集合論與無窮課件

1、集合論與無窮PPT課件07級數學試點班 王淵集合論與無窮PPT課件1.問題的引入有限和無窮w香迪悖論w小說香迪傳的講述者香迪曾說自己用了兩年時間來記錄其生活中頭兩天的歷史，然后香迪抱怨說，按照這種速度他永遠也寫不完自己的傳記。在這一情節(jié)啟發(fā)下，數學家羅素巧妙利用“無限未來”的概念提出了香迪悖論：如果香迪可以永遠活下去，而且堅持不懈的寫下去，那么，即是他的一生始終像開端那樣充滿需要記錄的內容，他的傳記也不會遺留任何部分。w羅素的論證大致如下：假定香迪生于1700年1月1日，而寫作開始于1720年1月1日。其寫作進程如下：集合論與無窮PPT課件w寫作的年份 涵蓋的事件 1720 1700年1月1日

2、 1721 1700年1月2日 1722 1700年1月3日 但是，每一天對應于一年，每一年對應于一天。對于任何一天，在未來都由指定的一年去記錄它，絕無例外?！跋愕系膫饔洸粫z漏任何部分?！?羅素的香迪悖論在常識看來不可思議。事實上，當我們逐漸了解集合論中的無窮觀點后，就可以明白這一論證是正確的，并無荒謬之處。集合論與無窮PPT課件w無窮集合的概念w集合論的基礎w集合論的意義集合論與無窮PPT課件w無窮集合（元素個數無窮）一個“矛盾”的集合wAristotle（亞里士多德）考慮過無窮集合，他認為潛在的無窮（大）需要和真實的無窮（大）加以區(qū)別。w微積分重建數學基礎 微積分理論遇到嚴重的邏輯困難

3、對微積分基礎的嚴密論證成為集合論產生的一個重要原因 2.無窮集合的概念集合論與無窮PPT課件w在重建微積分理論的過程中，Bolzano（波爾查諾）是第一個朝著建立集合的明 確理論方向采取了積極步驟的人，他維 護了集合的存在，并強調了兩個集合等價的概念，即兩個集合元素間的一一對應關系。他注意到無限集合的部分或子集可以等價于整體，例如0到5之間的實數可以通過公式 與0到12間的實數構成一一對應，雖然和第二個數集包含了第一個數集。但是他同樣也遇到了一些問題在他看來屬于悖論的，因此他認為這些不必深入研究。 3.集合論的基礎512xy集合論與無窮PPT課件 x y 00 1 2.4 2.5 6 0.5

4、1.2 5 12512 xy集合論與無窮PPT課件w隨著實數不可列性質的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點和直線上的點之間的一一對應。從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多。康托自己起初也是這樣認識的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對應，證明簡述為w只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點一樣多即可。 在區(qū)間(0,1)內的點都可以表示成一個無窮小數，比如0.2574892 如果是1/4，可以表示成0.25000000。 以0.257489257621為例 w我們把它的奇數位和偶數位分別取出來 得到兩個新的數0.278272和0

5、.549561 集合論與無窮PPT課件 1845.3.31918.1.6wGeorg Cantor 集合論的創(chuàng)立者是Georg Cantor， Cantor對集合所下的定義是一些確定 的，不同東西的總體，這些東西使人 能意識到并判斷一個給定的東西是否 屬于這個總體。對Cantor來說，如果 一個集合能夠和它的一部分構成一一 對應，它就是無窮的。當他把全體自 然數看作一個集合時,他是把無限的整體作為了一個構造完成了的東西,這樣他就肯定了實無窮。他定義了基數,可數集合（凡是能和自然數集一一對應的集合都稱作可數集，也叫可列集）等概念。集合論與無窮PPT課件w過去數學家認為靠得住的只有有限，而無窮最多

6、只是模模糊糊的一個記號。而康托爾把無窮分成許多“層次”。在最初階段，康托爾主要證明了無窮之間也有差別，既存在可數的無窮，比如自然數集，也存在那種像實數集合那樣不可數的無窮。w我們不妨看一些有關這些無窮集合分類的最基本的證明，了解一些最基本的數學思想 。w首先康托爾證明了有理數是可數集w隨后他又證明了實數是不可數集集合論與無窮PPT課件 實數不可數集（局部化思想） 在（0，1）上考慮 實數可表示為 0. 為非負整數 1 0. 2 0. 3 0. 令 b=0. 當 =5， =4； 當 5 =5。 b=0. = 矛盾！ 反證法aaaa14131211aaaa24232221aaaa34333231b

7、bbb4321aaaa4321aiaiiaiibibiaaaakkkk4321akkakkbk集合論與無窮PPT課件w隨著實數不可列性質的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點和直線上的點之間的一一對應。從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多?？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認識的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對應，證明簡述為w只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點一樣多即可。 在區(qū)間(0,1)內的點都可以表示成一個無窮小數，比如0.2574892 如果是1/4，可以表示成0.25000000。 以0.257489257621為例 w我們

8、把它的奇數位和偶數位分別取出來 得到兩個新的數0.278272和0.549561 集合論與無窮PPT課件w以它們作為橫坐標和縱坐標的點是單位正方形內的一個點 。所以區(qū)間(0,1)內的任意點都可以在單位正方形內找到唯一的對應點。 反過來，單位正方形內的一個點， (0.278272,0.549561) 可以對應為一個數0.257489257621， 即單位正方形內的任意一個點都可以在區(qū)間(0,1)上找到唯一的對應點 。所以區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點一樣多 同理可證直線和平面上的點一樣多w這一結果是出人意外的。就連康托本人也覺得“簡直不能相信”。然而這又是明擺著的事實，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發(fā)現真理，避免謬誤。集合論與無窮PPT課件w集合論基礎w我們知道，在有限集合中，兩個元素是可以比較大小的，自然數集中的元素是同樣可以比較大小的。在一般的無限集合中是怎樣的情況呢？康托爾系統(tǒng)地研究了序數理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內的所有元素定義一個大小關系，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。w集合論本身出現矛盾 20世紀集合論和數學基礎研究的出發(fā)點 集合論與無窮PPT課件 從無窮集合發(fā)展起來的集合論是現代數學中重要的基礎理論。它的概念和方法已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以