自考_概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類)_2012年10月_真題及答案詳解

1、1【解析】因?yàn)椋?，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以0.50.30.2，故選擇B.快解 用Venn圖可以很快得到答案：【提示】1. 本題涉及集合的運(yùn)算性質(zhì)：（i）交換律：AB=BA,AB=BA；（ii）結(jié)合律：（AB）C=A（BC）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（AB）C=（AC）（BC）， （AB）C=（AC）（BC）；（iv）摩根律（對(duì)偶律）,.2.本題涉及互不相容事件的概念和性質(zhì)：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為AB，且P（AB）=P（A）+P（B）. 2.【答案

2、】C【解析】根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，選擇C?！咎崾尽糠植己瘮?shù)的性質(zhì)： 0F（x）1； 對(duì)任意x1，x2（x1<x2），都有Px1<Xx2=F（x2）-F（x1）； F（x）是單調(diào)非減函數(shù)； ，； F（x）右連續(xù)； 設(shè)x為f（x）的連續(xù)點(diǎn)，則F（x）存在，且F（x）=f（x）.3【答案】D【解析】由課本p68，定義36：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S>0. 如果二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為，則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布. 本題x2+y21為圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓，包括邊界，屬于有界區(qū)域，其面積S=，故選擇D.【提示】課本介紹了兩種二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：均

3、勻分布和正態(tài)分布，注意它們的定義。若（X,Y）服從二維正態(tài)分布，表示為（X,Y）.4.【答案】A【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，即=2，所以；又根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故選擇A.【提示】1.常用的六種分布（1）常用離散型隨機(jī)變量的分布：A. 兩點(diǎn)分布 分布列 數(shù)學(xué)期望：E（X）=P 方差：D（X）=pq。B. 二項(xiàng)分布：XB（n,p） 分布列：，k=0，1，2，n； 數(shù)學(xué)期望：E（X）=np 方差：D（X）=npqC. 泊松分布：XP（） 分布列：，k=0，1，2， 數(shù)學(xué)期望：E（X）= 方差：D（X）（2） 常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 A

4、.均勻分布：XUa,b 密度函數(shù)：, 分布函數(shù)：， 數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）.指數(shù)分布：XE（） 密度函數(shù)：, 分布函數(shù)：， 數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）.C.正態(tài)分布（A）正態(tài)分布：XN（,2） 密度函數(shù)：，<x< 分布函數(shù)： 數(shù)學(xué)期望：E（X）, 方差：D（X）2， 標(biāo)準(zhǔn)化代換： 若XN（,2），則YN（0,1）.（B）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：XN（0,1） 密度函數(shù)：，<x< 分布函數(shù)：，<x< 數(shù)學(xué)期望：E（X）0, 方差：D（X）1.2. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) E（c）=c，c為常數(shù)； E（aX）=aE（X），a為常數(shù)； E（X+b）=E（X）

5、+b，b為常數(shù)； E（aX+b）=aE（X）+b，a，b為常數(shù)。5.【答案】B【解析】由已知的分布律，X的邊緣分布律為X12P2/31/3則，；根據(jù)方差的性質(zhì)有 D（3X）=9D（X）=2，故選擇B.【提示】（1）離散型隨機(jī)變量的方差：定義式: ；計(jì)算式：D（X）=E（X）2-E（X）2（2）方差的性質(zhì) D（c=0），c為常數(shù)； D（aX）=a2D（X），a為常數(shù)； D（X）+b）=D（X），b為常數(shù)； D（aX+b）=a2D（X），a，b為常數(shù)。6.【答案】C【解析】不等式等價(jià)于不等式，由獨(dú)立同分布序列的中心極限定理，代入=0，=1，則故選擇C.【提示】獨(dú)立同分布序列的中心極限定理：（課本P

6、120，定理54）：設(shè)X1，X2，Xn，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=，D（Xi）=2（i1，2，）.記隨機(jī)變量的分布函數(shù)為Fn（x），則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有，其中（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。應(yīng)用：不論X1，X2，Xn，服從什么分布，當(dāng)n充分大時(shí)，（1）近似服從正態(tài)分布；（2）近似服從正態(tài)分布，其中，D（Xi）=2（i1，2，）。7【答案】D【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)量定義，選擇D?！咎崾尽空n本p132，定義61：設(shè)x1,x2,xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T=T（x1,x2,xn）中包含任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計(jì)量. 8【答案】D【解析】選項(xiàng)A，B，C不正確，

7、只能選擇D?！咎崾尽恐眯艆^(qū)間長(zhǎng)度的增大或減小不僅與置信度有關(guān)，還與樣本容量有關(guān)，其中的規(guī)律是：在樣本容量固定的情況下，置信度增大，置信區(qū)間長(zhǎng)度增大，區(qū)間估計(jì)的精度降低；置信度減小，置信區(qū)間長(zhǎng)度減小，區(qū)間估計(jì)的精度提高。9.【答案】B【解析】假設(shè)檢驗(yàn)中可能犯的錯(cuò)誤為：第一類錯(cuò)誤，也稱“拒真錯(cuò)誤”；第二類錯(cuò)誤，也稱“取偽錯(cuò)誤”。無(wú)論“拒真”還是“取偽”，均是針對(duì)原假設(shè)而言的。故選擇B?！咎崾尽浚?）假設(shè)檢驗(yàn)全稱為“顯著性水平為的顯著性檢驗(yàn)”，其顯著性水平為犯第一類錯(cuò)誤的概率；而對(duì)于犯第二類錯(cuò)誤的概率沒(méi)有給出求法；（2）當(dāng)樣本容量固定時(shí)，減小犯第一類錯(cuò)誤的概率，就會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率；如果同時(shí)減

8、小犯兩類錯(cuò)誤的概率，只有增加樣本容量。10【答案】C【解析】根據(jù)回歸平方和的定義，選擇C。【提示】1. 根據(jù)回歸方程的的求法，任何一組樣本觀察值都可以得到一個(gè)回歸方程；2.在回歸方程的顯著性檢驗(yàn)的F檢驗(yàn)法（課本p188）中，要檢驗(yàn)所求回歸方程是否有意義，必須分析yi隨xi變化而產(chǎn)生的偏離回歸直線的波動(dòng)的原因。為此，選擇了一個(gè)不變值yi的平均值為基準(zhǔn)，總偏差為此式稱為平方和分解式。可知，S回反映了觀察值yi受到隨機(jī)因素影響而產(chǎn)生的波動(dòng)，S回反映了觀察值yi偏離回歸直線的程度。所以，若回歸方程有意義，則S回盡可能大，S剩盡可能小。非選擇題部分二、填空題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）11

9、.【答案】0.4【解析】設(shè)A，B分別表示甲、乙兩人擊中目標(biāo)的兩事件，已知A，B相互獨(dú)立，則P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.50.4故填寫0.4.【提示】二事件的關(guān)系（1）包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記做；對(duì)任何事件C，都有，且0P（C）1；（2）相等關(guān)系：若且，則事件A與B相等，記做AB，且P（A）=P（B）；（3） 互不相容關(guān)系：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，可表示為AB=，且P（AB）=0；（4）對(duì)立事件：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對(duì)立事件或逆事件，記做；滿足且.顯然：；，.（5）二事件的相互獨(dú)立性：若P（A

10、B）=P（A）P（B）, 則稱事件A, B相互獨(dú)立；性質(zhì)1：四對(duì)事件A、B，、A，A、，、其一相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)立；性質(zhì)2：若A, B相互獨(dú)立，且P（A）>0, 則P（B|A）=P（B）.12.【答案】【解析】，由1題提示有，所以，所以，【提示】條件概率：事件B（P（B）>0）發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率；乘法公式P（AB）=P（B）P（A|B）。13【解析】，所以P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填寫0.8.【提示】本題給出一個(gè)結(jié)論：若，則有.X12345，P2a0.10.3a0.314.【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-

11、0.7=0.3，所以 a=0.1，故填寫0.1.【提示】離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=xk=pk，k1，2，3，（1）pk0，k1，2，3，；（2）；（3）.15.【解析】（1）- （-1）=2（1）-1=2×0.8413-1=0.6826【提示】注意：正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化代換為必考內(nèi)容.16【答案】6【解析】根據(jù)均勻分布的定義，-2=4，所以=6，故填寫6.17.【答案】0.4【解析】PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1+PX=2,Y=2=0.1+0.2+0.1=0.4故填寫0.4.18【答案】，-<x<+【解析】根據(jù)二維正態(tài)分布的定義

12、及已知條件，相關(guān)系數(shù)p=0，即X與Y不相關(guān)，而X與Y不相關(guān)的充要條件是X與Y相互獨(dú)立，則有f（x,y）=fx（x）fy（y）；又已知（X,Y）N（0,0,1,4,0），所以XN（0,1），YN（0,4）。因此，.故填寫，19.【答案】【解析】因?yàn)閄U（-1，3），所以，根據(jù)方差的性質(zhì)得故填寫.20.【答案】2【解析】（-1）2+（-1）2×0.25+（-1）2+12 ×0.25+12+（-1）2 ×0.25+（12+12） ×0.25=2故填寫2.【提示】二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望（課本p92，定理44）：設(shè)g（X,Y）為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y）

13、的函數(shù)g（X,Y），（1）若（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù)收斂，則；（2）若（X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，積分收斂，則.21.【答案】1【解析】根據(jù)貝努利大數(shù)定律得1，故填寫1.【提示】1. 貝努利大數(shù)定律（課本p118，定理52）：設(shè)m為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為事件A的概率，則對(duì)任意正數(shù)，有1；2.認(rèn)真理解貝努利大數(shù)定律的意義.22.【答案】【解析】已知總體XP（），所以D（X）=，由樣本均值的抽樣分布有故填寫.【提示】樣本均值的抽樣分布：定理61（課本p134）設(shè)x1，x2，xn是來(lái)自某個(gè)總體X的樣本，是樣本均值， （1）若總體分布為N（,2），則的精確分布為；（2）若總體

14、X分布未知（或不是正態(tài)分布），但E（X）=，D（X）=2，則當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，的近似分布為.23.【答案】【解析】因?yàn)榭傮wXB（20,p），所以E（X）=20p，而矩估計(jì)，所以 p的矩估計(jì)，故填寫?！咎崾尽奎c(diǎn)估計(jì)的常用方法（1）矩法（數(shù)字特征法）：A.基本思想：用樣本矩作為總體矩的估計(jì)值；用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估計(jì)值。B.估計(jì)方法：同A。（2）極大似然估計(jì)法A.基本思想：把一次試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果視為所有可能結(jié)果中概率最大的結(jié)果，用它來(lái)求出參數(shù)的最大值作為估計(jì)值。B.定義：設(shè)總體的概率函數(shù)為p（x;），其中為未知參數(shù)或未知參數(shù)向量，為可能取值的空間，x1,x2, ,xn是來(lái)自該總體的

15、一個(gè)樣本，函數(shù)稱為樣本的似然函數(shù)；若某統(tǒng)計(jì)量滿足，則稱為的極大似然估計(jì)。C.估計(jì)方法 利用偏導(dǎo)數(shù)求極大值i）對(duì)似然函數(shù)求對(duì)數(shù)ii）對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得似然方程或方程組iii）解方程或方程組得即為的極大似然估計(jì)。 對(duì)于似然方程（組）無(wú)解時(shí)，利用定義： 理論根據(jù)：若是的極大似然估計(jì)，則即為g（）的極大似然估計(jì)。方法：用矩法或極大似然估計(jì)方法得到g（）的估計(jì)，求出。24.【答案】【解析】1-=0.96，=0.04，所以的置信度為0.96的置信區(qū)間長(zhǎng)度是，故填寫.【提示】1. 本題類型（單正態(tài)總體，方差已知，期望的估計(jì)）的置信區(qū)間為。2.記憶課本p162，表71，正態(tài)總體參數(shù)估計(jì)的區(qū)間估計(jì)表。2

16、5【答案】【解析】【提示】1. 本題類型（單正態(tài)總體，方差未知，對(duì)均值的假設(shè)檢驗(yàn)）使用t檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為。三、計(jì)算題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）26.【分析】本題考查全概公式和貝葉斯公式?！窘馕觥吭O(shè)A1、A2分別表示“第一、第二臺(tái)車床加工的零件”的事件，B表示“合格品”，由已知有，（1）根據(jù)條件概率的意義，有，所以P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）。（2）?！咎崾尽咳殴胶拓惾~斯公式：（1）全概公式：如果事件A1,A2,An滿足 A1,A2,An互不相容且P（Ai）>0 （1,2,n）； A1A2An=，則對(duì)于內(nèi)的任意事件B，都有；（2）貝葉斯公式：

17、條件同A，則，I=1,2,n。（3）上述事件A1,A2,An構(gòu)成空間的一個(gè)劃分，在具體題目中，“劃分”可能需要根據(jù)題目的實(shí)際意義來(lái)選擇。27.【分析】本題考查離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布及協(xié)方差?！窘馕觥浚?）根據(jù)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律，有X的邊緣分布律為X01P0.60.4Y的邊緣分布律為Y101P0.40.50.1（2）由（1）有E（X）=0×0.6+1×0.4=0.4，E（Y）=（-1）×0.4+0×0.5+1×0.1=-0.3又+1×（-1）×0.1+1×0×0.3+1×1&

18、#215;0=-0.1所以cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4×（-0.3）=0.02?！咎崾尽繀f(xié)方差：A）定義：稱E（X-E（X）（Y=E（Y）為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差。記做Cov（X,Y）.B）協(xié)方差的計(jì)算 離散型二維隨機(jī)變量：； 連續(xù)性二維隨機(jī)變量：； 協(xié)方差計(jì)算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）； 特例：cov（X,Y）=D（X）.C）協(xié)方差的性質(zhì)：Cov（X,Y）Cov（Y,X）；Cov（aX,bY）abCov（X,Y），其中a，b為任意常數(shù)；Cov（X1+X2,Y）Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）；若X與Y相互獨(dú)立，Cov（X,Y）0，協(xié)方差為零只是隨機(jī)變量相互獨(dú)立的必要條件，而不是充分必要條件；四、綜合題（本大題共2小題，每小題12分，共24分）28.【分析】本題計(jì)算過(guò)程可按服從正態(tài)分布進(jìn)行?！窘馕觥吭O(shè)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量X，已知XN（75,2），且其中 ZN0,1。所以。因此，考生成績(jī)?cè)?5分至85分之間的概率約為0.9.29【分析】本題考查兩種分布，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的性質(zhì)及二