對稱性、輪換對稱性在重積分計(jì)算中的應(yīng)用

1、    對稱性、輪換對稱性在重積分計(jì)算中的應(yīng)用    朱碧 李帥摘要對稱不僅存在于日常生活中，在高等數(shù)學(xué)的積分中，尤其是重積分中也十分常見。在高等數(shù)學(xué)中積分是相當(dāng)重要的內(nèi)容，重積分的計(jì)算過程有時(shí)是相當(dāng)復(fù)雜的，但是特殊情況也有巧妙的求解方法，對稱性、輪換對稱性就是一種非常巧妙的方法。本文分析并歸納總結(jié)了輪換對稱性在積分計(jì)算和證明中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞重積分;對稱性;輪換對稱性;積分計(jì)算一、輪換對稱的定義定義1：設(shè)d為一有界可度量的平面區(qū)域，若x，yd，y，xd，那么稱區(qū)域d關(guān)于x，y具有輪換對稱性。定理1：設(shè)d為一有界可度量平面區(qū)域，并且關(guān)于x，y具有輪換對稱性

2、，z=f（x，y）是定義在d上的連續(xù)函數(shù)，則度量微元）。定義2：設(shè)q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，如果x，y，z任意兩者互換位置q都不變，則稱q關(guān)于x，y，z具有輪換對稱性。定理2：設(shè)q是一有界可度量的幾何體，其邊界光滑，若q關(guān)于x，y，z具有輪換對稱性，w= f （x，y，z）是q上的連續(xù)函數(shù)，則二、重積分的計(jì)算和證明一利用對稱性、輪換對稱性我們將通過一系列例子，把重積分的積分區(qū)域?qū)ΨQ性問題和被積函數(shù)對稱性問題逐一研究，在研究的過程中感受對稱性和輪換對稱性在重積分計(jì)算時(shí)的重要作用。注如果被積函數(shù)或其代數(shù)和的某一部分具有對稱性，我們也可以此作為突破口來求解。這一例子就是著名的施瓦茨不等式

3、，當(dāng)然這個(gè)著名不等式的證明不止這一種方法，但是通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，其他的證明方法要么繞了很大彎子，最終回歸定義上，要么計(jì)算量十分大。顯然，運(yùn)用對稱性和輪換對稱性在證明重積分的相關(guān)結(jié)論時(shí)是相當(dāng)輕松的?？偨Y(jié)以上的計(jì)算和證明都巧妙地利用了對稱性或輪換對稱性的相關(guān)知識(shí)，從而使看上去煩瑣復(fù)雜的計(jì)算和證明過程簡單了許多。當(dāng)然，上述例子的計(jì)算和證明方法肯定不止這一種，但是，其他路徑都不如此來得更直接、精煉。我們利用對稱性和輪換對稱性來計(jì)算、證明重積分的相關(guān)結(jié)論時(shí)，首先要看清是關(guān)于原點(diǎn)對稱，還是關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，或是其具有輪換對稱性，以便于我們更好地利用總結(jié)的結(jié)論直接求解。通過以上幾個(gè)例子對重積分中的對稱性進(jìn)行了解釋說明，由此可見對稱性，尤其是輪換對稱性在重積分計(jì)算過程中的重要作用，對稱性的運(yùn)用不僅可以簡化許多計(jì)算步驟，還可以省去數(shù)學(xué)解題中許多煩瑣的問題，使我們可以節(jié)約更多的時(shí)間。參考文獻(xiàn)：1趙凱.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與指導(dǎo)m.北京：地質(zhì)出版社，2001.2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第五版）上冊m.北