5.3-留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用推薦課件

1、2021/8/221 15.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用2021/8/222 20. 一般性陳述一般性陳述在高等數(shù)學(xué)以及實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算一些定積分或廣在高等數(shù)學(xué)以及實(shí)際問(wèn)題中，常常需要計(jì)算一些定積分或廣義積分，而這些積分中被積函數(shù)的原函數(shù)，往往不能用初等義積分，而這些積分中被積函數(shù)的原函數(shù)，往往不能用初等函數(shù)表示出來(lái)；有的即使可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往比函數(shù)表示出來(lái)；有的即使可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往比較復(fù)雜。較復(fù)雜。利用留數(shù)定理，要計(jì)算某些類型的定積分或廣義積分，只須利用留數(shù)定理，要計(jì)算某些類型的定積分或廣義積分，只須計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算某

2、些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)?。?） 被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián)被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián),（2） 積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分。積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分。關(guān)鍵：關(guān)鍵：如何把如何把計(jì)算積分的問(wèn)題計(jì)算積分的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)化成計(jì)算留數(shù)的問(wèn)題。計(jì)算留數(shù)的問(wèn)題。2021/8/223 3利用留數(shù)定理計(jì)算定積分或廣義積分沒(méi)有普遍適用的方法，利用留數(shù)定理計(jì)算定積分或廣義積分沒(méi)有普遍適用的方法，我們只考慮我們只考慮幾種特殊類型的積分幾種特殊類型的積分：)( )0( )( )3()( )( )2()( )sin,(cos ) 1 (20的積分有理函數(shù)乘以三角函數(shù)的積分形如有理函數(shù)積分的積分形如三角有

3、理函數(shù)積分的積分形如adxexRdxxRdRiax1. 幾種特殊類型的積分幾種特殊類型的積分2021/8/224 4)( )sin,(cos ) 1 (20三角有理函數(shù)積分的積分形如dR（1） 被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián)被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián).（2） 積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分.21)(21cos,21)(21sin1,20 ,22zzeezizeeidzizddiedzeziiiiii則令.1|20:正向繞行一周恰好沿時(shí)，當(dāng)zznkkzzzfsidzizzizzzRdR11|2220),(Re2 121,21)sin,(cos于是，有要求：要求：

4、1. 圓周無(wú)奇點(diǎn)圓周無(wú)奇點(diǎn).2. 圓內(nèi)只有有限個(gè)圓內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn).2021/8/225 5例例1的值計(jì)算202) 10( cos212cospdpp解：解：).(21)(212cos ),(21)(21cos1,20 , 22221zzeezzeedzizddiedzeziiiiii則令dzzfdzpzpzizzdzizpzzpzzIzzz1|1|241|2122)()(1(21 1)(21211)(21因此而為一級(jí)極點(diǎn)為二級(jí)極點(diǎn)其中內(nèi)在且只有被積函數(shù)有三個(gè)奇點(diǎn).,0,1|, 0,/1 , 0pzzzpzppz2021/8/226 6.21)(1(21lim0),(Re22242

5、0ipppzpzizzzdzdzfsz.)1 (21)(1 (21)(lim),(Re224240pipppzpzizzpzpzfsz)1(2121222422pippippiI于是2021/8/227 7)( )( )2(有理函數(shù)積分的積分形如dxxR（1） 被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián)被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián).（2） 積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分.)( . 2 ,)()(1111在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)且設(shè)替換用zRnmbzbzazazzRxRmmmnnnxz(1)(2)R-RRC1 z2 zKz .)(,內(nèi)都含于上半平面內(nèi)所有的奇點(diǎn)在使得閉路成了一個(gè)取積分

6、路線如圖，則構(gòu)CzRRRCCR要求！要求！2021/8/228 8KkkCRRzzfsidzzRdxxRR1),(Re2)()(于是，有總可使充分大時(shí)注意：當(dāng)因?yàn)?|. 2 ,|1|1|1|)(|1111znmzbzbzazazzRmmnnnm.10/1| |,|1111mmnnzbzbzaza有充分大時(shí)故當(dāng),| z.|210/1110/11| 1 . 2 ,|1|1| 1|)(|21111zznmzbzbzazazzRnmmmnnnm02021/8/229 9.022|2|)(|)(|,0 22RRRdszdszRdzzRRRRRCCC有時(shí)當(dāng)因此，KkkCRRRzzfsidzzRdxxRdx

7、xRR1),(Re2)()(lim)(于是，有R-RRC1 z2 zKz 2021/8/221010例例2的值計(jì)算)0, 0( )(22222badxbxaxx解：解：.,)()(22222函數(shù)滿足上述條件易見(jiàn)令bzazzzR于是且都為一級(jí)極點(diǎn)點(diǎn)為在上半平面內(nèi)的所有奇函數(shù).,)(biaizzR)(2)()()(lim),(Re222222baaiabzaizaizzaizaizRsaiz.)(2)()()(lim),(Re22222abibbizbizazzbizbizRsaiz21),(Re2)(kkzzfsidxxR于是，有2021/8/221111)( )0( )( )3(的積分有理函數(shù)

8、乘以指數(shù)函數(shù)的積分形如adxexRiax（1） 被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián)被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián).)( . 1 ,)()(1111在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)且設(shè)替換用zRnmbzbzazazzRxRmmmnnnxz（2） 積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分.R-RRC1 z2 zKz .)(,內(nèi)點(diǎn)都含于在上半平面內(nèi)所有的奇使得閉路成了一個(gè)取積分路線如圖，則構(gòu)CezRRRCCiazR(2)(1)2021/8/221212KkkiazCiazRRiaxzezRsidzezRdxexRR1,)(Re2)()(故，我們得到0Jordan引理引理3.1見(jiàn)下頁(yè)見(jiàn)下頁(yè)Kkkiaz

9、CiazRRiaxzezRsidzezRdxexRR1,)(Re2)()(于是，有RRRRaxdxxRaxdxxRsin)( cos)(,，式的積分：本方法可以計(jì)算下列形從上面可以看出2021/8/221313Jordan引理引理3.1有在閉區(qū)域內(nèi)時(shí)如果當(dāng)：且圓弧上連續(xù)區(qū)域）在閉區(qū)域（類似于扇形設(shè)函數(shù),).( |,)0 ,(0 |,arg:)(0210021zRRzCRzRzzgR, 0)(lim0Imzgzz. 0)(lim , 0RCiazRdzezga有則對(duì)任何RRCzRRCz2021/8/221414sincsinc函數(shù)介紹函數(shù)介紹則函數(shù)在整個(gè)實(shí)軸連續(xù)用不嚴(yán)格的形式就寫(xiě)作所以定義但是因

10、為處是無(wú)定義的嚴(yán)格講函數(shù)在, 10sin, 1)0sinc(1sinlim,00 xxxxxxx函數(shù)定義為sincxxxsin)sinc(2021/8/221515sinc(x)x2021/8/221616Jordan引理引理3.1的證明：的證明：于是有時(shí)當(dāng)使得存在對(duì)任給的 .| )(| , 0, 00)(lim110ImzgRRRzgzz21Re)(Re)(dRieegdzezgiiaiCiaziR2121sin)sin(cos|)(Re|deRdegRaRiiaRi0sindeRaR2sin20sindeRdeRaRaR20sin2deRaRdd,令2021/8/22171720sin2d

11、eRaR2022deRaR注意注意:.2sin,22sinsin1sin,sin0即且是單調(diào)遞減1 aRea.a. 0)(lim RCiazRdzezg從而有Jordan不等式不等式時(shí)當(dāng)202021/8/221818例例3的值計(jì)算022)0( sinadxaxxx解：解：.,)(22函數(shù)滿足上述條件易見(jiàn)令azzzR于是且都為一級(jí)極點(diǎn)點(diǎn)為在上半平面內(nèi)的所有奇函數(shù).,)(aizzR2)()(lim,)(ReaizaizizeaizaizzeaizaiezRs.,)(Re2)(aiezRsidxexRizix于是，有. )()(22izizeazzezRzf其中2021/8/2219192. 綜合舉

12、例綜合舉例例例4的值計(jì)算0 sindxxx解：解：:,1)(分則我們考慮如下積復(fù)積令zzR于是點(diǎn)在實(shí)軸上有一個(gè)孤立奇函數(shù)注意, 0)(:zzRdxxxdxxxxxsin21sin,sin0是偶函數(shù)，所以因?yàn)椋?） 被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián)被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián).dzezRiz)(（2） 積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分.R-RRCrC-rr挖洞挖洞!有積分定理由,Cauchy0dzzedxxedzzedxxeRrCizixrRCizixRr變換變換xx:令2021/8/2220200dzzedxxedzzedxxeRrCizixRrCizixRr0dz

13、zedzzedxxeeRrCizRrCizixix所以0sin2dzzedzzedxxxiRrCizRrCiz記為記為I1記為記為I2有內(nèi)另一方面，在引理知由,|0. 0limJordanzdzzeRCizRR-RRCrC-rr!)(! 2)(112nizizizzzeniz)(1! 211zznzizizzenniz.)0(,0z(z) ,i且解析在其中2021/8/222121rrrCCCizdzzdzzdzze)(1,有對(duì)上式兩邊積分.11 )1 (0 idrieredzziirezCir令022| )(|)(|, )2(0rCCCrdsdszdzzrrr有對(duì)上式兩邊積分0 0sin2i

14、dzzedzzedxxxiRrCizRrCiz于是2sin0dxxxR-RRCrC-rr0r當(dāng)R當(dāng)2021/8/222222例例5. 221cos sin0022的值計(jì)算dxxdxx解：解：. 202dxex已知（1） 被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián)被積函數(shù)與某一個(gè)解析函數(shù)相關(guān)聯(lián).).sincos( 222zizeiz我們考慮解析函數(shù)RRCOBAD（2） 積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分積分線可化成沿著某個(gè)閉路的積分.BOCOACR成了一個(gè)閉路取積分路線如圖，則構(gòu)積分定理有由Cauchy002222BOizCizOAixCizdzedzedxedzeR有令40 ,irez004400422222

15、RieirieiRRixdreedRieedxeii4:irezBOiRzCRe:2021/8/22232304400422222RieirieiRRixdreedRieedxeiiRriieiRdreedRieei04402220 22dxex已知40)2sin2(cos40222deeRidRieeiiiRieiRi402sin2cos22deeRiiRiR40402sin2sin2cos402sin2cos22222deRdeRdeeRiRRiRiRiR,2sinJordan不等式：. , 0)1 (422404ReRdeRRR當(dāng)2)2222(,04022idreedxeriix于是.s

16、incos222xixeix注意：2, 0 2021/8/222424例例5的值計(jì)算0 sindxxx解：解：積分定理有由成了一個(gè)閉路取積分路線如圖，則構(gòu)Cauchy.,321CCCRrCrRR00321CizCizCizRrizCizrRizizdzzedzzedzzedzzedzzedzzedzzer).sincos( zizeiz考慮解析函數(shù)00)()(0)(idyiyRedxixeidyiyRedxxedzzedxxeiyRiRRixiiyRiRrixCizrRixr或者1C2C3CRRrrrC課后習(xí)題課后習(xí)題5.10，見(jiàn)，見(jiàn)P94i2021/8/2225250 0)()(0)(idyiyRedxixeidyiyRedxxedzzedxxeiyRiRRixiiyRiRrixCizRrixr0 00dyiyReiedxixeedyiyReiedzzedxxeeyiRRRixyiRCizRrixixr0 sin200idyiyReedxixeeidyiyReedzzedxxxiyiRRRixyiRCizRrr2021/8/222626.lim4 . 30idzzerCizr，得，由例題. 0002200220RdsRedsyReidyiyReeyyiR. 002200RdsyReidyiyReeyiRRRRRixdxxixxixedxixee22)(sin