費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)講義

1、費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)【例題1】.（1）知識(shí)儲(chǔ)備 如圖1,已知點(diǎn)P為等邊MBC外接圓的EC上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=R1. 定義：在/ABC所在平而上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱 點(diǎn)P為MBC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB-PC的值為ZU5C的費(fèi)馬距離.（2）知識(shí)遷移 我們有如下探尋 J5C （其中厶L ZB, ZC均小于120° ）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的 方法：如圖2,在的外部以EC為邊長(zhǎng)作等邊及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易 知線段的長(zhǎng)度即為J5C的費(fèi)馬距離. 在圖3中，用不同于圖2的方法作出MBC的費(fèi)馬點(diǎn)P （要求尺規(guī)作圖）.（3）知識(shí)應(yīng)用 判斷題（正確的打丿，錯(cuò)

2、誤的打X）：i .任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè):ii.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一泄在三角形的內(nèi)部 已知正方形ABCD, P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PBPC的最小值為頁(yè)也，求正方 形ABCD的邊長(zhǎng).AD圖“【練習(xí)1】.（1）閱讀證明 如圖1,在2EC所在平而上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則 稱點(diǎn)P為N0C的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)R4+PB+PC的值為/XABC的費(fèi)馬距離. 如圖2,已知點(diǎn)P為等邊MBC外接圓的瓦上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=R4.（2）知識(shí)遷移根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋/IBC （Jt中Z，ZB, ZC均小于120。）的費(fèi)馬 點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖3,在/X

3、ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊BCD及苴外接圓；第二步：在衣上取一點(diǎn)P0,連接PZPoB,PoC,PqD.易知P+PoB+PqC=P+<PoB+PqC）=P（U+:第三步：根據(jù)（1） ®中泄義，在圖3中找出3C的費(fèi)馬點(diǎn)、P,線段的長(zhǎng)度即為/XABC的費(fèi)馬距離.（3）知識(shí)應(yīng)用已知三村莊B, C構(gòu)成了如圖4所示的&L3C （其中Z2, ZB, ZC均小于120° ）, 現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使水井P到三村莊B, C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小.求輸水 管總長(zhǎng)度的最小值.【練習(xí)2】.問題探究將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成対一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換 是幾

4、何變換的一種基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié) 論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間的關(guān)系淸楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.問題提出：如圖1, 3C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，P為N1BC內(nèi)部一點(diǎn)，連接21、 PB、PC,求E4+PB+PC的最小值.12團(tuán)3團(tuán)斗團(tuán)5方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩左點(diǎn)之間 的折線（化星為折），再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值（化折為直）.問題解決：如圖2,將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至連接PP A'C,記/C 與 交于點(diǎn) D,易知ZA'BC= ZA'BA+ZABC= 120

5、Q .由BP, ZP'BP=60° ,可知為正三角形，有PB=PP.故PA+PB+POP' A+P，P+PC>AZ CVS-因此，當(dāng)丄、P、P、C 共線時(shí)，El+PB+PC 有最小值是JI學(xué)以致用：（1）如圖 3,在ZU5C 中，ZBJC= 30° , .15=4, CA=3, P 為N4BC 內(nèi)部 一點(diǎn)，連接匕（、PB、PC,則的最小值是.（2）如圖 4,在/ABC 中，ZBIC=45° , 近，CA=3, p 為N1BC 內(nèi)部一點(diǎn)，連 接刊、PB、PC,求近PA+PB+PC的最小值.（3）如圖5, P是邊長(zhǎng)為2的正方形J5CD內(nèi)一點(diǎn)，0為

6、邊BC上一點(diǎn)，連接刃、PD、PO,求PA+PD+PO的最小值.【練習(xí)3】如圖，四邊形，購(gòu)CD是正方形，厶遊是等邊三角形，M為對(duì)角線加(不含B點(diǎn))上任總一點(diǎn)，將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EN,連接EA AM. CM.(1) 求證：MMBU/XENB；(2) 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，zL0CM的值最?。寒?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說明理由：(3) 當(dāng)?shù)淖钚≈禐檠?1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).【練習(xí)4】.在邊長(zhǎng)為2的正方形腫CD內(nèi)求一點(diǎn)P,使得PA+PB+PC之和為最小，并求這 個(gè)最小值及此時(shí)E、PB、PC的大小.【練習(xí)5】（1）閱讀材料：如圖（1）,四邊形拐CD是正方形，磁是等邊三角形，M 為對(duì)角線B

7、D （不含E點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BV繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到B¥,連接EN、CM. 求證：'AMB竺4ENB； 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，2昭CM的值最?。划?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，.MB冊(cè)CM的值最小， 并說明理由；（2）根據(jù)閱讀材料所提供的數(shù)學(xué)思想和方法，完成下而的題目：如圖（2）, A. B、C、 D四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)，使每?jī)蓚€(gè)城市之間都【練習(xí)6】如圖，41BC中，ZBAC=3QQ且.4B=AC. P是底邊上的髙.0上一點(diǎn).若AP+BP+CP的最小值為2亦則BC=5 H C【練習(xí)8】綜合與實(shí)踐：發(fā)現(xiàn)問題：如圖，已知：0-1S中，0B=3,將AO

8、腫繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得Of B,連接則血=.問題探究：如圖，已知N4BC是邊長(zhǎng)為4血的等邊三角形，以PC為邊向外作等邊BCD, P為 J5C內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° , P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為0.(1) 求證：/XDCOABCP(2) 求R1+PB+PC的最小值.實(shí)際應(yīng)用：如圖，某貨運(yùn)場(chǎng)為一個(gè)矩形場(chǎng)地-13CD,其中 腫=500米，-10=800米，頂點(diǎn)2、D 為兩個(gè)出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)貨物堆放平臺(tái)P，在BC邊上(含E、C兩點(diǎn)) 開一個(gè)貨物入口 并修建三條專用車道EL PD、PM.若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)M. P建在何處時(shí),修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為