2022年全等三角形題型總結(jié)材料

1、實用文檔標準文案全等三角形的判定題型類型一、全等三角形的判定1“邊邊邊”例題、已知：如圖，ad bc ，ac bd.試證明：cad dbc. (答案）證明：連接dc ，在acd 與bdc 中adbcacbdcddc 公共邊acd bdc （sss ）cad dbc （全等三角形對應角相等）類型二、全等三角形的判定2“邊角邊”例題、已知，如圖，在四邊形abcd 中，ac平分 bad ，ce ab于 e，并且ae 12（ab ad ） ，求證： bd180. (答案）證明：在線段ae上，截取 ef eb ，連接 fc ，ce ab ， ceb cef 90在cbe 和cfe中，cebcefec =

2、ecebefcbe 和cfe （sas ） bcfe ae 12（ab ad ） ，2ae abad ad 2ae ab ae af ef，ad 2（af ef）ab 2af 2ef ab af af ef eb ab af ab ab ，即 ad af 在afc和adc中(afadfacdacacac角平分線定義）afc adc （sas ） afc d afc cfe 180， bcfe.afc b180， bd180. 類型三、全等三角形的判定3“角邊角”例題、 已知：如圖，在 mpn 中，h是高 mq 和 nr的交點，且 mq nq 求證： hn pm. 證明： mq 和 nr是mpn

3、 的高， mqn mrn 90，又132490， 34 12 在mpq 和nhq 中，12mqnqmqpnqhmpq nhq （asa ） pm hn 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -實用文檔標準文案類型四、全等三角形的判定4“角角邊”例題、已知 rtabc中，ac bc ，c 90，d為 ab邊的中點， edf 90， edf繞 d點旋

4、轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交ac 、cb于 e、f當 edf繞 d點旋轉(zhuǎn)到 de ac于 e時（如圖 1） ，易證12defcefabcsss；當 edf繞 d點旋轉(zhuǎn)到 de和 ac不垂直時，在圖2 情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明.解：圖 2 成立； 證明圖 2：過點 d 作 dmacdnbc，則90dmednfmdn在amd 和dnb 中，amd=dnb=90abadbdamd dnb （aas ）dm dn mde edn ndf edn 90， mde ndf 在dme 與dnf 中，90emdfdndmdnmdendfdme dnf （asa ）

5、dmednfssdefcefdmcndecfs=s=ss.四邊形四邊形可知abcdmcn1s=s2四邊形，12defcefabcsss類型五、直角三角形全等的判定“ hl ”下列說法中，正確的畫“” ；錯誤的畫“”，并舉出反例畫出圖形 . （1）一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等（）（2）有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等（）（3）有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等（）( 答案） （1）； （2）；在abc和dbc中，ab db ，ae和 df是其中一邊上的高，ae df （3）. 在abc和abd中，ab ab ，ad ac ，ah為第三邊上的高，如下圖

6、：1、已知：如圖， de ac ，bf ac ，ad bc ，de bf.求證： ab dc. ( 答案與解析） 證明： de ac ，bf ac ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -實用文檔標準文案在 rtade 與 rtcbf中.adbcdebf，rtade rtcbf （hl） ae cf ，de bf ae ef cf ef，即 a

7、f ce 在 rtcde 與 rtabf中，debfdecbfaecfartcde rtabf （sas ） dce baf ab dc. ( 點評）從已知條件只能先證出rtade rtcbf ，從結(jié)論又需證 rtcde rtabf.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進，證出題目. 2、如圖， abc中， acb 90，ac bc ，ae是 bc邊上的中線，過 c作 cf ae ，垂足為 f，過 b作 bd bc交 cf的延長線于 d. （1）求證： ae cd ；（2）若 ac 12cm，求 bd的長. ( 答案與解析）（1）證明： db bc ，cf ae ， dcb d dcb aec 90d

8、aec 又 dbc eca 90，且 bc ca ， dbc eca （aas ） ae cd （2）解：由（ 1）得 ae cd ，ac bc ， cdb aec （hl ） bd ec 12bc 12ac ，且ac 12bd 6cm( 點評）三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等， 先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，此點叫做三角形的內(nèi)心且這一點到三角形三邊的距離相等 . 三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點.

9、這點叫做三角形的旁心 . 三角形有三個旁心 . 所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4 個. 如圖所示： abc的內(nèi)心為1p，旁心為234,pp p，這四個點到 abc三邊所在直線距離相等 . 角的平分線的性質(zhì)及判定1、如圖， ad是bac的平分線， de ab ，交 ab的延長線于點 e，df ac于點 f，且 db dc.求證： be cf. ( 答案） 證明： de ae ，df ac ，ad是bac的平分線，de df ，bed dfc 90在 rtbde 與 rtcdf中，dbdcdedf，rtbde rtcdf （hl ） be cf 精品學習資料 可選擇p d f - - -

10、 - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -實用文檔標準文案2、如圖， ac=db ，pac與pbd的面積相等求證： op平分 aob ( 答案與解析）證明：作 pm oa于 m ，pn ob于 n 12pacsac pmg，12pbdsbd png，且pacspbds12ac pmg12bd png又ac bd pm pn 又pm oa ，pn ob op平分 aob ( 點評） 觀察已知

11、條件中提到的三角形pac與pbd ，顯然與全等無關，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得. 跟三角形的高結(jié)合的題目，有時候用面積會取得意想不到的效果. 3、如圖， dc ab ，bad和adc 的平分線相交于 e，過 e的直線分別交 dc 、ab于 c 、b兩點. 求證： ad ab dc. ( 答案） 證明：在線段 ad上取 af ab ，連接 ef ，ae是bad 的角平分線， 12，af ab aeae ， abe afe ， bafe 由 cd ab又可得 c b180， afe c180，又 dfe afe 180， c dfe ，de

12、是adc 的平分線， 34，又de de ， cde fde ，df dc ，ad df af ，ad ab dc 類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定如圖，已知： ae ab ，ad ac ，ab ac ，bc，求證： bd ce. ( 答案) 證明： ae ab ，ad ac ， eab dac 90eab dae dac dae ，即 dab eac. 在dab與eac 中，dabeacabacbcdab eac （sas ） bd ce. 類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1) 作公共邊可構(gòu)造全等三角形：1、在 abc中，ab ac.求證： bc ( 答案) 證明：過點 a作 ad bc在

13、rtabd與 rtacd 中abacadadrtabd rtacd （hl ） bc. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -實用文檔標準文案(2) 倍長中線法：1、 已知：如圖所示，ce 、 cb分別是 abc與adc 的中線，且acb abc 求證： cd 2ce ( 答案） 證明： 延長 ce至 f 使 ef ce ，連接 bf ec 為

14、中線， ae be 在aec與bef中，,aebeaecbefceefaec bef （sas ） ac bf ，afbe （全等三角形對應邊、角相等）又acb abc ，dbc acb a，fbc abc a ac ab ，dbc fbc ab bf 又 bc 為adc 的中線， ab bd 即 bf bd 在fcb與dcb 中，,bfbdfbcdbcbcbcfcb dcb （sas ） cf cd 即 cd 2ce 2、若三角形的兩邊長分別為5 和 7, 則第三邊的中線長x的取值范圍是 ( ) a.1 x 6 b.5 x 7 c.2 x 12 d.無法確定( 答案) a ；提示：倍長中線構(gòu)

15、造全等三角形，75 2x75，所以選 a選項. (3). 作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：如圖， ad是abc 的角平分線， h，g分別在 ac ，ab上，且 hd bd. (1) 求證： b與ahd 互補；(2) 若b2dga 180，請?zhí)骄烤€段ag與線段 ah 、hd之間滿足的等量關系，并加以證明. ( 答案） 證明： （1）在 ab上取一點 m, 使得 am ah, 連接 dm. cad bad, adad, ahd amd. hdmd, ahd amd. hddb, db md. dmb b. amd dmb 180 , ahd b180 . 即 b與ahd互補. （2）

16、由（ 1）ahd amd, hd md, ahd b180 . b2dga 180 , ahd 2dga. amd 2dgm. amd dgm gdm. 2 dgm dgm gdm. dgm gdm. md mg. hd mg. ag ammg, ag ahhd. （3）. 利用截長 ( 或補短) 法作構(gòu)造全等三角形：1、如圖， ad是abc 的角平分線， ab ac,求證： ab ac bd dc ( 答案）證明：在 ab上截取 ae ac,連結(jié) de ad是abc 的角平分線， bad cad mghdcbaedcba精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

17、- - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -實用文檔標準文案在aed與acd 中adadcadbadacaeaed adc （sas ）de dc 在bed中，be bd dc 即 ab ae bd dc ab ac bd dc 2、如圖所示，已知 abc中 ab ac ，ad是bac的平分線， m是 ad上任意一點，求證： mb mc abac ( 答案與解析 ) 證明： ab ac ，則在 ab上截取 ae ac ，

18、連接 me 在 mbe 中，mb me be （三角形兩邊之差小于第三邊）在amc 和ame 中，()()()acaecameamamam所作 ，角平分線的定義，公共邊 ，amc ame （sas ） mcme （全等三角形的對應邊相等） 又 be ab ae ， be ab ac ， mbmc ab ac ( 點評) 因為 ab ac ，所以可在 ab上截取線段 ae ac ，這時 be ab ac ，如果連接 em ，在bme 中，顯然有 mb me be 這表明只要證明 me mc ，則結(jié)論成立充分利用角平分線的對稱性，截長補短是關鍵. （4）. 在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.

19、1、如圖所示，已知e為正方形 abcd 的邊 cd的中點，點 f 在 bc上，且 dae fae 求證： af ad cf ( 答案與解析）證明： 作 me af于 m ，連接 ef 四邊形 abcd 為正方形，cdema 90又dae fae ， ae 為fad的平分線， mede 在 rtame 與 rtade中，()()aeaedeme公用邊 ，已證 ， rt ame rtade(hl) ad am( 全等三角形對應邊相等 ) 又 e 為 cd中點， de ec meec 在 rtemf 與 rtecf中，()(meceefef已證 ，公用邊) ， rt emf rtecf(hl) mf

20、fc(全等三角形對應邊相等 ) 由圖可知： af am mf ， af ad fc(等量代換 ) ( 點評） 與角平分線有關的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -實用文檔標準文案分線上取一點向角的兩邊作垂線段. 四邊形 abcd 為正方形，則d90而daefae說明 ae為fad的平分線

21、，按常規(guī)過角平分線上的點作出到角兩邊的距離，而 e到 ad的距離已有，只需作e到 af的距離 em即可，由角平分線性質(zhì)可知me de ae ae rtame 與 rtade 全等有 ad am 而題中要證 af ad cf 根據(jù)圖知 af am mf 故只需證 mf fc即可從而把證 af ad cf轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題2、如圖所示，在 abc中，ac=bc ，acb=90 ，d是 ac上一點，且 ae垂直 bd的延長線于 e，12aebd，求證： bd是abc 的平分線( 答案與解析）證明：延長 ae和 bc ，交于點 f，ac bc ，beae ， ade= bdc （對頂角相等），

22、 ead+ ade= cbd+ bdc 即 ead=cbd 在 rtacf和 rtbcd 中所以 rtacf rtbcd （asa ） 則 af=bd （全等三角形對應邊相等） ae= bd ，ae= af，即 ae=ef 在 rtbea和 rtbef中，則 rtbea rtbef （sas ） 所以 abe= fbe （全等三角形對應角相等） ，即 bd是abc 的平分線( 點評）如果由題目已知無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決平時練習中多積累一些輔助線的添加方法. 類型三、全等三角形動態(tài)型問題解決動態(tài)幾何問題時要善于抓住以下幾點：(1) 變化前

23、的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論及說理過程起著至關重要的作用；(2) 圖形在變化過程中，哪些關系發(fā)生了變化，哪些關系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關系是否還存在是解題的關鍵；(3) 幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程，其結(jié)論有時變化，有時不發(fā)生變化1、已知：在 abc中， bac 90，ab ac ，點 d為射線 bc上一動點，連結(jié)ad ，以 ad為一邊且在 ad的右側(cè)作正方形 adef （1）當點 d在線段 bc上時（與點 b不重合） ，如圖 1，求證： cf bd （2）當點 d運動到線段 bc的延長線上時，如圖2，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -