2022年初中數(shù)學(xué)《平面與圓錐面的截線》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、平面與圓錐面的截線一、教學(xué)目標(biāo)：1. 知識(shí)與內(nèi)容：（1）通過觀察平面截圓錐面的情境，體會(huì)定理2 （2）利用 dandelin 雙球證明定理 2 中情況（ 1）（3）通過探究，得出橢圓的準(zhǔn)線和離心率，加深對(duì)橢圓結(jié)構(gòu)的理解2. 過程與方法：利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)dandelin 兩球的方法，幫助學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行思維， 培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力， 重視直覺的培養(yǎng)和訓(xùn)練， 直覺用于發(fā)現(xiàn)，邏輯用于證明。3. 情感態(tài)度價(jià)值觀：通過親歷發(fā)現(xiàn)的過程， 提高對(duì)圖形認(rèn)識(shí)能力， 重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)，讓學(xué)生辯證地觀察、分析問題。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)： （1）定理 2 的證明（2）橢圓準(zhǔn)

2、線和離心率的探究難點(diǎn)：橢圓準(zhǔn)線和離心率的探究三、教學(xué)過程橢圓是生活中常見的圖形，是圓錐曲線中重要的一種。生成橢圓的方法有許多，例如：（1）圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1；（2）橢圓的定義（3）平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之比等于常數(shù)(0e1) 的點(diǎn)的軌跡（4）一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)生成軌跡是橢圓；（5）圓柱形物體的斜截口是橢圓，如圖2 x y p do 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -圖 1 如果用一平面去截一個(gè)正圓錐，所得截口曲線是橢圓嗎？還有其他

3、情況嗎？讓我們共同來探究平面與圓錐面的截線。39 1 ,.,(0).:?21;2;3adabcbadladpadlababaclablbaac如圖是等腰三角形底邊上的高直線 與相交于點(diǎn)且與的夾角為試探究當(dāng)與滿足什么關(guān)系與或的延長線、都相交與不相交與的延長線、思考：都相交.利用幾何畫板實(shí)驗(yàn)探索39 1圖39 2 ,:如圖可以有如下結(jié)論1,(),.,;,().lababaclababeacfaeplababac當(dāng) 與或的延長線、都相交時(shí)設(shè) 與或的延長線交于與交于因?yàn)槭堑耐饨撬员厝挥蟹粗?當(dāng)時(shí)與或的延長線、都相交2,/ /,;, / /,.lablablablab當(dāng) 與不相交時(shí) 則這時(shí)有反之 當(dāng)時(shí)

4、那么 與不相交3,lbaaclbag當(dāng) 與的延長線、都相交時(shí) 設(shè) 與的延長線交于,;,apglbaac因?yàn)槭堑耐饨?所以如果那么 與的延長線、都相交思考：39,3 10.將圖中的等腰三角形拓廣為圓錐直線拓廣為平面則得到圖如果用一平面去截一個(gè)正圓錐，而且這個(gè)平面不通過圓錐的頂點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)哪些情況呢？abcpdllcdbapefg3 9 2精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -(39 2),;如果平面與一條母線平行相當(dāng)于圖中的那么（1）平面就只與正圓錐的一半相交這時(shí)的交線是一條拋物線,:如果平

5、面不與母線平行那么會(huì)出現(xiàn)兩種情形,;（2）平面只與圓錐的一半相交這時(shí)的交線為橢圓,.（3）平面與圓錐的兩部分都相交這時(shí)的交線叫做雙曲線歸納提升：定理在空間中，取直線l為軸，直線l與l相交于 o 點(diǎn)，其夾角為 ，l圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以 o 為頂點(diǎn)，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l交角為 （與l平行，記住0） ，則：（1） ，平面 與圓錐的交線為橢圓；（2） ，平面 與圓錐的交線為拋物線；（3） ，平面 與圓錐的交線為雙曲線。2?:11你能仿照定理的證明方法證明定理的結(jié)論思嗎考問題： 利用 dandelin 雙球（這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面 及圓錐

6、均相切）證明： ，平面 與圓錐的交線為橢圓 . 討論： 點(diǎn) a 到點(diǎn) f 的距離與點(diǎn) a 到直線 m 的距離比小于 1）. 證明 1：利用橢圓第一定義，證明fa+ae=ba+ac= 定值，詳見課本 . 證明 2： 上面一個(gè) dandelin 球與圓錐面的交線為一個(gè)圓， 并與圓錐的底面平行，記這個(gè)圓所在平面為/；如果平面 與平面 /的交線為 m， 在圖中橢圓上任取一點(diǎn)a， 該 dandelin球與平面 的切點(diǎn)為 f，則點(diǎn) a 到點(diǎn) f 的距離與點(diǎn) a 到直線 m 的距離精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 7 頁 - - - -

7、- - - - -比是（小于 1）.（稱點(diǎn) f 為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m 為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)為離心率 e.）點(diǎn)評(píng)：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心率的范圍為準(zhǔn). 13:12 ,1;2.pfm如圖找出橢圓的準(zhǔn)線探討到焦點(diǎn)的距離與到兩平面交線探的距離之比究13 12,.,.,.,.dandelinssmppfpmapbababpa如圖上面一個(gè)球與圓錐的交線為圓記圓 ，所在的平面為設(shè)與的交線為在橢圓上任取一點(diǎn)連接在 中過作 的垂線 垂足為過 作的垂線 垂足為連接則是在平面上的射影,.mab容易證明故.pab是平面與平面交成的二面角的平面角,cos.1rt abpapbpbpa在中所以1

8、111,cos.2psqrt pq bq pbpbpq設(shè)過 的母線與圓交于點(diǎn)則在中所以1cos12.cospfpa由得因?yàn)?cos0,coscos,1.2cospfpa故則,coscos,coscos.me由上所述可知橢圓的準(zhǔn)線為橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)因此橢圓的離心率為即橢圓的離心率等于截面和圓錐的軸的交角的余弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比,.我們延用討論橢圓結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的思路討論一下雙曲線的結(jié)討：構(gòu)特點(diǎn)論p1fab1qsm3 12圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 7 頁 - - - - - -

9、- - -12123 13,.,.dandelinffss如圖當(dāng)時(shí) 平面 與圓錐的兩部分相交在圓錐的兩部分分別嵌入球與平面的兩個(gè)切點(diǎn)分別是、與圓錐兩部分截得的圓分別為、1212,.,ppfpfpoqq在截口上任取一點(diǎn)連接、過 和圓錐的頂點(diǎn)作母線 分別與兩個(gè)球切于、則1122121212,.| |.pfpq pfpqpfpfpqpqqq所以121212,.qqssqq由于為兩圓、所在平行平面之間的母線段長因此的長為定值,:.由上所述可知雙曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是雙曲上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)即雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)拓展： 1. 請(qǐng)證明定理 2 中的結(jié)論（ 2）2. 探究雙曲線的準(zhǔn)線和離心率3

10、. 探索定理中（ 3）的證明，體會(huì)當(dāng) 無限接近 時(shí)平面 的極限結(jié)果四、自我檢測練習(xí)1.平面截球面和圓柱面所產(chǎn)生的截線形狀是. 分析：聯(lián)想立體幾何及上節(jié)所學(xué)， 可得結(jié)論， 要注意平面截圓柱面所得的截線的不同情況 . 3 13圖1f2fp2q1qo1s2s精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓或橢圓；2.判斷橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離之比與1 的關(guān)系？分析：首先通過畫圖尋找規(guī)律，然后加以證明. 答案：略. 五、課

11、外研究材料材料 1. 閱讀，和你的同學(xué)一起探討文后的問題：運(yùn)動(dòng)的天體受向心力和離心力的作用，天體運(yùn)行的速度不同，它所獲得的合力也不同，這樣就導(dǎo)致形成不同的運(yùn)行軌道，如人造衛(wèi)星發(fā)射的速度等于或大于7.9km/s（第一宇宙速度即環(huán)繞速度）時(shí)，它就在空中沿圓或橢圓軌道運(yùn)行；當(dāng)發(fā)射的速度等于或大于11.2 km/s（第二宇宙速度即脫離速度）時(shí)，物體可以掙脫地球引力的束縛， 成為繞太陽運(yùn)動(dòng)的人造行星或飛到其它行星上去；當(dāng)速度等于或大于 16.7 km/s（第三宇宙速度即逃逸速度）時(shí)，物體將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去。例如：人造衛(wèi)星、行星、慧星等由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道是圓、橢

12、圓、拋物線或雙曲線。（1）從天體運(yùn)行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統(tǒng)一，難道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天體運(yùn)行也遵循著一種統(tǒng)一的規(guī)律嗎？（2）邀請(qǐng)你們的物理老師、地理老師，請(qǐng)他們上一節(jié)天體運(yùn)行課，更深入的理解圓錐曲線材料 2. 圓錐截線，是一個(gè)平面截正圓錐面而得到的曲線設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為，截面和圓錐的軸的夾角為當(dāng)截面不過頂點(diǎn)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，即截面和一條母線平行時(shí)，交線是拋物線；（2）當(dāng)2時(shí)，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時(shí)，交線是橢圓特別地，當(dāng)2，即截面和圓錐面的軸垂直時(shí)，交線是圓（3）當(dāng) 0時(shí)，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時(shí)，交線是雙曲線當(dāng)截面過頂點(diǎn)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 7 頁 - - - - - - - - -（2）當(dāng)2時(shí)，截面和圓錐面只相交于頂點(diǎn)，交線退化為一個(gè)點(diǎn)（3）當(dāng) 0時(shí)，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相交直線前一類情況中，拋物線、橢圓（包含圓）和雙曲線這三種曲線叫做非退化的圓錐曲線有時(shí)，也把拋物線、橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線后一類情況，交線是一個(gè)點(diǎn)