梯形知識大全

1、梯形知識大全梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰 中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題 的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助 線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn) 化為三角 形、平行四 邊形。Ar直DB廠/TB-EC甘c平移對角 線。轉(zhuǎn)化為 三角形、平 行四邊形。HCB- ciEADE延長兩腰，EI轉(zhuǎn)化為二A/ D/ 角形。B上-C作高，轉(zhuǎn)化為直角三AID角形和矩B /_ cEF C形。梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形

2、。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1） 在梯形內(nèi)部平移一腰。（2） 梯形外平移一腰（3） 梯形內(nèi)平移兩腰（4） 延長兩腰（5） 過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6） 平移對角線（7） 連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8） 過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。（9） 作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、 單一的。 通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。（一）、平移1、平移一腰:所以AE=8.

3、例1.如圖所示，在直角梯形AD=15,AB=16,BC=17.求解：過點(diǎn)D作DE II BC交AB于 又AB II CD，所以四邊形BCDE所以DE=BC=仃，CD=BE.在RtDAE中， 由勾股定理， 得AE2=DE2AD2,即卩AE2=172ABCD中，/A=90CD的長.點(diǎn)E.是平行四邊形 ,AB II DC,A-、B所以BE=ABAE=168=8.即CD=8.例2女口圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍解：過點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M，在厶BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5,54VBCV5+4,即卩1VBCV9。2

4、、平移兩腰：例3女口圖，在梯形ABCD中，AD/BC，/B+ZC=90,AD=1,BC=3,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得/EGH+ ZEHG=/B+ZC=90則厶EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)EFGH /(BC -BG -CH )2 2J(BC _ AE _ DE)BC _(AE DE)2 2J(BC _ AD) J(3 _1) =12 23、平移對角線:例4、已知：梯形ABCD中，AD/BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4，求梯形ABCD的面積.解：如圖，作DE

5、/AC,交BC的延長線于E點(diǎn). AD/BC四邊形ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4在DBE中,BD=3,DE=4,BE=5_cBHC E/BDE=90 :_ BD疋ED 12作DH丄BC于H，則D例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,BC=7,BD=5 2，求證：AC丄S梯形ABCD(AD BC) DH2=6BD。D解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長線于點(diǎn)E, 易得四邊形BCED是平行四邊形，貝VDE=BC,CE=BD=5 2,所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5 2,所以在ACE中，A

6、C2+CE2=(5血)2+(5&)2=100 = AE2從而AC丄CE，于是AC丄BD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm, 求梯形ABCD的面積。（二）、延長即延長兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。解：過點(diǎn)D作DE/AC，交BC的延長線于點(diǎn)E, 則四邊形ACED是平行四邊形，即卩SABD=sACD=SDCE。所以S梯形 ABCD -SDBE由勾股定理得EH DE2DH2AC2DH2152-122=9(cm)BH = . BD2- DH2=、202-122=16(cm)SDBE=-BE DH =1 (9 16) 12 =150(

7、cm2)所以22,即梯形ABCD的面積是150cm2。例7如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，/B=50,ZC=80,AD=2,BC=5, 求CD的長。解：延長BA、CD交于點(diǎn)E。 在厶BCE中，/B=50,ZC=80所以/E=50，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3例8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明 解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長AD、BC相交于點(diǎn)E，如圖所示. AC=BD,AD=BC,AB=BA, DAB CBA.:丄DAB= ZCBA. EA=EB.又AD=BC,DE=C

8、E，/EDC而/E+ZEAB+ZEBA=ZE+:丄EDC=ZEAB，二DC II AB.又AD不平行于BC,四邊形ABCD是等腰梯形.（三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCD中，AD/BC,AB丄AD,BC=CD,BE丄CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE=ZECD./EDC+ ZECD=180E解：連結(jié)BD,由AD/BC，得/ADB=/DBE;由BC=CD，得/DBC=/BDC。 所以/ADB=/BDE。又/BAD=/DEB=90 ,BD=BD, 所以RtBAD也RtBED, 得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB

9、/DC，/ABC=90 ,AB=2DC，對角線AC丄BD，垂足為F，過點(diǎn)F作EF/AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過點(diǎn)D作DG丄AB于點(diǎn)G， 則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是/DAB=/DBA。又EF/AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高例11、在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，/ABC=60，AD=3cm，BC=5cm，求：腰AB的長；（2）梯形ABCD的面積.解：作AE丄BC于E,DF丄BC于F，又:AD II BC,四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm AB=DC1BE二

10、FC (BC -EF) = 1cm2在RtABE中，/B=60,. .AB=2BE=2cm，AE=V3BE= i3cmg(AD +BC)H AE ,2S弟形ABCD4 3cm2例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，ABCD，求證:BDAC。證：作AE丄BC于E，作DF丄BC于F，則易知AE=DFA DDC在RtABE和RtDCF中，因?yàn)锳BCD,AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFCE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BDAC（五）、作中位線1已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，ZAOD=90 ,求證:AB+CD=AD。

11、證： 取AD的中點(diǎn)E,連接0E,則易知0E是梯形ABCD的中位線， 從而0E=乙(AB+CD)在厶AOD中，/AOD=90 ,AE=DEOEAD _所以2由、得AB+CD=AD。2、已知梯形兩條對角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對角線中點(diǎn)，并延長與 底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：證：連接DF，并延長交BC于點(diǎn)G，易證AFDCFG貝V AD=CG,DF=GF由于DE=BE，所以EF是厶BDG的中位線_1從而EF/BG，且EFSBG因?yàn)锳D/BG,BG =BC -CG =BC -AD1所以EF/AD,EF=尹CD)

12、3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個全等的三角形達(dá)到解題的 目的。例15、在梯形ABCD中，AD/BC,ZBAD=900,E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE,求ZAEB=2ZCBE。解：分別延長AE與BC，并交于F點(diǎn)ZBAD=900且AD/BCF C BZ FBA=1800 Z BAD=900問：線段AE和BE之間有怎解：AE=BE，理由如下：樣的大小關(guān)系?又AD II BC/DAE=ZF（兩直線平行內(nèi)錯角相等）ZAED=ZFEC（對頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）ADEFCE（AAS） AE=FE在厶ABF中ZFBA=900且AE=FEBE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于

13、斜邊的一半） 在厶FEB中ZEBF=ZFEBZAEB=ZEBF+ZFEB=2ZCBE例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AB丄BC,E是CD中點(diǎn)，試 延長AE，與BC延長線交于點(diǎn)F.BDE=CE，/AED=/CEF,/DAE=/FADE輕FCE AE=EFAB丄BC, 二BE=AE.例17、 已知： 梯形ABCD中AD/BC,為DC中點(diǎn)EF丄AB于F點(diǎn)，AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面積.解：如圖，過E點(diǎn)作MN/AB，分別交AD的延長線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)./DE=EC,AD/BCDEM CNE四邊形ABNM是平行四邊形 EF丄AB,:.S梯形ABCD=SABNM=

14、ABxEF=15cm2.和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平 行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4）延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例8已知，如圖9,在梯形ABCD中，AD/BC , AB=AC,ZBAC=90 ,BD=BC,BD交AC于點(diǎn)0.求證：CO=CD.分析：要證明CO=CD，可證明ZCOD=ZCDO，由于已知ZBAC=90，所以 可通過作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題.證明：過點(diǎn)A、D分別作AE丄BC,DF丄BC,垂足分別是E、F

15、，則四邊形AEFD為矩形，因?yàn)锳E=DF，AB=AC，AE丄BC，ZBAC=90，1 1所以AE=BE=CE=2BC，ZACB=45，所以AE=DF= ?，又DF丄BC,所以在RtDFB中，/DBC=30180-NDBC又BD=BC，所以/BDC=/BCD=2二所以/DOC=/DBC+/ACB=30+45=75 所以/BDC=/DOC，所以C0=CD.圖9說明：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的咼將梯形 轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形知識解決.例9如圖10,在等腰梯形ABCD中，AD/BC,AC丄BD,AD+BC=10,DE BC于E.求DE的長.分析：根據(jù)本

16、題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形 和直角三角形，借助勾股定理解決.解： 過點(diǎn)D作DF/AC， 交BC的延長線于F,則四邊形ACFD為平行四邊形， 所以AC=DF，AD=CF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，11 1因?yàn)镈E丄BC，所以BE=EF=2BF=打BC+CF)= : (BC+AD)1=2x10=5.因?yàn)锳C/DF,BD丄AC,所以BD丄DF,因?yàn)锽E=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的長為5.E；E C圖10說明：當(dāng)有對角線或垂直成梯形時，常作梯形對角線的平行線，構(gòu)造平行四邊形，等 腰三角形或直角三角形來解決.和中位線有關(guān)輔助線

17、的作法例10如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0,AC=BD，E、F分別 是AB、CD中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH.分析：欲證0G=OH，而OG、OH為同一個三角形的兩邊，又E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，所以可試想作輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.證明：取AD中點(diǎn)P，連結(jié)PE，PF.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，1丄所以PE/BD，且PE= 2 BD，PF/AC，且PF= ? AC，所以/PEF=/PFE，又/PEF=/OGH，/PFE=/OHG，所以/OGH=/OHG， 所以O(shè)G=OH.說明：遇中點(diǎn)，常作中位線，借助中位線的性質(zhì)解題【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1.若等腰梯形的銳角是60，它的兩底分別為11cm,35cm，則它的腰長為cm.2.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD II BC,/B=60,AD=2,BC=8,則此等腰梯形的周長為（）A. 19 B. 20 C. 21D.22ABICD,AE丄DC,AE=12,BD=20,AC=15,則梯形ABCD)C. 150 D. 160*4.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD II BC,對角線AC與BD互相垂 直，且AD=30,BC=70,求BD的長