2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷

1、1 / 13 2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題1已知全集，集合 2 或 x2 ，則?（）a （2，2）b （， 2）（ 2，+）c 2，2 d （， 2 2 ，+）2若復(fù)數(shù)（ 1i ） （）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（）a （， 1） b （， 1）c （1，+）d （ 1，+）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）a2 bc d2 / 13 4若 x，y 滿足，則 2y 的最大值為（）a1 b3 c 5 d95已知函數(shù) f （x）=3x（）x，則 f （x

2、） （）a是偶函數(shù)，且在r上是增函數(shù)b是奇函數(shù)， 且在 r上是增函數(shù)c是偶函數(shù)，且在r上是減函數(shù)d 是奇函數(shù)，且在r上是減函數(shù)6某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）a60 b30 c 20 d10 【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，該三棱錐的體積10故選： d【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推3 / 13 理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7設(shè) ， 為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得= ”是 ? 0”的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【解答】解：， 為非零向量，存在負(fù)數(shù)，使得= ，則向量 ， 共線且方向相反，可得?

3、0反之不成立， 非零向量， 的夾角為鈍角， 滿足 ? 0，而 =不成立 ， 為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得= ”是 ? 0”的充分不必要條件故選： a8根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限m約為 3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)n約為 1080， 則下列各數(shù)中和最接近的是（） （30.48 ）a1033b1053c1073d1093【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：，可得： 3=103100.48，代入m將 m也化為 10 為底的指數(shù)形式，進(jìn)而可得結(jié)果【解答】解：由題意： m 3361，n1080，根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)有： 3=103100.48，m 3361（ 100.48）36110173，=1

4、093，故本題選： d【點(diǎn)評(píng)】本題解題關(guān)鍵是將一個(gè)給定正數(shù)t 寫成指數(shù)形式：4 / 13 ，考查指數(shù)形式和對(duì)數(shù)形式的互化，屬于簡(jiǎn)單題二、填空題9在平面直角坐標(biāo)系中，角 和角 均以為始邊，它們的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱，若 =，則 =推導(dǎo)出 +=+2k， kz，從而 （ +2k），由此能求出結(jié)果【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，角 和角 均以為始邊，它們的終邊關(guān)于y 軸對(duì)稱， +=+2k， kz，=，（ +2k）=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的正弦值的求法，考查對(duì)稱角、誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸和轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題10若雙曲線 x

5、2=1 的離心率為，則實(shí)數(shù)2 【分析】利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解m 即可【解答】解：雙曲線x2=1（m 0）的離心率為，可得：，解得 2故答案為： 2【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力11已知 x0，y0，且 1，則 x22的取值范圍是，1 解：x0，y0，且 1，則 x222+（1x）2=2x221，x0 ，1 ，則令 f （x）=2x221，x0 ，1 ，函數(shù)的對(duì)稱軸為：，開(kāi)口向上，5 / 13 所以函數(shù)的最小值為： f（ ）最大值為：f（1） =22+1=1則 x22的取值范圍是： ，1 故答案為： ，1 12已知點(diǎn) p在圓 x22=1 上，點(diǎn) a的坐標(biāo)為（ 2，0

6、） ，o為原點(diǎn)，則?的最大值為6 【解答】解：設(shè)p（，）（2，0） ，=（ +2，） 則?=2（+2）6，當(dāng)且僅當(dāng) =1 時(shí)取等號(hào)故答案為： 613能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c 是任意實(shí)數(shù)若abc，則c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c 的值依次為1，2，3 【解答】解：設(shè)a，b，c 是任意實(shí)數(shù)若abc，則c”是假命題，則若 abc，則c”是真命題，可設(shè) a，b，c 的值依次 1， 2，3， （不唯一），故答案為：1，2，3 14某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（i ）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； （）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)若教師人數(shù)為4，則女學(xué)

7、生人數(shù)的最大值為6 該小組人數(shù)的最小值為12 【解答】解：設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x，y 人，若教師人數(shù)為4，6 / 13 則，即 4yx8，即 x 的最大值為 7， y 的最大值為 6， 即女學(xué)生人數(shù)的最大值為6設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為x，y 人，教師人數(shù)為z，則，即 zyx2z 即 z 最小為 3 才能滿足條件，此時(shí)x 最小為 5，y 最小為 4，即該小組人數(shù)的最小值為12，故答案為： 6，12 三、解答題15已知等差數(shù)列 和等比數(shù)列 滿足 a11=1，a24=10，b2b45（）求 的通項(xiàng)公式；（）求和： b135+2n1【分析】（）利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，然后求 的通項(xiàng)公式；（）利用已

8、知條件求出公比，然后求解數(shù)列的和即可【解答】解：（）等差數(shù)列 ，a1=1，a24=10，可得： 11+310，解得 2，所以 的通項(xiàng)公式： 1+（n1）2=2n1（）由（）可得a51+49，等比數(shù)列 滿足 b1=1，b2b4=9可得 b3=3，或 3（舍去）（等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同） q2=3，b2n1 是等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為 1b135+2n17 / 13 16已知函數(shù) f （x）（2x）2（i ）求 f （x）的最小正周期；（）求證：當(dāng)x ， 時(shí)， f （x）【解答】解：（） f （x）（2x） 2，=（ 22x）2x，2 2x， （2） ， f （x）的最小正周期為，（） x ，

9、，2 ， ，（2） 1，f （x）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及周期的定義和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題17某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400 名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)， 根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例， 使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100 名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7 組： 20 ，30） ，30 ，40） ， 80 ，90 ，并整理得到如下頻率分布直方圖：（）從總體的400 名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70 的概率；（）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40 的學(xué)生有 5 人，試估計(jì)總體中分8 / 13 數(shù)在區(qū)間 40 ，50）內(nèi)的人數(shù)；（）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70

10、的男女生人數(shù)相等試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例【分析】 （）根據(jù)頻率 =組距高，可得分?jǐn)?shù)小于70 的概率為：1（0.04+0.02 ）10；（）先計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)小于40 的頻率，進(jìn)而計(jì)算分?jǐn)?shù)在區(qū)間40 ，50）內(nèi)的頻率，可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40 ，50）內(nèi)的人數(shù)；（）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的男女生人數(shù)相等進(jìn)而得到答案解： （）由頻率分布直方圖知：分?jǐn)?shù)小于70 的頻率為： 1（0.04+0.02 ）10=0.4 故從總體的400 名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70 的概率為 0.4 ；（）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40 的學(xué)生有 5 人，故樣本中分?jǐn)?shù)小

11、于 40 的頻率為： 0.05 ，則分?jǐn)?shù)在區(qū)間 40 ， 50） 內(nèi)的頻率為： 1 （0.04+0.02+0.02+0.01）100.05=0.05 ，估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40 ，50）內(nèi)的人數(shù)為4000.05=20 人，（）樣本中分?jǐn)?shù)不小于70 的頻率為： 0.6 ，由于樣本中分?jǐn)?shù)不小于70 的男女生人數(shù)相等9 / 13 故分?jǐn)?shù)不小于70 的男生的頻率為： 0.3 ，由樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，故男生的頻率為： 0.6 ，即女生的頻率為：0.4 ，即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為：3：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，難度不大，屬于基礎(chǔ)題18如圖，在三棱錐p

12、中，2，d為線段的中點(diǎn)，e為線段上一點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐e的體積【分析】 （1）運(yùn)用線面垂直的判定定理可得平面，再由性質(zhì)定理即可得證；（2）要證平面平面，可證平面，由（1）運(yùn)用面面垂直的判定定理可得平面平面，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，即可得證；（3）由線面平行的性質(zhì)定理可得，運(yùn)用中位線定理，可得的長(zhǎng)，以及平面，求得三角形的面積，運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)10 / 13 算即可得到所求值【解答】解：（1）證明：由，? 平面， ? 平面，且，可得平面，由? 平面，可得；（2）證明：由， d為線段的中點(diǎn)，可得，由平面， ? 平面，可得平面

13、平面，又平面平面，? 平面，且，即有平面，? 平面，可得平面平面；（3）平面， ? 平面，且平面平面，可得，又 d為的中點(diǎn)，可得e為的中點(diǎn)，且1，由平面，可得平面，可得 s 22=1，則三棱錐 e的體積為?s11= 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間的線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，主要是平行和垂直的關(guān)系，注意運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理和性質(zhì)定11 / 13 理，同時(shí)考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題19已知橢圓c 的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為a（2，0） ，b（2，0） ，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為（）求橢圓c的方程；（）點(diǎn) d為 x 軸上

14、一點(diǎn)， 過(guò) d作 x 軸的垂線交橢圓c于不同的兩點(diǎn) m ，n，過(guò) d作的垂線交于點(diǎn)e求證：和的面積之比為4：5【分析】（）由題意設(shè)橢圓方程，由2，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得c，則 b22c2=1，即可求得橢圓的方程；（）由題意分別求得和的斜率及方程，聯(lián)立即可求得e點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的相似關(guān)系，即可求得= ，因此可得和的面積之比為 4：5【解答】解： （）由橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上，設(shè)橢圓方程：（ab0） ，則 2，則，b22c2=1，橢圓 c的方程；（）證明：設(shè)d（x0，0） ， （2x02） ，m （x0，y0） ，n（x0，y0） ，y00，由 m ，n在橢圓上，則，則 x02=44y02

15、，則直線的斜率，直線的斜率，12 / 13 直線的方程：（xx0） ，直線的斜率，直線的方程（x2） ，解得：，過(guò) e做x 軸，則丨丨 =，則= ，：和的面積之比為4：5【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率公式，相似三角形的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題20已知函數(shù) f （x）x（1）求曲線（ x）在點(diǎn)（ 0，f （0） ）處的切線方程；13 / 13 （2）求函數(shù) f （x）在區(qū)間 0 ， 上的最大值和最小值【分析】（1）求出f （x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求方程；（2）求出 f （x）的導(dǎo)數(shù)，再令g（x）（ x） ，求出 g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得 g（x）在區(qū)間 0 ， 的單調(diào)性，即可得到f （x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到f （x）的最值【解答】解：（1）函數(shù) f （x）x 的導(dǎo)數(shù)為 f （ x） （） 1，可得曲線 （x）在點(diǎn)（0，f（0） ）處的切線斜率為0（00）1=0，切點(diǎn)為（ 0，e000） ，即為（ 0，1） ，曲線（ x）在點(diǎn)（ 0，f （0） ）處的切線方