齒輪嚙合原理作業(yè)

1、碩士學(xué)位課程考試試卷考試科目： 齒輪嚙合原理 考生姓名： 考生學(xué)號(hào)： 學(xué) 院： 專 業(yè)： 機(jī)械設(shè)計(jì)及理論 考 生 成 績(jī)： 任課老師 (簽名) 考試日期：2013 年 6月 日 午 時(shí)至 時(shí)一、 基本概念（每題3分，共計(jì)24分）1 解釋齒輪的瞬心線？ 答：對(duì)于作平面運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)構(gòu)件1和2，瞬心線是瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心在坐標(biāo)系(i=1,2)中的軌跡。當(dāng)坐標(biāo)系繞轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心I就會(huì)描繪出瞬心線。當(dāng)齒輪傳動(dòng)比為常數(shù)時(shí)，瞬心I保持在上的位置，瞬心線是半徑分別為的兩圓。當(dāng)齒輪傳動(dòng)比不是常數(shù)時(shí)，瞬心在回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳遞過程中沿移動(dòng)，瞬心線是非圓形曲線，呈封閉的或者不封閉的。當(dāng)一個(gè)構(gòu)件回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)構(gòu)件直移運(yùn)動(dòng)時(shí)

2、，瞬心線是一個(gè)圓和與圓相切的直線。2 解釋平面曲線的曲率？答：如圖1所示，用s表示曲線的弧長(zhǎng)。考察曲線上分別與s和對(duì)應(yīng)的兩個(gè)相鄰的點(diǎn)M和N，如圖1(a)所示，點(diǎn)M和N之間的弧長(zhǎng)，而是點(diǎn)M和N處的兩條切線之間的夾角。當(dāng)點(diǎn)N趨近于點(diǎn)M時(shí)，比值的極限稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率（標(biāo)記為K）。將取倒數(shù)得稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑（標(biāo)記為）。這里的是極限（密切）圓的半徑，而極限圓是當(dāng)兩個(gè)相鄰點(diǎn)N和趨近于點(diǎn)M時(shí)通過點(diǎn)M和該兩個(gè)相鄰點(diǎn)畫出來的，如圖1(b)所示。我們把圓心C稱為曲率中心。圖1 平面曲線的曲率3 解釋齒廓漸屈線？答：齒廓漸屈線是給定齒廓曲線曲率中心的軌跡，同時(shí)也是給定齒廓曲線密切圓圓心的軌跡，如圖2

3、所示。從圖上可以看出，齒廓曲線上每一點(diǎn)的法線都是和其漸屈線相切的，換句話說，齒廓漸屈線是齒廓曲線法線的包絡(luò)。圖2 齒廓漸屈線4 解釋齒輪的瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸？ 答：如果回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在兩個(gè)相交軸之間傳遞，如圖3所示，兩齒輪朝相反的方向轉(zhuǎn)動(dòng)。其中，Oa與Ob分別表示回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)軸線，兩齒輪朝相反的方向轉(zhuǎn)動(dòng)。圖3 兩相交軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圖上、分別表示齒輪1和齒輪2的角速度。由于兩齒輪發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中可以形成瞬時(shí)接觸線OI。那么，我們就將齒輪1對(duì)齒輪2（或者齒輪2對(duì)齒輪1）相對(duì)運(yùn)動(dòng)中角速度的作用線OI叫做瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸。5 解釋齒輪的瞬軸面？ 答：對(duì)于回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在相交軸之間傳遞，如圖4所示，瞬軸面是瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸在與回

4、轉(zhuǎn)齒輪剛性固接的動(dòng)參考標(biāo)架（=1,2）中的軌跡。在兩相交軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行傳遞的情況下，瞬軸面是兩個(gè)頂角為和的圓錐，如圖4所示。這兩個(gè)圓錐叫做節(jié)錐，它們的切觸線是OI，并且其相對(duì)運(yùn)動(dòng)是純滾動(dòng)。圖4 相交軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)于回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在交錯(cuò)軸之間傳遞，如圖5所示，兩個(gè)構(gòu)件分別以角速度和繞兩個(gè)相錯(cuò)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸線構(gòu)成相錯(cuò)角，兩軸線之間的最短距離為E。當(dāng)構(gòu)件1和2轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺旋運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)軸線ss在參考標(biāo)架1和2中將形成兩個(gè)曲面回轉(zhuǎn)雙曲面。這樣的曲面是在兩相錯(cuò)軸之間傳遞回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)情況下的瞬軸面,此時(shí)的瞬軸面定義為螺旋運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)軸線在坐標(biāo)系（=1,2）中形成的軌跡。圖5 交錯(cuò)軸之間回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)6 解釋共軛齒形？

5、答：如圖6所示，、是兩齒輪的瞬心線，1、2是相應(yīng)的一對(duì)齒形。當(dāng)兩齒輪進(jìn)行傳動(dòng)的過程中，兩瞬心線作相對(duì)的純滾動(dòng)，而兩齒形則時(shí)時(shí)保持相切接觸（有相對(duì)滑動(dòng)）。我們把這樣的兩個(gè)齒形叫做互相共軛的齒形，也就是共軛齒形。圖6 共軛齒形7 解釋嚙合面？ 答：配對(duì)曲面和在每一個(gè)瞬時(shí)彼此沿著一條線相接觸，我們就把該線稱作瞬時(shí)接觸線或者特征線，如圖8所示。齒輪齒面上瞬時(shí)接觸線的位置決定于運(yùn)動(dòng)參數(shù)。那么，有了瞬時(shí)接觸線的定義，我們就可以得到嚙合面是表示在與機(jī)架剛性固定坐標(biāo)系fS中的瞬時(shí)接觸線族。圖8 齒面上的瞬時(shí)接觸線8 寫出Euler的方程式？ 答：Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之間的關(guān)系，并且表示為

6、式中q是由矢量和單位矢量構(gòu)成的夾角，如圖9所示。矢量表示在曲面的切面上選取的方向，而是曲面在這個(gè)方向上的法曲率。單位矢量和沿著兩個(gè)主方向，而和是主曲率。圖9 矢量和的分解圖二、 分析曲線和曲面（21分）要求：采用微分幾何理論及數(shù)學(xué)軟件的方法；1）舉實(shí)例對(duì)曲線進(jìn)行分析（建立坐標(biāo)系、詳細(xì)說明、作圖分析及列出程序）。問題：已知某物體在XOY平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)過程滿足微分方程，試運(yùn)用微分幾何理論及數(shù)學(xué)軟件求解該物體的軌跡曲線，并作圖。分析：由于該問題為常微分方程初值問題，對(duì)于該問題可以運(yùn)用多種數(shù)值方法求解。在這里，我運(yùn)用了數(shù)值分析中求解該問題常用的四階R-K方法編程求解。求解過程如下：編制求解該問題的

7、M文件并存入zuoye1.m，M文件編程如圖10所示。圖10 M文件程序運(yùn)行該M文件，得到該物體在平面XOY內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線如圖11所示。圖11 物體運(yùn)動(dòng)軌跡圖2）舉實(shí)例對(duì)曲面進(jìn)行分析（建立坐標(biāo)系、詳細(xì)說明、作圖分析及列出程序）。問題：已知某曲面在三維坐標(biāo)系OXYZ內(nèi)的方程為，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件建立坐標(biāo)系，生成該曲面的三維圖。分析：對(duì)于該問題，我運(yùn)用的是MATLAB軟件編程，再利用軟件中的繪圖命令生成三維圖，求解過程如下：編制生成曲面的M文件并存入作業(yè)2.m程序中，如圖12所示。圖12 生成曲面程序運(yùn)行該M文件，得到曲面圖如圖13所示。圖13 曲面生成圖三、 推導(dǎo)方程（1題8分，2題12分，共計(jì)20

8、分）1. 坐標(biāo)系S1(x1,y1,z1)和S2(x2,y2,z2) 剛性固接到齒輪1和齒輪2，兩齒輪傳遞平行軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（圖14）。齒輪的兩回轉(zhuǎn)角1和2 用方程:21=12 聯(lián)系著，式中1和2是兩瞬線的半徑。E是兩轉(zhuǎn)動(dòng)軸線之間的最短距離。固定坐標(biāo)系Sf 剛性固接到齒輪箱體上。Sp 是輔助坐標(biāo)系，它也剛性固接到齒輪箱體上。 圖14推導(dǎo)：1) 從S2到S1的坐標(biāo)變換方程。2) 從S1到S2的坐標(biāo)變換方程。解：1) 由于，轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，那么，我們可以從公式 （1）推導(dǎo)出矩陣的表達(dá)式，推導(dǎo)結(jié)果如下： （2）再利用（1）（2）式，可以得到從S2到S1的坐標(biāo)變換方程2) 由于，故對(duì)求其

9、逆矩陣得 而逆坐標(biāo)變換基于矩陣方程為 則推導(dǎo)出從S1到S2的坐標(biāo)變換方程為 2. 坐標(biāo)系 S1 , S2 和 Sf分別與齒條刀具、被加工的直齒外齒輪和機(jī)架剛性固接（圖15）。齒條刀具的齒形是直線，該直線用方程x1=usina y1=ucosa （ -u1<u<u2 ）表示在S1 中。這里，a 是齒形角（壓力角）；u 是變參數(shù)，該參數(shù)用來確定齒條刀具齒形上的流動(dòng)點(diǎn)位置（對(duì)于點(diǎn)M，u>0 ；對(duì)于點(diǎn)M'，u<0）。瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心為I 。齒輪的瞬心線是半徑為r的圓，而齒條刀具的瞬心線與x1 軸重合（圖15）。齒條刀具的位移s 和齒輪的轉(zhuǎn)角 有如下關(guān)系式s=r 圖15求：

10、1）推導(dǎo)嚙合方程。2）導(dǎo)出齒條刀具和被加工齒輪在嚙合中的嚙合線方程。3）導(dǎo)出被加工齒輪的齒形方程。4）確定齒條刀具的極限安裝位置，這種安裝位置將使齒輪的被加工齒形避免根切，并作圖說明。解：1) 由齒輪幾何學(xué)與應(yīng)用理論可得下面兩個(gè)表達(dá)式 ，其中，表示在中的I的坐標(biāo)。和是產(chǎn)生齒形的切線矢量和法線矢量，是軸的單位矢量。由上述方程可以推導(dǎo)出嚙合方程的表達(dá)式 2) 關(guān)于嚙合線，查齒輪幾何學(xué)與應(yīng)用理論得到下面的方程： 由這兩個(gè)方程可以得到 求解方程組得 嚙合線（圖16）是通過I的一條直線，并且與軸構(gòu)成夾角。線段上各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于；線段上的各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于。圖16 嚙合線 3) 從到的坐標(biāo)變換方程表示為 （3） 齒

11、輪嚙合方程表示為 （4） 變換矩陣為 （5） 由方程（1）（2）（3）方程可以推導(dǎo)出被加工齒輪齒形的表達(dá)式 （6）方程（6）用參數(shù)和以雙參數(shù)形式表示被加工齒形。從方程（6）中可以消去，故得到被加工齒形表達(dá)式 （7）方程（7）表示一條漸開線，它對(duì)應(yīng)半徑為的基圓。4) 齒條刀具齒形的界限點(diǎn)是這樣的點(diǎn)，它在齒輪的齒形上形成奇異點(diǎn)。齒條刀具的界限點(diǎn)可以用嚙合方程和根切方程確定，后一方程可以用下面的方程求出 由于 式中，由上面幾式可以推導(dǎo)出表達(dá)式 這樣，我們得到的界限值為，從而得到 考慮到嚙合方程，我們得到與由方程給出的相同的界限值。圖17說明了齒條刀具的極限安裝位置，此時(shí)點(diǎn)F形成齒輪齒形上的奇異點(diǎn)。點(diǎn)

12、F的參數(shù)是負(fù)的，并由方程確定。圖17 齒條刀具的極限安裝位置四、 綜述及分析？（20分）采用齒輪嚙合原理的基本理論和方法，結(jié)合工程實(shí)際或列舉實(shí)例，建立坐標(biāo)系、理論推導(dǎo)、綜合分析齒輪嚙合原理的應(yīng)用。（編程設(shè)計(jì)、實(shí)體建模、仿真分析、運(yùn)動(dòng)軌跡等）。答：本門課程講解了齒輪嚙合的基本原理，介紹了國(guó)內(nèi)外在齒輪研究領(lǐng)域的已有成果和最新研究。本課程的內(nèi)容十分豐富，主要內(nèi)容包括平面嚙合，空間嚙合的相對(duì)滑動(dòng)及誘導(dǎo)法曲率，齒輪傳動(dòng)的基本原理等重要內(nèi)容，敘述了各種形式齒輪的幾何學(xué)及嚙合原理，可以用計(jì)算機(jī)模擬和坐標(biāo)系變換來使輪齒產(chǎn)生的理論。齒輪傳動(dòng)在鐘表、儀表、汽車和直升機(jī)等上的應(yīng)用都十分廣泛。齒輪嚙合原理的基本理論和

13、方法可以應(yīng)用于各種形式的齒輪傳動(dòng)。因此，齒輪嚙合原理對(duì)齒輪傳動(dòng)和整個(gè)機(jī)械工業(yè)來說具有極其重要的作用。由于自己知識(shí)水平有限，沒有做一些十分具體的編程設(shè)計(jì)，實(shí)體建模，仿真分析等方面的研究。我針對(duì)該門課程第三章內(nèi)容做了一些探索思考。我們知道，兩個(gè)相交軸齒輪傳動(dòng)瞬軸面是圓錐，那么我們能不能讓其中一個(gè)錐面變成一個(gè)平面呢？我做了如下分析，簡(jiǎn)單證明了讓其中一個(gè)錐面變成平面的可能性。假定齒輪1（圖18 中上面一個(gè)齒輪）的節(jié)錐變成平面的情況下，兩相交軸之間進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的傳遞，齒輪的傳動(dòng)比為，并且兩齒輪朝相反方向進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，試證明這種情況存在的可能性。圖18 瞬軸面圖證明：由于齒輪1的節(jié)錐變成平面，那么一定有錐角為

14、直角，則代入公式（7），則解得因?yàn)?，故一定不存在，由公式?）可知解得進(jìn)一步求解得或者將解得的兩個(gè)的位置表示出來，如圖19所示。圖19 圓錐瞬軸面相對(duì)于平面的兩個(gè)位置綜上可得，讓一個(gè)節(jié)錐變成平面的情況是完全可能的。五、 學(xué)習(xí)心得體會(huì)？（15分）學(xué)習(xí)本門課程的具體詳細(xì)收獲及體會(huì)。答：本門課程我們采用的教材為李特文教授編寫的齒輪幾何學(xué)與應(yīng)用理論這部經(jīng)典的齒輪嚙合理論叢書。該書涵蓋了幾乎所有齒輪傳動(dòng)類型的幾何問題和設(shè)計(jì)問題。剛學(xué)習(xí)這門課程的時(shí)候自己就感覺這門課程很難，但是它對(duì)我接下來要做的研究生研究工作有重要作用。所以自己還是強(qiáng)迫自己花了很多時(shí)間來學(xué)習(xí)，查閱相關(guān)資料文獻(xiàn)。雖然這樣學(xué)著確實(shí)很累，但是自己的收獲還是很多。本門課程自己學(xué)習(xí)了坐標(biāo)變換，相對(duì)速度、齒輪的瞬心線、瞬軸面和工作節(jié)面，平面曲線，曲面的參數(shù)表示、坐標(biāo)、切面和曲面的法線，共軛曲面和共軛曲線，曲面和曲線的曲率，曲率關(guān)系式和接觸橢圓，嚙合和接觸的計(jì)算機(jī)模擬，漸開線直齒輪，非圓齒輪，擺線齒輪傳動(dòng)，平行軸漸開線螺旋齒齒輪，相錯(cuò)軸漸開線螺旋齒齒輪，雙圓弧螺旋齒齒輪，端面齒輪傳動(dòng)，圓柱蝸桿蝸輪傳