系數(shù)第一基本形式是(13)(14)(15)的第二基本形式系數(shù)是(16)(17)(18)和表面面積元素是(19)的表面積是(20)這是常見(jiàn)的嗎球.雖然偽球面無(wú)限程度,有限的體積。體積可以通過(guò)變量的變化中找到,給,代入方程旋轉(zhuǎn)體,給(21)這就是通常的一半嗎球.的高斯和平均曲率是(22)(23)因此,偽球面具有相

21、同的體積球同時(shí)有不變負(fù)高斯曲率(而不是常數(shù)積極的球面的曲率),導(dǎo)致“偽球面?！皞吻蛎娴某?shù)負(fù)曲率也使得當(dāng)?shù)夭糠值哪Ｐ碗p曲幾何,就像錐或缸的本地部分的歐幾里德幾何模型飛機(jī)。一個(gè)方程測(cè)地線給出了偽球面的(24)參見(jiàn):高斯曲率高斯曲率,有時(shí)也稱為總曲率(Kreyszig 1991,p . 131),是一個(gè)空間的內(nèi)在屬性獨(dú)立使用的坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)描述它。的高斯曲率常規(guī)的表面在在一個(gè)點(diǎn)正式定義為(1)在哪里是形狀運(yùn)營(yíng)商和偵破表示行列式.如果是一個(gè)定期補(bǔ)丁,然后由高斯曲率(2)在哪里 ,系數(shù)是第一嗎基本形式和 ,系數(shù)是第二嗎基本形式(灰色1997,p . 1997)。高斯曲率可以得到完全的放在第一位基本形式(3)和指標(biāo)判別(4)通過(guò)(5)在哪里是第一類克里斯托費(fèi)爾符號(hào)。同樣,(6)在哪里(7)(8)寫這篇文章,(9)的高斯曲率也(10)(灰色1997,p . 1997),以及(11)在哪里是置換符號(hào),是單位法向量和是單位切向量。的高斯曲率也(12)(13)(14)在哪里是標(biāo)量曲率,和的主曲率,和的主曲率半徑。對(duì)于一個(gè)蒙日