導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)小節(jié)

1、2021-11-23第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)小結(jié)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)小結(jié)2021-11-23本章知識(shí)結(jié)構(gòu)本章知識(shí)結(jié)構(gòu) 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 函數(shù)的瞬時(shí)變化率函數(shù)的瞬時(shí)變化率 運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 曲線的切線斜率曲線的切線斜率 基本初等函數(shù)求導(dǎo)基本初等函數(shù)求導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)單調(diào)性研究 函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值 曲線的切線曲線的切線 變速運(yùn)動(dòng)的速度變速運(yùn)動(dòng)的速度 最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題2021-11-23曲線的切線曲線的切線 以曲線的切線為例，在一條曲線以曲線的切線為

2、例，在一條曲線c：y=f(x)上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)p(x0，y0)，點(diǎn)，點(diǎn)q(x0+x，y0+y)是曲線是曲線c上與點(diǎn)上與點(diǎn)p臨近的一點(diǎn)，做割線臨近的一點(diǎn)，做割線pq，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)q沿曲線沿曲線c無限地趨近點(diǎn)無限地趨近點(diǎn)p時(shí)，割線時(shí)，割線pq便無限地趨近于某一極限位置便無限地趨近于某一極限位置pt，我們就，我們就把直線把直線pt叫做曲線叫做曲線c的在點(diǎn)的在點(diǎn)p處的切線。處的切線。一知識(shí)串講一知識(shí)串講2021-11-23 此時(shí)割線此時(shí)割線pt斜率的極限就是曲線斜率的極限就是曲線c在點(diǎn)在點(diǎn)p處的切線的斜率，處的切線的斜率，用極限運(yùn)算的表達(dá)式來寫出，即用極限運(yùn)算的表達(dá)式來寫出，即 k=tan= 000()(

3、)limxf xxf xx 2021-11-23（一）導(dǎo)數(shù)的概念：（一）導(dǎo)數(shù)的概念： 1導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù)對函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)，在點(diǎn)x=x0處給自變量處給自變量x以增量以增量x，函數(shù)，函數(shù)y相應(yīng)有增量相應(yīng)有增量y=f(x0+ x)f(x0)，若極限若極限 存在，則此極限稱為存在，則此極限稱為f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為處的導(dǎo)數(shù)，記為f (x0)，或，或y| ；0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 x x2021-11-23 2導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說就說y=f(x)在區(qū)間在

4、區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)即對于開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)即對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一個(gè)內(nèi)每一個(gè)確定的確定的x0值，都相對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，都相對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f (x0)，這樣在開區(qū)，這樣在開區(qū)間間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f(x)在在(a，b)內(nèi)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)記作的導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)記作f (x)或或y.即即f (x)=y=0()( )limxfxxfxx 2021-11-23 3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線義，就是曲線y=f(x)在在p(x0，f(x0)處的切線的斜率，

5、即曲線處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)p(x0，f(x0)處的切線斜率為處的切線斜率為kf (x0)所以曲線所以曲線 yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn) p(x0，f(x0)處的切線方程為處的切線方程為 y y0=f (x0)(xx0) 4導(dǎo)數(shù)的物理意義導(dǎo)數(shù)的物理意義：物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程：物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程s關(guān)于時(shí)間關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為：的函數(shù)為：s=s(t)，那么瞬時(shí)速度，那么瞬時(shí)速度 v 就是路程就是路程 s 對于時(shí)間對于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，即即v(t)=s(t). 2021-11-23基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nra nn-1n

6、n-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，則f(x)=若f(

7、x)=lnx，則f(x)=x x返回返回2021-11-23導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則: :法則法則1:1:兩個(gè)函數(shù)的和兩個(gè)函數(shù)的和( (差差) )的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和和( (差差),),即即: :( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù), ,等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)函數(shù), ,加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , ,即即: :( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法則法則3:3:兩個(gè)

8、函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù), ,等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)函數(shù), ,減去第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)減去第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , ,再除以第二個(gè)函再除以第二個(gè)函數(shù)的平方數(shù)的平方. .即即: :2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回2021-11-23 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)q q沿著曲線無限接近點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)p p即即x x0 0時(shí)時(shí), ,割線割線pqpq如果有一如果有一個(gè)極限位置個(gè)極限位置pt.pt.則我們把直線則我們把直線ptpt稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p p處的處的切線

9、切線. . 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為, ,那那么當(dāng)么當(dāng)x0 x0時(shí)時(shí), ,割線割線pqpq的的斜率斜率, ,稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p p處的處的切線的斜率切線的斜率. .即即: :00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線pqoxyy=f(x)割割線線切切線線t返回返回2021-11-231) 1) 如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在這個(gè)區(qū)間（在這個(gè)區(qū)間（a,ba,b) )內(nèi)單調(diào)遞增；內(nèi)單調(diào)遞增；2) 2) 如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0f (x)0如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則

10、 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf返回返回2021-11-232)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一個(gè)根，并且在的一個(gè)根，并且在a a 的左側(cè)附近的左側(cè)附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(af(a) )函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值. . 函數(shù)的極值函數(shù)的極值1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一個(gè)根，并且在的一個(gè)根，并且在b b左側(cè)附近左側(cè)附近f(x)0f(x)0，在在b b右側(cè)附近右側(cè)附近f(x)0f(x)0，那么，那么f(bf(b) )是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的一個(gè)極大的一個(gè)極大值值注：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)

11、注：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)2)2)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b 上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象是一條的圖象是一條連續(xù)不斷連續(xù)不斷的曲的曲線線, ,則它則它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a) )f(xf(x3 3) )f(bf(b) )f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg返回返回2021-11-232021-11-232021-11-232021-11-232021-11-23（五）函數(shù)的最大值與最小值：（五）函數(shù)

12、的最大值與最小值： 1定義：定義：最值是一個(gè)整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)最值是一個(gè)整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間間(或定義域或定義域)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值，最大數(shù)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值，最大數(shù)值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為m，最小，最小值記為值記為m.2021-11-23 2存在性：在閉區(qū)間存在性：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)函數(shù)f(x)在在a，b上必上必有最大值與最小值有最大值與最小值 3求最大（?。┲档姆椒ǎ汉瘮?shù)求最大（小）值的方法：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a，b上最上最值求法：值求法： 求出求出f(x)

13、在在(a，b)內(nèi)的極值；內(nèi)的極值； 將函數(shù)將函數(shù)f(x)的極值與的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個(gè)是比較，其中較大的一個(gè)是最大值，較小的一個(gè)是最小值最大值，較小的一個(gè)是最小值.2021-11-232021-11-232021-11-232021-11-23例已經(jīng)曲線例已經(jīng)曲線c：y=x3-x+2和點(diǎn)和點(diǎn)a(1,2)。求在點(diǎn)求在點(diǎn)a處的切線方程？處的切線方程？解：解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切線方程為：所求的切線方程為： y2=2(x1), 即即 y=2x2021-11-23變式1：求過點(diǎn)求過點(diǎn)a的切線方程？的切線方程？例已經(jīng)曲線例已經(jīng)曲線c：y=x3-x

14、+2和點(diǎn)和點(diǎn)a(1,2)求在點(diǎn)求在點(diǎn)a處的處的切線方程？切線方程？解：變解：變1：設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為p（x0，x03x0+2），）， 切線方程為切線方程為y y ( x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0)21又又切線過點(diǎn)切線過點(diǎn)a(1,2) 2 2( x03x0+2)=( 3 x02 21 1)(1x0)化簡得化簡得(x0 01)1)2 2(2(2 x0+1)=0，2114當(dāng)當(dāng)x0=1時(shí)，所求的切線方程為：時(shí)，所求的切線方程為：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0=k= f/(x0)= 3 x021，當(dāng)當(dāng)x0= 時(shí)，所求的切線方程為：時(shí)，所求的切線方程為： y2= (x1),即即x+4y9=02021-11-23（1）正確理解導(dǎo)數(shù)的概念和意義，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)函數(shù)的改變量）正確理解導(dǎo)數(shù)的概念和意義，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數(shù)的變化率，與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數(shù)的變化率，即函數(shù)值在即函數(shù)值在x=x0點(diǎn)附近的變化快慢；所以只有與變化率有關(guān)點(diǎn)附近的變化快慢；所以只有與變化率有關(guān)的問題都可以用導(dǎo)數(shù)來