微積分學(xué)基本定理

1、§ 5微積分學(xué)基本定理定積分的計算(續(xù))教學(xué)目的：掌握微積分學(xué)基本定理.教學(xué)內(nèi)容：變上限的定積分；變下限的定積分；微積分學(xué)基本定理；積分第二中值定理，換元 積分法；分部積分法；泰勒公式的積分型余項(xiàng).(1) 基本要求：掌握變限的定積分的概念；掌握微積分學(xué)基本定理和換元積分法及分部積分 法.(2) 較高要求：掌握積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項(xiàng). 教學(xué)建議：(1) 微積分學(xué)基本定理是本節(jié)的重點(diǎn)，要求學(xué)生必須掌握微積分學(xué)基本定理完整的條件與結(jié) 論.(2) 積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項(xiàng)是本節(jié)的難點(diǎn).對較好學(xué)生要求他們了解這 些內(nèi)容.教學(xué)程序：一變限積分與原函數(shù)的存在性設(shè)f(x

2、)在a,b上可積，則對-xa,b , f(x)在a,x上也可積，于是，由x事(x) f(t)dt， x a,ba定義了一個以積分上限x為自變量的函數(shù)，稱為 變上限的定積分類似地，可定義 變下限的定 積分：b弓(x)= x f (t)dt，X a,b沖(x)和T r(x)統(tǒng)稱為變限積分.bx說明：由于 .X f (t)dt二-.b f(t)dt，因此，只要討論變上限積分即可.x定理9-9若f (x)在a,b上可積，貝(x)二f (t)dt在a,b上連續(xù).a證明：利用連續(xù)函數(shù)的定義及定積分的性質(zhì)即可證得x 定理9-10 (原函數(shù)存在定理)若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，貝:"X)二.f(t

3、)dt在a,bad x上處處可導(dǎo)，且門(x)二一 f(t)dt 二 f(x)， x a,b.dx a證明：利用導(dǎo)數(shù)的定義及定積分的性質(zhì)即可得.說明：此定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系；同時也證明了連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)這一結(jié)論，并以積分的形式給出了 f(x)的一個原函數(shù).因此，該定理也稱之為微積分學(xué)基本定理.且得用它可以給出牛頓-萊布尼茨公式的另一證明.積分第二中值定理pAbel 變換 ： , .，1 門 Em，令 Bp =':i，ph,2, ,m，B。= 0，im貝U- Bp，它實(shí)際上是分部積分公式給定分割厶：令u(xi)i， : i = v( xi !) - v( x,)， Bi =

4、v(x,)之后的一種離散化形式.定理9.11 (積分第二中值定理) 設(shè)g(x)Ca,b.(1) f (x)在a,b單調(diào)下降，f(x)O，aWxb，貝T 百a,b，使得bia f (x)g(x)dx = f(a) a g(x)dx. f (x)在a,b單調(diào)上升，f (x) 一0，a 乞 x 乞 b，貝Ua,b，使得bb(x)g(x)dx=f(b) .g(x)dxa2f (x)在a,b單調(diào)，則-1 5 a,b，使得bFb f (x)g(x)dx= f (a) J g(x)dx + f (b) J g(x)dxa a-jxg(x)二 ag(t)dr C1a,b，記 m 二mxnbG(x)，M 二 m

5、axG(x)，給a, b 一個分割: a = x0 c % 丈c xn =b，記 mk =乂哎承 f (x)，a b單調(diào)下降，所以可積，因而當(dāng)，0時(2)(3)(1)令a：x bMksup f(x)， f (x)在xkmkbmf(a)乞 I f (x)g(x)dx 乞 Mf (a) f (a) =0，則f (x)三0，'可取任意值.1 b若 f (a) a 0， m 蘭f (x) g(x)dx 蘭 M ， G(x)乏 Ca,b， 3= a bf(a) ab b 1ja f (x)g(x)dx，即 Ja f (x)g(x)dx= f (a) Ja g(x)dx.，使得m1G( i)=f(

6、a)(2) 類似可證.(3) 不妨設(shè)f(x)單調(diào)上升，令F(x) = f (x) - f (a)，單調(diào)上升，F(xiàn)(x)_O，由(2) - - a, b，使得bbbF (x) g(x)dx = F (b) g(x)dx = f (b) - f (a)命g(x)dx 巴b=f(a) g(x)dx + f (b)g(x)dx.例1 f (x)在-兀,兀單調(diào)下降，求證1廠b2n = 一 . f (x) sin2nxdx _ 0，JI 一兀 ''1 nb2n 1f (x)si n(2n 1)xdx_0.jt '一江證定積分的換元積分法和分部積分法 定理9-12 （定積分的換元積分法

7、）若函數(shù) f （x）在a b上連續(xù)，申（x）在a P 上連續(xù)可微，且滿足（）二 a，（：）二 b，a 乞（t）空 b，t ：,訂，則有疋積分的換兀積分公式：bpPa f(x)dxf(t)(t)dt；fC(t)d(t)【證】 由假設(shè)f x C la,bl， f x必有原函數(shù)，不妨設(shè)F x是f（x）的一個原函數(shù)，即F x = f xa,b 1.根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有另一方面，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，有由以上兩式知注意：在應(yīng)用中要注意定積分的換元公式與不定積分的換元公式的異同之處 例2計算【1*.【解題要領(lǐng)】令 x = si nt 或 x = cost 即可例3計算衛(wèi)o2s in t

8、 cos2tdt【解題要領(lǐng)】令x=cost，逆向應(yīng)用換元積分公式即可例4計算 1 in(i - x)J廠dx0 1 x2【解題要領(lǐng)】先令X = tant，再令二 即可.u = 一t若u(x)、v(x)為a,b上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分4的分部積分公式：bbbu(x)v(x)dx 二 u(x)v(x) - u (x)v(x)dx，aaa或bbbu(x)dv(x)二 u(x)v(x) - v(x)du(x).aa'a定理9-13 (定積分的分部積分法)【證】由于|u x v xx v x u x V x及牛頓-萊布尼茲公式，有從而，根據(jù)定積分的線性性質(zhì)，有例 5 I01x2 d/dxJI

9、2 -：1 sin 4t、(x )84從這個例子，我們可以看出定積分和不定積分換元有0 16兩點(diǎn)區(qū)別:1)不定積分換元是作為整體的變量替換，定積分是作為一個特定區(qū)間上的變量替換，有 時前者行不通而后者卻可以進(jìn)行；2 )不定積分換元后必須換回去，而定積分換元不必，只要把定積分值算出來就行了例61.f (xp C -a, a偶函數(shù)，則a=2 f (x)dx.02.f(x) C-a,a，奇函數(shù)，貝U a f(x)dx=O-a二 xsi nx ,2 dx 1 cos2 xInxsi nx ,1=22 dxL。1 + cos2 X_ n si nt ,2 dx1 cos t7廣*，'1 +u21

10、= 2:.=兀 arctg uTE2 sinn xdx =0JI2 n J-2 sin xd cosx» 呷 dx，0 1 cos21u 二 cost.22cosn xdx031= (n-1) 2sinn_2xdx-(n-1) 2sinnxdx，0 0-，I1.1 2k所以2 其中Rn(x)即為f(x)的泰勒公式的n階余項(xiàng).由此可得Rn(x)二 n! &即為泰勒公式的積分型余項(xiàng)由于f"n1)(t)連續(xù)，(x-t)n在Xo,x(或x,x。)上保持同號，故若應(yīng)用推廣的第一積分中值定理于積分型余項(xiàng)，可知，=Xo，(x -Xo)，1，使得 (2k -1)!二，(2k)!2例

11、 9 ( J.Wallis 公式)0 . x < 時，有 si1 2n i： 1 2n.2n卅sin x2n2n _1:sin x : sin x 采用例4中的記號我們可得(2n -1)!二(2n 川 2、 所以lim < I-Y牡(2n _ 1)! 一(2 n)!(2n1)!(2n - 2)!<,(2n -1)!(2n)!5(2n 2n +1尸一卜峑泰勒公式的積分型余項(xiàng)(2n)!21.二,(2n)!2 丄(2n -1)! 2n 12(2n -1)! 2n- (2n)! I21F(2n_ 1)!_ (2n)(2n+1)(n)(n °(t)(x-t)ndt，xRn(X

12、)Ff(n1)()少"1)!n!1(n 1)n 1f ( )(X-X。)設(shè)函數(shù)f (X)在點(diǎn)X0的某鄰域U(X。)內(nèi)有n 1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，令X U(X。)，則f (Xo)(xx)n =n!Rn(x). n!即為拉格朗日型余項(xiàng)若直接應(yīng)用積分第一中值定理于積分型余項(xiàng)，可得()(x -)n(x -Xo)，其中二 Xo ： F(x - x0) , 0 _ 二 _ 1.而(X -)n(x Xo) =x - Xo - J(x Xo)n(x - Xo) = (1 - r)n(x - x)n 1，故r 1“'n!稱為泰勒公式的柯西型余項(xiàng).Rn(x)f(n1)(X。d(XXo)(1Rn(XXo)

13、n1，0 豈二叮，特別地，當(dāng)Xo =0時，柯西型余項(xiàng)變?yōu)?1r-v /、1'n!積分余項(xiàng)的Taylor公式 引理Rn(x)二丄 f(n 1)(：x)(Ti)nxn 1，0 1.g(x)二 CXo,b，-x:xo :： x 乞 b，有1Xo能隅產(chǎn)嚴(yán)"齊仙恥7嚴(yán)弛，代z +g(tjdt1 (x_t)mdt定理X.J (x t)m g(t)dt. m 1 Xo設(shè) f(x) Cn lx。- h,Xoh)，則nf (X)八k =0f(k)(Xo)(X-Xo)kRn(X)，其中Rn(x)證n!刈 n =1 時，(n1) (t)(x-t)ndt，設(shè)n = m時成立，即m! Xo=1(m 1

14、)! %x -xoh -X11 f "(t1 )dt1 d(xt) = I f "(t)(x t)dt.X0 1 XoXo(m 1)(t)(t)mdt.(m 2)(t)(xt)m1dt.推論： Lagrange余項(xiàng) r(X)=(n +1)!作業(yè):P229 1-7xo(n 1) tf ()(Xo-X)n1，介于 Xo，X1 之間.(2)定積分的計算利用牛頓-萊布尼茲計算定積分的關(guān)鍵是求被積函數(shù)的不定積分，而換元積分法和分部積分分法是求不定積分的基本方法，下面我們把這兩種方法進(jìn)一步推廣到定積分上去.定積分的換元積分法.在不定應(yīng)用換元積分法計算定積分時，變換過程和求不定積分的換元

15、積分法是一樣的積分時，積分后要換回原來的積分變量.但在定積分利用換兀積分法時，相應(yīng)的改變積分的 上、下限.不必再換回到原來的積分變量，可以簡化定積分的計算.【解】 作變量代換-、x=u,即u2，這時dx = 2udu .當(dāng)x從4連續(xù)增加到9， u從2連續(xù)增加 到3，即當(dāng)x=4時，u=2當(dāng)乂=9時山=3.因此2)2ln 1-t2.3-7-2ln2般定積分的換元積分法敘述如下:【定理5.1】設(shè)函數(shù)f X C a,b，若函數(shù)t在區(qū)間1連續(xù)可微，且當(dāng)-t -:時，a - t _b, - a, - - b,則b-f x dx 二 f F ' tt dt(a:-【證】 由假設(shè)f x Cla,bl，

16、f x必有原函數(shù)，不妨設(shè)F x是f(x)的一個原函數(shù)，即 F ' x =f x ,x，a,b.根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有bf(x)dx 二 F b -F a(a另一方面，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，有F&t 1 二 汀廠b -F a由式(ln 2【例. ex -1dx0【解令 x = ln (1 +udu 二-tanuT ),且x =0,u =0和x =1 n 2,u =1,dx = ydu于是1 + u 'In2exii2u-idx 二 u 2 du = 201+u1 u2 -10 1 u2du = 2 J duJ1兀= 2(u arctanu、 =2一J 0

17、202?！窘狻苛頧 =secu，且U = 3時,3x2,J4時,- 2， dx = secu tan udu.x2 -1 -、sec u -1=Jtan2 u = tan u_2兀 3兀二-tanu,u ，才，于疋dxx2匚1334 secu tanu ,37：T-secudu =27：y初學(xué)者可能把.x2 -1二-tant 11- ,3 的右端誤寫為tant ,這樣算出的結(jié)果是-IL 3 4Tn I尸0.其實(shí)只須認(rèn)真觀察就可以避免這個錯誤，因?yàn)楸环e函數(shù)在-2,-75 I上變化是正的，所以積分值不可能小于零.a【例a2 -x2dx0【解】 令x=asi nu,當(dāng)u =0時，x = 0 ；當(dāng)u=

18、時，x = a.ndx =acosudu,u 0, 3，于是有時不定積分計算很復(fù)雜，甚至“積不出來”（即不定積分不是初等函數(shù)），但用換元積 分法可以把其定積分求出，請看下例.【例從而(2)【例(1)cosx,dx0 sinx cosx(2)ln (1 ta nx)dx0【解】兀=u4o xf sin x dx-u,貝y x =0,ujrn；x ,u222 cos x sincosx sinJT=0,u;x4o f sin x dx=O.dx 二-du,于是2dx =02兀2, c oxs , 兀 dx = 0 s i xtx o sJI-,u =0.于是44 n ln(1 tan x)dx 二

19、？ In 2xsi nx ,并計算0dx1 cosx【證】令_u，有o xf sinx dx =3 o f sinx dx由公式（5.4 ），得【例 證明：若函數(shù) f xR-a,al，則(1)a若 f X f x，貝Uf X dx = 0 ；-a(2)aa若 f (x)=f(x )，貝 yf (x)dx = 2 f (x)dx.【證】由9.3節(jié)性質(zhì)3,知(5.6 )a0aX dx= af X dx 0 f X dx(1)若 f x=fx,令 X = -u,積分從而根據(jù)式(，有(2)若 f -x=f x，令 x = -u，積分再根據(jù)式(，有【例計算下列積分(1)aindx 0：1 j 1 -x7

20、 dx -41 sin x1 +x1+(-x)1 - x1 + x【解】(1 )記f x =ln ，則f-x =lnInInf x，故函數(shù)1 -x1 一( X)1 +x1 -xf X上奇函數(shù)，而積分區(qū)間是以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間，故由例 ，得1(2)設(shè)f x，由于定義在與原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的函數(shù)總可以表示為一個偶函數(shù)與一1 +sin x個奇函數(shù)之和，即1 _ 1 _這里f1X =- f X f-X為偶函數(shù)，f2X =- f x - f-x為奇函數(shù)，由例，f2X在n n n4：上的積分為零而1sin x丄2-HI-匚土為偶函數(shù)'由例，得【例 證明 若函數(shù)f X是以T 0為周期的可積函數(shù)，貝U

21、a TTf (x )dx = ( f (x)dx(【證】由于 對上式的最后一個積分作換元T，有Tf x dxa -T0T0于是 a f x dXa f x dX £ f X dX-f x dx-。f x 在 10,:nTnT 亠ynnTnT y1T 2T)f udu=nim： o t 川周期函數(shù)的這個積分性質(zhì)的幾何意義是明顯的，如圖5.1所式，在la,a -T 1與 I0,T 1 上的兩塊f u du 二1 xlim f u du 二 limx 廠：x 0“x_5【例9.5. 11】設(shè)函數(shù)f x連續(xù)，且2已知 f 1 “，求.1 f xdx【解】令t =2x -u，則xx2x2x0u

22、f 2x-udu2x 2x-t f t -dt =2xx f tdt- x tf tdt2x2x12于是 2x f t dt - tf t dt = arctan xbx2對上式兩端關(guān)于X求導(dǎo)，得2x1 2x2x f udu 2x 2f 2x - f x -2.2xf 2x xf x =?門2xx即2 x f u d uxf xx1 +x21 _ 113令 ，得1 f X dx? -1 一4定積分的分部積分法【定理 u X ,v X ,u X ,v X C la,b ,bLu（xv（x）dx = u（x）v（x）；_ iu（xv（x）dx【證】由于|u X vX v X u x v X及牛頓-萊布尼茲公式,從而，根據(jù)定積分的線性性質(zhì)，有【例9.5. 12】計算下列定積分解1-021 . xarcsinx ,dx = -.1 -X21jarcsinxd J -x2 二一、1 -Xarcsinx2.041 cos2xdX= 04