導數(shù)基礎綜合題一-帶答案12頁

1、導數(shù)基礎綜合題一學校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題1設函數(shù)f(x)=x3+(a1)x2+ax，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為A. y=2x B. y=x C. y=2x D. y=x二、解答題2已知函數(shù)f(x)=exax2（1）若a=1，證明：當x0時，f(x)1；（2）若f(x)在(0,+)只有一個零點，求a3已知函數(shù)fx=x2+ax-lnx,aR（1）若a=1，求曲線y=fx在點1,f1處的切線方程；（2）若函數(shù)fx在1,3上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；4已知函數(shù)f(x)=lnxax+a,aR.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當x1時，函

2、數(shù)gx=x+1fxlnx的圖象恒不在x軸的上方，求實數(shù)a的取值范圍.5已知函數(shù)f (x)a lnx2a2xx (a0)(1)若曲線yf (x)在點(1，f (1)處的切線與直線x2y0垂直，求實數(shù)a的值；(2)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性6已知函數(shù)f(x)=(x-1)-alnx(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0對x1，+)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍7已知函數(shù)f(x)=13x3+12x2-1(1)求函數(shù)f(x)在點(1，-16)處的切線方程；(2)若直線y=m與f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的范圍8已知函數(shù) 求的極值；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍9已知函數(shù)fx=a

3、x+1lnxx+1aR（）當a=2時，求函數(shù)fx在點1,f1處的切線方程；（）當a12時，求證：對任意的x1,fx0恒成立.10已知函數(shù)f(x)=kx2ex（k0）.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當k=1時，若存在x>0，使lnf(x)>ax成立，求實數(shù)a的取值范圍. 11已知函數(shù)f(x)=ex+ax2x.（1）當a0時，求函數(shù)f(x)的極小值；（2）當a<0時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.12已知函數(shù)f(x)=alnx+12x2-2ax(aR).（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若f(x)有兩個極值點x1,x2，證明：f(x2)<-

4、32.13已知函數(shù)fx=1xax+lnx,a>0,e2.7（1）若函數(shù)fx在區(qū)間2,+上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證：對于任意大于1的正整數(shù)n，都有l(wèi)nn>12+13+1n.試卷第1頁，總2頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。參考答案1D【解析】分析：利用奇函數(shù)偶此項系數(shù)為零求得a=1，進而得到f(x)的解析式，再對f(x)求導得出切線的斜率k，進而求得切線方程.詳解：因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以a1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處

5、的切線方程為yf(0)=f'(0)x，化簡可得y=x，故選D.點睛：該題考查的是有關(guān)曲線y=f(x)在某個點(x0,f(x0)處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項，從而求得相應的參數(shù)值，之后利用求導公式求得f'(x)，借助于導數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點斜式求得結(jié)果.2（1）見解析（2）e24【解析】分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，再求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式，(2)研究f(x)零點，等價研究h(x)=1-ax2e-x的零

6、點，先求h(x)導數(shù)：h'(x)=ax(x-2)e-x，這里產(chǎn)生兩個討論點，一個是a與零，一個是x與2，當a0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；當a>0時，h(x)先減后增，從而確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：（1）當a=1時，f(x)1等價于(x2+1)e-x-10設函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，則g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x當x1時，g'(x)<0，所以g(x)在(0,+)單調(diào)遞減而g(0)=0，故當x0時，g(x)0，即f(x)1（2）設函數(shù)h(x)=1-

7、ax2e-xf(x)在(0,+)只有一個零點當且僅當h(x)在(0,+)只有一個零點（i）當a0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；（ii）當a>0時，h'(x)=ax(x-2)e-x當x(0,2)時，h'(x)<0；當x(2,+)時，h'(x)>0所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+)單調(diào)遞增故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+)的最小值若h(2)>0，即a<e24，h(x)在(0,+)沒有零點；若h(2)=0，即a=e24，h(x)在(0,+)只有一個零點；若h(2)<0，即a>e24，由于h(0)=1，

8、所以h(x)在(0,2)有一個零點，由（1）知，當x>0時，ex>x2，所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0故h(x)在(2,4a)有一個零點，因此h(x)在(0,+)有兩個零點綜上，f(x)在(0,+)只有一個零點時，a=e24點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.3(1) 2xy=0.(2) ,173.【解析】分析：（1）由f'1

9、=2和f1=2可由點斜式得切線方程；（2）由函數(shù)在1,3上是減函數(shù)，可得f'x=2x+a-1x=2x2+ax-1x0在1,3上恒成立，hx=2x2+ax-1，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解.詳解：（1）當a=1時， fx=x2+x-lnx所以f'x=2x+1-1x， f'1=2,又f1=2 所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為2x-y=0.（2）因為函數(shù)在1,3上是減函數(shù)，所以f'x=2x+a-1x=2x2+ax-1x0在1,3上恒成立. 做法一：令hx=2x2+ax-1,有h10h30，得a-1a-173故a-173.實數(shù)a的取值范圍為-,-173 做法二： 即

10、2x2+ax-10在1,3上恒成立，則a1x-2x在1,3上恒成立， 令hx=1x-2x，顯然hx在1,3上單調(diào)遞減，則ahxmin=h3，得a-173實數(shù)a的取值范圍為-,-173 點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若f(x)>0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為f(x)min>0 ，若f(x)<0恒成立f(x)max<0；（3）若f(x)>g(x) 恒成立，可轉(zhuǎn)化為f(x)min>g(x)max（需在同一處取得最值） .4（1）當a0時，f(x)增區(qū)間為(0,+)，

11、當a>0時，遞增區(qū)間為0,1a，減區(qū)間為1a,+；（2）12,+.【解析】分析：（1）求導可得f'x=1x-a=1-axx，分a0和a>0兩種情況討論可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）由題意得gx=xlnx-ax2-1，且gx=xlnx-ax2-10在1,+)上恒成立，g'x=lnx+1-2ax，令h(x)=lnx+1-2ax，則h'(x)=1x-2a=1-2axx，然后再根據(jù)a的范圍分類討論可得所求范圍詳解：（1）fx=lnx-ax+a,x>0，f'x=1x-a=1-axx當a0時，則f'x>0，所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；當a&

12、gt;0時，則由f'x>0得0<x<1a，由f'x<0得x>1a，所以f(x)在0,1a上單調(diào)遞增，在1a,+上單調(diào)遞減綜上，當a0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+)；當a>0時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1a，單調(diào)遞減區(qū)間為1a,+.（2）由題意得gx=x+1fxlnx=x+1lnxax+alnx=xlnxax21， 當x1時，函數(shù)gx的圖象恒不在x軸的上方，xlnx-ax2-10在1,+)上恒成立設gx=xlnx-ax2-1，x1，則g'x=lnx+1-2ax.令h(x)=lnx+1-2ax，則h'(x)=1x-2a

13、=1-2axx，若a0，則h'x>0，故g'x在1,+)上單調(diào)遞增，g'xg'(1)=1-2a0，gx在1,+)上單調(diào)遞增，gxg(1)=0，從而xlnx-ax2-10，不符合題意若0<a<12，當x1,12a時，h'(x)>0，g'(x)>0在1,12a上單調(diào)遞增，g'(x)>g(1)=1-2a>0，g(x)在1,12a上單調(diào)遞增，g(x)g(1)=0,從而在1,12a上xlnx-ax2-10，不符合題意；若a12，則h'x0在1,+)上恒成立，g'x在1,+)上單調(diào)遞減，g&#

14、39;xg'(1)=1-2a0，gx在1,+)上單調(diào)遞減，gxg(1)=0，從而xlnx-a(x2-1)0恒成立綜上可得實數(shù)a的取值范圍是12,+.點睛：（1）涉及含參數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的問題，要弄清參數(shù)對導數(shù)fx在某一區(qū)間內(nèi)的符號是否有影響若有影響，則必須分類討論（2）利用函數(shù)的導數(shù)研究不等式的恒成立問題是一類重要的題型，其實質(zhì)是求函數(shù)的最值問題，它體現(xiàn)了導數(shù)的工具性作用將函數(shù)、不等式緊密結(jié)合起來，考查綜合解決問題的能力，多為高考中較難的題目5(1) a1或a32.(2) 當a>0時,f(x)在(a,)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減當a<0時,所以函數(shù)f(x)在(0

15、,2a)上單調(diào)遞減,在(2a,)上單調(diào)遞增.【解析】分析：（1）先求出f（x）=+1，（x0），由題意得：f（1）=2，解方程求出即可；（2）求出f（x）=，（x0），討論a0時，a0時的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由（2）得，當a（，0）時，函數(shù)f（x）的最小值為f（2a），故g（a）=f（2a），得g（a）=ln（2a）2，得g（a）在（，e2）遞增，在（e2，0）遞減，從而g（a）最大值=e2，進而求出g（a）的最大值詳解：(1)f(x)的定義域為x|x>0f(x)1 (x>0)根據(jù)題意,有f(1)2,所以2a2a30,解得a1或a(2)解：f(x)1(x>0)

16、當a>0時,因為x>0,由f(x)>0得(xa)(x2a)>0,解得x>a；由f(x)<0得(xa)(x2a)<0,解得0<x<a.所以函數(shù)f(x)在(a,)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減當a<0時,因為x>0,由f(x)>0得(xa)(x2a)>0,解得x>2a；由f(x)<0得(xa)(x2a)<0,解得0<x<2a所以函數(shù)f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減,在(2a,)上單調(diào)遞增所以：當a>0時,f(x)在(a,)上單調(diào)遞增,在(0,a)上單調(diào)遞減當a<0時,所以函數(shù)

17、f(x)在(0,2a)上單調(diào)遞減,在(2a,)上單調(diào)遞增.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，切線的方程，對導數(shù)的基礎知識的運用的靈活是解題關(guān)鍵，是一道綜合題6（1）見解析（2）a1【解析】分析：（1）正確求得函數(shù)的導函數(shù)是關(guān)鍵，再求得導函數(shù)后，利用f'（x）0，解自變量的取值范圍時要對參數(shù)a進行討論，很明顯由f（x）以及x0，可分a0和a0來討論得解（2）由f（x）0對x1，+）上恒成立可分a1和a1來討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于等于0的問題來求解詳解：解：()f'(x)=1-ax=x-ax(x>0) 當a0時， ，f(x)在(0，+)上為增函數(shù)

18、當a>0時，f'(x)=x-ax=0，x=a，f(x)在(0，a)上為減函數(shù)，在(a，+)上為增函數(shù)       ()f'(x)=1-ax=x-ax，當a1時，在1，+)上恒成立，則f(x)是單調(diào)遞增的，則f(x)f(1)=0恒成立，則a1當a>1時，在(1，a)上單調(diào)遞減，在(a，+)上單調(diào)遞增，所以x(1，a)時，f(x)f(1)=0這與f(x)0恒成立矛盾，故不成立 綜上：a1點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不

19、等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.7（1）12x-6y-13=0（2）(-1，-56)【解析】分析：（1）根據(jù)題意，對f（x）求導可得f（x），從而可得f（1）的值，即可得函數(shù)f（x）在點（1，16 ）處的切線的斜率，由直線的點斜式方程計算可得答案；（2）對f（x）求導可得f（x），借助導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析可得f（x）的單調(diào)性和極值，分析直線y=m與f（x）的圖象的位置關(guān)系即可得答案詳解：(1)由已知得：f'(x)=x2+x f'(1)=2則切線方程為：y+16=2(x-1)即12x-6y-13=0(2)令f'(x)

20、=x2+x=0解得：x=-1，x=0當 x<-1時，f'(x)>0當-1<x<0時，f'(x)<0當 x>0時，f'(x)>0f(x)的極大值是f(-1)=-56f(x)的極小值是f(0)=-1所以要使直線y=m與f(x)的圖象有三個不同的交點，m (-1，-56)點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直

21、角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解8（1） 極大值為，極小值為；（2）.【解析】試題分析：（1）令，求根后，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得極值；（2）由，得減區(qū)間，所以是子集，列不等式組求解即可試題解析：，1和4別是的兩根，根據(jù)單調(diào)性可知極大值為，極小值為.由上得，由故的單調(diào)遞減區(qū)間為，解得：m的取值范圍： 點睛：利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性有兩種題型，一種是求單調(diào)區(qū)間，只需令導數(shù)大于0求增區(qū)間，令導數(shù)小于0求減區(qū)間；另一種是已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，若已知函數(shù)單增，只需函數(shù)導數(shù)在區(qū)間上恒大于等于0即可，若已知函數(shù)單減，只需函數(shù)導數(shù)小于等于0即可，或考慮為單調(diào)區(qū)間的子集.注意等號！9

22、（1）3xy1=0（2）見解析【解析】分析: （）當a=2時，寫出f（x）的表達式，對f（x）進行求導，求出x=1處的斜率，再根據(jù)點斜式求出切線的方程；（）由題意可知，對任意的x1，+），使f（x）0成立，只需任意的x1，+），f（x）min0，從而求出a的取值范圍。詳解: （）由fx=2x+1lnx-x+1得f'x=2lnx+2x+1，切點為1,0，斜率為f'1=3，所求切線方程為：y=3x-1，即3x-y-1=0；（）證明：當a12時，fx=12x+1lnx-x+1x1欲證：fx0，注意到f1=0，只要fxf1即可f'x=alnx+1x+1-1x1,令gx=lnx+

23、1x+1x1，則g'x=1x-1x2=x-1x20x1知gx在1,+上遞增，有g(shù)xg1=2，所以f'x2a-10a12可知fx在1,+上遞增，于是有fxf1=0綜上，當a12時，對任意的x1,fx0恒成立點睛: 利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù)h(x)=f(x)-g(x).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).10（1）見解析（2）a<2e1【解析】分析：（1）由題意，求得導函數(shù)f

24、(x)，分k<0和k>0討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當k=1時，由lnf(x)>ax成立，等價于a<2lnxxx，設g(x)=2lnxxx(x>0)，存在x>0，使lnf(x)>ax成立，等價于a<g(x)ax，利用導數(shù)得到gx的單調(diào)性和最值，即可求解a的取值范圍詳解：（1）函數(shù)的定義域為R，求導函數(shù)可得f'(x)=-kx(x-2)ex，當k<0時，令f'(x)>0，可得x<0或x>2；令f'(x)<0，可得0<x<2.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-，0)，(2，+)，單

25、調(diào)減區(qū)間為(0，2)當k>0時，令f'(x)<0，可得x<0或x>2；令f'(x)>0，可得0<x<2，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)，單調(diào)減區(qū)間為(-，0)，(2，+)；（2）當k=1時，f(x)=x2ex（x>0），lnf(x)>ax成立，等價于a<2lnx-xx，設g(x)=2lnx-xx(x>0)，存在x>0，使lnf(x)>ax成立，等價于a<g(x)ax.g'(x)=2(1-lnx)x2，當0<x<e時，g'(x)>0；當x>e時，g&

26、#39;(x)<0，g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+)上單調(diào)遞減.g(x)max=g(e)=2e-1，a<2e-1.點睛：本題考查了利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導數(shù)研究不等式有解問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題11(1)函數(shù)f(x)的極小值為f(0)=1.(2)1e2,0).【解析】（1） f(x)=ex+ax2-x，f'(x)=ex+2ax-1，a0，f'(x)=ex+2ax-1在上是增函數(shù)，又f'(0)=

27、0，時，時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，為函數(shù)f(x)的極小值點，函數(shù)f(x)的極小值為f(0)=1.（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù)，f'(x)=ex+2ax-10在1,+)上恒成立，2a1-exx在1,+)上恒成立，設g(x)=1-exx(x1)，則g'(x)=-xex+ex-1x2(x1)，設h(x)=-xex+ex-1(x1)，則h'(x)=-ex-xex+ex=-xex<0，h(x)在區(qū)間1,+)上是減函數(shù)，h(x)h(1)=-e+e-1=-1<0，g'(x)<0， g(x)在區(qū)間1,+)上是減函數(shù)，g(x)1-e，2a

28、1-e，又a<0，1-e2a<0，所以a的取值范圍是1-e2,0).12(1) 當a>1時， fx在0,aa2a,a+a2a,+上單調(diào)遞增; 在aa2a,a+a2a上單調(diào)遞減；0a1時， fx在0,+上單調(diào)遞增；當a<0時，fx在0,a+a2a上單調(diào)遞減; 在a+a2a,+上單調(diào)遞增.(2)見解析.【解析】分析：（1）由f'x=x2-2ax+ax，分別討論當0a1時，a>1或a<0討論導函數(shù)的正負從而可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）知a>1，且x1,x2(x1<x2)為方程x2-2ax+a=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=2a,x

29、1x2=a，其中x2=a+a2-a>1，可化簡fx2=alnx2+12x22-2ax2= alnx2-12x22-a，令hx=alnx-12x2-ax>1，進而求導求最值即可證得.詳解：（1） f'x=ax+x-2a=x2-2ax+ax. 令gx=x2-2ax+a，=4a2-4a=4aa-1，對稱軸為x=a.當0a1時，f'x0，所以fx在0,+上單調(diào)遞增. 當a>1或a<0時，>0 .此時，方程x2-2ax+a=0兩根分別為x1=a-a2-a，x2=a+a2-a.當a>1時，0<x1<x2，當x(0,x1)(x2,+)時，f&#

30、39;(x)>0，當x(x1,x2)，f'(x)<0，所以fx在0,a-a2-a,a+a2-a,+上單調(diào)遞增， 在a-a2-a,a+a2-a上單調(diào)遞減. 當a<0時，x1<0<x2，當x(0,x2)時，f'(x)<0，當x(x2,+)，f'(x)>0， 所以fx在0,a+a2-a上單調(diào)遞減， 在a+a2-a,+上單調(diào)遞增. 綜上，當a>1時， fx在0,a-a2-a,a+a2-a,+上單調(diào)遞增; 在a-a2-a,a+a2-a上單調(diào)遞減；0a1時， fx在0,+上單調(diào)遞增；當a<0時，fx在0,a+a2-a上單調(diào)遞減; 在a+a2-a,+上單調(diào)遞增.（2）由（1）知a>1，且x1,x2(x1<x2)為方程x2-2ax+a=0的兩個根. 由根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=2a,x1x2=a，其中x2=a+a2-a>1 .于是fx2=alnx2+12x22-2ax2=alnx2+12x22-x+1x2x2=alnx2+12x22-(ax2+x2)x2=alnx2-12x22-a. 令hx=alnx-12x2