2022年函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、零點(diǎn)(心血之作)

1、精品資料歡迎下載函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、反函數(shù)、伸縮平移變換、零點(diǎn)問題學(xué)問點(diǎn)大全一、函數(shù)的定義域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1） 分式的分母不為零；（2） 偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；（3） 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必需大于零；（4） 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必需大于零且不等于1；例.（ 05 江蘇卷）函數(shù) ylog4 x23x的定義域?yàn)?0.52、求函數(shù)定義域的兩個難點(diǎn)問題（1） 知道 fx 的定義域（ a， b），求 fgx 的定義域：轉(zhuǎn)化為解不等式a<gx<b ；（2） 知道 fgx ）的定義域 a， b，求 fx 的定義域：轉(zhuǎn)化為求gx 的值

2、域；例 3：（ 1）已知f x的定義域是 -2,5,求f2x+3的定義域；（ 2）已知 f2 x1的定義域是 -1,3,求fx 的定義域 ；例 4：設(shè)f xlg 2 2x ，就xxf 22f 的定義域?yàn)閤變式練習(xí)：f 2x4x 2 ，求f x 的定義域；二、函數(shù)的值域1 求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x 的范疇動身，推出y=fx 的取值范疇，適合于簡潔的復(fù)合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y 的取值范疇；適合分母為二次且xr 的分式；分別常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x 有范疇限制時要畫圖） ；單調(diào)性法

3、：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域；利用對號函數(shù)幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域；主要是含確定值函數(shù)例：1（直接法） y1x22x32 2 f x2242 xx23（換元法） yx2 x14 4. （ 法） y3 xx 245. yx 21x 216. 6. 分別常數(shù)法 xy y3 x1 2x4x12 x137. 單調(diào)性 yx x1,32 x8. y1x1， yx1x1x1結(jié)合分子 /分母有理化的數(shù)學(xué)方法9圖象法 y32 xx2 1x210對號函數(shù) y82 xx4 x11. 幾何意義 yx2x1三、函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性： （同增異減）設(shè) yf g x是定

4、義在 m 上的函數(shù)，如 fx 與 gx 的單調(diào)性相反，就yf g x在 m 上是減函數(shù)；如fx 與 gx 的單調(diào)性相同，就yf g x在 m 上是增函數(shù)；兩個函數(shù) fx 、gx之間的基本性質(zhì)：增+增=增增減 =減減+減+減減增 =減例：1 判定函數(shù)f xx3 xr 的單調(diào)性；2 函數(shù)f x對任意的m, nr ，都有f mnf mf n1 ，并且當(dāng) x0 時，f x1 ，（ 1）求證：f x 在 r 上是增函數(shù)；如f 34 ，解不等式f a 2a523 函數(shù) ylog 0.1 6x 2 x2 的單調(diào)增區(qū)間是 4. 高考真題 已知f x3a1x4a, x1 是 , 上的減函數(shù)， 那么 a 的取值范

5、疇是 （）（a ） 0,1（b ）1log ax, x11110,3（c） ,73（d ） ,17四、 函數(shù)的奇偶性常用性質(zhì)：1. f x0 是既奇又偶函數(shù)；2. 2奇函數(shù)如在x0 處有定義，就必有f 00 ；3. 偶函數(shù)滿意f xf xf x ；4. 奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y 軸對稱；5. f x0 除外的全部函數(shù)奇偶性滿意：奇函數(shù)±奇函數(shù) =奇函數(shù)奇函數(shù)×奇函數(shù) =偶函數(shù)奇函數(shù)±偶函數(shù)=非奇非偶奇函數(shù)×偶函數(shù) =奇函數(shù)偶函數(shù)±偶函數(shù) =偶函數(shù)偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)6奇偶性的判定看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；看fx 與

6、f-x 的關(guān)系例：1 已知函數(shù) f x 是定義在 , 上的偶函數(shù) . 當(dāng) x x 0, 時， f x., 0 時， f xxx 4 ，就當(dāng)2 xb2 已知定義域?yàn)?r 的函數(shù)f x2x 1是奇函數(shù)；a（）求a, b 的值；（）如對任意的tr ，不等式f t 22t f 2t 2k0 恒成立，求 k 的取值范疇；3 已知f x 在（ 1， 1）上有定義，且滿意x, y1,1 有f xf yf x1y , xy證明：f x 在（ 1， 1）上為奇函數(shù)；4 如奇函數(shù)f x xr 滿意f 21 ， f x2f xf 2 ，就f 5五、函數(shù)的周期性1（定義）如f xt f xt0f x是周期函數(shù)， t

7、是它的一個周期；說明： nt 也是f x 的周期；（推廣）如f xaf xb ，就f x是周期函數(shù)， ba是它的一個周期對比記憶：f xaf xa說明： fx 的周期為 2a;f axf ax說明： fx 關(guān)于直線 x=a 對稱；2如f xaf x ；f xa1；f xf xa1；就f xf x 周期是 2 a例：1 已知定義在 r 上的奇函數(shù) fx 滿意 fx+2= fx, 就,f6 的值為（）a 1b 0c1d22 定義在 r 上的偶函數(shù)f x ，滿意f 2xf 2x ，在區(qū)間 -2,0上單調(diào)遞減，設(shè)af 1.5, bf 2, cf 5，就 a,b,c的大小次序?yàn)?3 已知 f x 是定義

8、在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f x21f x1f x, 如f123 , f2005= .4 已知f x是-，上的奇函數(shù)，f 2xf x，當(dāng) 0x1 時， fx=x ，就f7.5= 5 設(shè) f x 是定義在 r 上的奇函數(shù)， 且對任意實(shí)數(shù) x 恒滿意f 2xf x ，當(dāng) x0,2時 f x2xx2 求 證 ：f x是 周 期 函 數(shù) ； 當(dāng) x 2,4時 ， 求f x的 解 析 式 ； 計(jì) 算 ：六、函數(shù)的對稱性我們知道：偶函數(shù)關(guān)于y（即 x=0）軸對稱，偶函數(shù)有關(guān)系式f xf x奇函數(shù)關(guān)于（ 0， 0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式展？答案是確定的f xf x0 上述關(guān)系式是否可以進(jìn)行拓探討：（ 1） 函數(shù) y

9、f x 關(guān)于 xa 對稱f axf axf axf ax 也可以寫成f xf 2ax 或f xf 2ax簡 證 ： 設(shè) 點(diǎn) x1 , y1 在 yf x上 ， 通 過f xf 2 ax可 知 ，y1f x1 f 2ax1 ， 即 點(diǎn)2ax1, y1也在yf x上 ， 而 點(diǎn)x1, y1 與 點(diǎn) 2ax1, y1 關(guān)于 x=a 對稱；得證；如寫成：對稱f axf bx ，函數(shù) yf x 關(guān)于直線 xaxbxab22（ 2）函數(shù) yf x 關(guān)于點(diǎn) a,b 對稱f axf ax2b上述關(guān)系也可以寫成f 2axf x2b 或f 2axf x2b簡證： 設(shè)點(diǎn) x1 , y1 在 yf x 上，即 y1f

10、 x1 ，通過f 2axf x2b 可知，f 2 ax1 f x1 2b， 所 以f 2ax12bf x12by1，所 以 點(diǎn) 2a證；x1 ,2by1 也在 yf x 上，而點(diǎn) 2ax1 ,2by1 與 x1, y1 關(guān)于a, b 對稱；得如寫成：f axf bxc ， 函數(shù) yf x 關(guān)于點(diǎn) ab , c 對稱22（ 3）函數(shù) yf x 關(guān)于點(diǎn) yb 對稱 : 假設(shè)函數(shù)關(guān)于 yb 對稱，即關(guān)于任一個x 值，都有兩個 y 值與其對應(yīng)，明顯這不符合函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不行能關(guān)于y b 對稱；但在曲線 cx,y=0，就有可能會顯現(xiàn)關(guān)于y關(guān)于 y=0 對稱；兩個函數(shù)的圖象對稱性b 對稱，比如圓c

11、 x, yx 2y 240 它會1、 yf x 與 yf x 關(guān)于 x 軸對稱；換種說法： yf x 與 yg x如滿意f xgx ，即它們關(guān)于 y0 對稱；2、 yf x 與 yf x 關(guān)于 y 軸對稱；換種說法： yf x 與 yg x如滿意f xgx，即它們關(guān)于x0對稱；3、 yf x 與 yf 2ax 關(guān)于直線 xa 對稱；換種說法： y稱；f x 與 ygx 如滿意f xg 2ax ，即它們關(guān)于 xa 對4、 yf x 與 y2af x 關(guān)于直線 ya 對稱；換種說法： y稱；f x 與 yg x如滿意f xgx2a ，即它們關(guān)于ya 對5、 yf x與y2bf 2ax 關(guān)于點(diǎn) a,

12、b對稱；換種說法：ya,b對稱；f x 與 yg x如滿意f xg2ax2b ，即它們關(guān)于點(diǎn)6、 yf ax 與 y xb 關(guān)于直線 xab對稱；2七、反函數(shù)1.只有單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2、求反函數(shù)的步驟（ 1）解 2 換 3 寫定義域；3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)（1） y=fx 和 y=f-1x 的圖象關(guān)于直線y=x 對稱；（2） y=fx 和 y=f-1x 具有相同的單調(diào)性；（3） 已知 y=fx ，求 f-1a ，可利用 fx=a ，從中求出 x，即是 f-1a ；（4） f-1fx=x;（5） 如點(diǎn)a,b在 y=fx 的圖象上，就b,a在 y

13、=f-1x 的圖象上；（6） y=fx 的圖象與其反函數(shù)y=f-1x 的圖象的交點(diǎn)肯定在直線y=x 上;例：設(shè)函數(shù)yf x的反函數(shù)為yf1 x ，且yf 2 x1的圖像過點(diǎn)1，就,12yf 1 x 的圖像必過（a ）1,121（ b） 1,2（ c） 1,0（ d） 0,1八、函數(shù)的平移伸縮變換1、平移變換：（左 +右- ，上 + 下- ）即yf x yf x h0 , 右移; h k0 , 下移; k0 , 左移0 , 上移yf xh yf x k對稱變換：（對稱誰，誰不變，對稱原點(diǎn)都要變）yf x yf x yf x yf x x 軸yyyyy 軸原點(diǎn) yxf x f x f x 1f x

14、 yf x y 軸右邊不變，左邊為右邊部分的對稱圖yf x yf x 保留x 軸上方圖，將x 軸下方圖上翻yf x 例：1 fx 的圖象過點(diǎn) 0,1，就 f4-x 的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)（） a.3,0b.0,3c.4,1d.1,4 2作出以下函數(shù)的簡圖：2（1） y=|log x |；（ 2）y=|2x-1| ；（ 3） y=2|x| ；九、函數(shù)的零點(diǎn)問題1. 函數(shù)零點(diǎn)概念對函數(shù) yfx ，把使 fx0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) yfx的零點(diǎn)2. 零點(diǎn)存在性定理： 假如函數(shù) yfx 在區(qū)間 a,b上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有fafb0 ，那么，函數(shù) yfx 在區(qū)間 a,b內(nèi)有零點(diǎn) .即存在 c

15、a,b，使得 fc0 ，這個 c 也就是方程fx0 的根.fx1f210,f2102, 2問題 1: 函數(shù)x , 有22, 那么在上函數(shù)fx1x 有零點(diǎn)嗎 .問題 2:函數(shù)f x x 26 x8 在區(qū)間 1,3,0,1,1,5有零點(diǎn)嗎 .引例除了用零點(diǎn)基本定理,仍有其他方法可以確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間嗎.解法二 :幾何解法fx1.exx2xe可化為x2 畫出函數(shù)yex 和 yx2 的圖象，可觀看得出c 正確 .y43y = ex21y =x + 22024x1函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系牢記函數(shù) yfxfxg x 有零點(diǎn)方程fxfxg x0 有實(shí)數(shù)根函數(shù) y1f x , y2g x圖像有交

16、點(diǎn) .三、才能提升1. 利用函數(shù)圖像求函數(shù)零點(diǎn)問題例 1：（ 1）函數(shù) fxlg xcosx 的零點(diǎn)有（）a 4 個b 3 個c 2 個d 1 個4y2y=lgxy=cosxo51015x202524變式 1：如函數(shù)為 fxlg xcosx ，就有個零點(diǎn) .變式 2：如函數(shù)為 fxlg xcosx ，就有個零點(diǎn) .解:由 fxlg xcosx0 ,可化為 lg xcos x ,畫出 ylg x 和 ycosx 的圖像 ,可得出fxb 正確 .lg xcosx 有 4 個零點(diǎn) ,fxlg xcosx 有 6 個零點(diǎn) .2 函數(shù)y1x1 與 y2sinx 的圖像在2,4 有個交點(diǎn) ,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

17、和為x3y2y =1x11y = sin 2.x2o24x 68101解: 函數(shù)y1x1 與 y2sin2x3的圖像在2,4 有 8 個交點(diǎn) ,由于圖像都關(guān)于1,0點(diǎn)對稱 ,故交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.42（3） :如關(guān)于 x 的方程 axxaa0 有兩個不同的實(shí)數(shù)根 ,求 a 的取值范疇 .解 1: 設(shè)ya2x , yxa, 分 別 畫 兩 函數(shù) 的 圖 像 , 兩 圖 像 有 兩 個不 同 的 交 點(diǎn) 即 方 程2axxa 有兩個不同的實(shí)數(shù)根.ya 2 xy與xa 的圖像，當(dāng) a1 時，在第一象限平行，其次象限有一個交點(diǎn)，當(dāng) a1時只有一個交點(diǎn)在其次象限，當(dāng) a1 時有兩個交點(diǎn)，故 a1 .5

18、yy44332211422468ox2241ox122x2yx , y11解 2: 設(shè)aa , 分別畫兩函數(shù)的圖像, 兩圖像有兩個不同的交點(diǎn)即方程a2 xxay有兩個不同的實(shí)數(shù)根.只有當(dāng)1 x1a 2a的斜率小于1 時有兩個交點(diǎn)，即121a， a1 .2. 利用零點(diǎn)性質(zhì)求參數(shù)的取值范疇探究：f xx36 x29 xa 在 xr上有三個零點(diǎn)，求a 的取值范疇 .解：由f x3x212x93 x24 x33 x3 x1 得令 f x0 ，得 x 1x33 或 x1， fx0 ,得3 y2.52f x 在 ,1 ， 3, 上單調(diào)遞增，在1.511,3 上單調(diào)遞減0.5o210.512345 x67f x=f 14a01極大值，a41.522.5f x 微小值4=f 3a0a0 .3變式 1：方程 x6 x29 xa0 在 2,4 上有實(shí)數(shù)4.5解，求 a 的取值范疇 .4y3.53解：由方程x6 x29 xa0 在 2,4上有實(shí)數(shù)32.523解，即 x6 x29 xa1.510.5a1123456780.5ox1fxx3由6x29x 的