異面直線所成角的求法探討

1、異面直線所成角的求法探討浙江省諸暨市牌頭中學(xué)樓海文異面直線所成角的大小， 是由空間一點分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來定義的。因此，通常我們要求異面直線所成的角會要求學(xué)生通過平移直線，形成角，然后 在某個三角形中求出角的方法來得到異面直線所成角的大小。在這一方法中，平移直線是求異面直線所成角的關(guān)鍵，而如何平移直線要求學(xué)生有良好的空間觀和作圖能力。新教材對立體幾何的處理有了一些新的變化，淡化了對學(xué)生作圖能力的要求，更多地進(jìn)行一些多種方法的介紹。 特別是引進(jìn)了空間向量的方法（實際上是把空間問題代數(shù)化），避開了一些繁雜的作圖，其中在求異面直線所成的角中運用空間向量的方法有很大的優(yōu) 點。另外，

2、對異面直線所成的角的求法我們還可以借用一些固定的模型，引用一些已知的公式來求出角的大小。本文就幾個實例來對這兩種方法作一些探討。一、向量法求異面直線所成的角例1 :如圖，在正方體ABCD-A iBiCiDi中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面 BCCiBi及CDDQi 的中心。求 AiE和BiF所成的角的大小。1SP解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線 到某個點上。作法：連結(jié)BiE，取BiE中點G及AiBi中點H , 連結(jié)GH，有GH/A iE。過F作CD的平行線RS, 分另U交CCi、DDi于點R、S,連結(jié)SH，連結(jié)GS。 由 BiH/CiDi/FS, BiH=F

3、S，可得 BiF/SH。在厶GHS中，設(shè)正方體邊長為 a。； 6GH= a （作直線 GQ/BC交BBi于點Q,4連QH，可知 GQH為直角三角形），HS=§a （連AiS，可知 HAiS為直角三角形）2GS= a （作直線 GP交BC于點P,連PD,4iCos/ GHS=。6i所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為 一。6解法二：（向量法）分析：因為給出的立體圖形是一個正方體，所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用點的坐標(biāo)表示出空間中每一個向量，從而可以用向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BBi為z軸，設(shè)BC長度為2。 則點Ai的坐標(biāo)為

4、（0, 2，2），點E的坐標(biāo)為（1，0，1）， 點Bi的坐標(biāo)為（0，0，2），點F的坐標(biāo)為（2，1，1）；所以向量EA1的坐標(biāo)為（-1， 2， 1），向量B1F的坐標(biāo)為（2， 1， -1），所以這兩個向量的夾角 0滿足EA1 B1Fcos 0 =IEA1 | | B1F |(_1)漢 2 +2 疋1 +1 疋(_1)_ 1(-1)2(2)2(1)2 . (2)2 (1)2 (-1)2 61所以直線A1E與直線B1F所成的角的余弦值為 一6小結(jié)：上述解法中，解法一要求有良好的作圖能力，且能夠在作圖完畢后能夠看清楚圖形中的各個三角形，然后在所需要的三角形中計算出各條線段的長度，從而完成解三角形得到

5、角的大小。而解法二不需要學(xué)生作圖， 只需建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點的坐標(biāo)，從而得到所需向量的坐標(biāo)，求出兩個向量的夾角，即所求的兩條直線所成的角。當(dāng) 然,如果題中給出的是一可以建立坐標(biāo)系的空間圖形，比如剛才的正方體， 或者說是長方體，或者說空間圖形中擁有三條直線兩兩垂直的性質(zhì)，我們就可以建立空間直角坐標(biāo)系， 從而利用向量的坐標(biāo)表示來求兩個向量的夾角。如果沒有這樣的性質(zhì)， 我們也可以利用空間向量基本定理，尋找空間的一組基底 （即三個不共面的向量，且這三個向量兩兩之間的夾角是已知的），空間中任何一個向量都可以用這三個向量的線性組合表示出來，因而也 可以運用向量的數(shù)乘來求出空間中任意二個向量間的

6、夾角。例2 :已知空間四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M、N分別為BC和 AD的中點，設(shè) AM和CN所成的角為a，求COS a的值。.A解：由已知得，空間向量 AB，AC，AD不共面，且兩兩之間的夾角均為 60°。由向量的加法可以得到AM = （ AB +AC ），NC = AD + AC2 2的補角）所以向量 AM與向量NC的夾角0 （即角a或者aAM NC滿足cos 0 =，其中|AM | | NC| 一 1 一 一 1 一 一AM NC = ( AB+ AC ) ( AD + AC )2 2AC +AC AC )111 -=( AB AD + AB

7、 AC + ( AD ) 22212/11 1 1 2=a (+1) = a ;242422 11|AM |2=( AB+AC ) 221 - 一AD +AC ) (22|NC|=(1(AB+ AC ) =(1+1+1)41 一 1AD +AC ) = +124a2=342 3 a =42=| cos 0 |= °3例3 :已知空間四邊形 ABCD所以COS a中，AB=CD=3 , E、F 分別是 BC、AD且 BE: EC=AF : FD=1 :2, EF= .7，求AB和CD所成的角的大小。使 AG : GC=1 : 2。連結(jié) EG、 3EG=2AB , 3FG=CD 

8、6;"- 2 - 1 -由向量的知識可知 EF = EG+GF =-BA+ CD ,33解：取AC上點G,可知 EG/AB , FG/CD ,設(shè)向量BA和CD的夾角為0 。.2 1 -2 1 -則由 | EF |2= ( BA+ CD ) ( BA+ CD ) =4+1+4cos 0 =7,33331 得COS0 =，所以AB和CD所成的角為60 ° °2二、利用模型求異面直線所成的角引理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為0 1,平面a上的點,FG,GCDE斜線a所成的角為0，與它的射影a'所成的角為0 2°求證：cos0 = cos0證

9、明：設(shè)PA是a的斜線，0A是PA在a上的射影，OB/b，如圖所示。則/ PAO= 0 1,/ PAB= 0，/ OAB=內(nèi)作OB丄AB，垂足為B,連結(jié)PB°過點可知所以所以O(shè)在平面aPB 丄 AB °A OA A AB A AB COS0 1=, COS0 =, cos 0 2=PAPAOACOS0 = COS 0 1 COS0 2°2°PAoO01叫做內(nèi)的一條直線1 COS0這一問題中，直線 a和b可以是相交直線，也可以是異面直線。我們不妨把 線面角，0叫做線線角，0 2叫做線影角。很明顯，線線角是這三個角中最大的一個角。 我們可以利用這個模型來求兩條

10、異面直線a和b所成的角，即引理中的角0 °從引理中可以看出，我們需要過 a的一個平面a，以及該平面的一條斜線例4:如圖，MA丄平面ABCD，四邊形 ABCD是正方形， 直線MB與AC所成的角。解：由圖可知，直線 MB在平面ABCD內(nèi)的射影為直線MB與平面ABCD所成的角為45 °,b以及b在a內(nèi)的射影。且 MA=AB=a，試求異面直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45 所以直線AC與直MB所成的角為0，滿足1cos 0 =cos45 cos45 =,2所以直線AC與MB所成的角為60 °。例5:如圖，在立體圖形 P-ABCD中，底面ABCD是一個直角梯形，/

11、BAD=90AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且 PA丄底面 ABCD , PD 與底面成 30° 角，AE 丄 PD 于 D。求異面直線AE與CD所成的角的大小。解：過E作的平行線EF交AD于F,由PA丄底面 ABCD可知，直線 AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AD ,直線AE與平面ABCD所成的角為/ DAE，其大小為60°,射影AD與直線CD所成的角為/ CDA，其大小為45 °, 所以直線與直線所成的角0滿足_ ,2cos 0 =cos60° cos45° := ，4所以其大小為 arccos 4由上兩例可知，求異面直線間的夾角， 若存在一個平面的垂線， 則可以