2022年初中數(shù)學一元二次方程總復習知識點梳理2

1、一元二次方程總復習考點 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為0，這樣的方程叫一元二次方程一般形式： ax2bx+c=0(a0） 。 注意： 判斷某方程是否為一元二次方程時，應首先將方程化為一般形式。考點 2：一元二次方程的解法1.直接開平方法：對形如(x+a）2=b（ b0）的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的方法。x+a=b1x=-a+b2x=-a-b2.配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k 0）的一般步驟是： 化為一般形式；移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；配方，即方程

2、兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b 的形式；如果b0 就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b0，則原方程無解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通過配方推導出來的一元二次方程的求根公式是aacbbx242(b24ac0)。步驟：把方程轉(zhuǎn)化為一般形式；確定a，b， c 的值；求出b24ac的值，當 b2 4ac0 時代入求根公式。4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理論根據(jù)：若ab=0，則 a=0 或 b=0。步驟是：將方程右邊化為0；將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，

3、解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5一元二次方程的注意事項：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - - 在一元二次方程的一般形式中要注意，強調(diào)a0因當a=0 時，不含有二次項，即不是一元二次方程 應用求根公式解一元二次方程時應注意：先化方程為一般形式再確定a，b，c 的值；若b24ac0，則方程無解 利用因式分解法解方程時，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式如2(x 4)2=3（x4）中，不能隨便約去x4。 注意：解一元

4、二次方程時一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情況 b2 4ac0方程有兩個不相等的實數(shù)根； b2 4ac=0方程有兩個相等的實數(shù)根； b2 4ac0方程沒有實數(shù)根。解題小訣竅：當題目中含有“兩不等實數(shù)根”“兩相等實數(shù)根” “沒有實數(shù)根”時，往往首先考慮用b24ac解題。主要用于求方程中未知系數(shù)的值或取值范圍。考點 3：根與系數(shù)的關(guān)系 :韋達定理對于方程ax2bx+c=0(a 0）來說， x1 +x2 = ab，x1x2= ac。利用韋達定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如2122122212)(xxxxx

5、x21212111xxxxxx。解題小訣竅：當一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時，可以用韋達定理。二、經(jīng)典考題剖析：【考題 11】下列方程是關(guān)于x 的一元二次方程的是（）aax2bx+c=0 b. k2 x 5k+6=0 c.3x22x+x1=0 d.( k2 3) x22x+1=0 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -【考題 12】解方程： x22x3=0 【考題 13】 （2009、青島，6 分）已知方程5x2+kx 10=0 一個根是 5，求它的另一個根

6、及k 的值三、針對性訓練：1、下列方程中，關(guān)于x 的一元二次方程是（）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21axxbxyc axbxcd xxx2、若22324x( )xx與互為相反數(shù)，則的值為a12b、2 c、 2 d、123、用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（）a.x2-2x-99=0 化為 (x-1)2=100 b.x2+8x+9=0 化為 (x+4)2=25 c.2t2-7t-4=0 化為1681)47(2td.3y2-4y-2=0 化為910)32(2y4、關(guān)于 x 的一元二次方程22(1)2mxxmm30的一個根為x=0，則 m 的值為（）am=3 或 m=1 b

7、m=3 或 m= 1 cm= 1 dm=3 5、(2009 濟南 )若 x1 ，x2 是方程 x2 5x+6=0 的兩個根，則x1 +x2 的值是（）a .1 b.5 c. 5 d.6 6、(2009 眉山 ) 若 x1 ，x2 是方程 x2 3x1=0 的兩個根，則2111xx的值為（）a.3 b.3 c.31d317、(2009 濰坊 ) 若 x1 ，x2 是方程 x2 6x+k1=0 的兩個根，且242221xx，則 k 的值為（）a.8 b. 7 c.6 d.5 8、(2009 成都 ) 若關(guān)于 x 的方程 kx22x1=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則k 的取值范圍是（）a.k 1 b.

8、 k 1 且 k0 c. k1 d. k 1 且 k0 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -9、已知一元二次方程x2+2x8=0 的一根是2，則另一個根是_. 10、(2009 泰安 ) 若關(guān)于 x 的方程 x2+（2k+1）x+2k2=0 有實數(shù)根，則k 的取值范圍是 _ 11、解方程： (1)32)32(22x; (2)3(1)2(1)y yy; (3) 3(4x2 9) (2x3)=0; (4) x2 6x+8=0 12、 (2009 鄂州 )關(guān)于 x 的方程 kx2+(k+2

9、)x+4k=0 有兩個不相等的實數(shù)根，(1)求 k 的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k 使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在求出k 的值；不存在說明理由。考點：一元二次方程的應用一、考點講解：1構(gòu)建一元二次方程數(shù)學模型，常見的模型如下： 與幾何圖形有關(guān)的應用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等； 有關(guān)增長率的應用：此類問題是在某個數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長（降低）兩次得到新數(shù)據(jù)，常見的等量關(guān)系是a(1 x）2=b，其中 a 表示增長（降低）前的數(shù)據(jù)，x 表示增長率（降低率） ，b 表示后來的數(shù)據(jù)。注意：所得解中，增長率不為負，降低率不超過1。 經(jīng)濟利潤問題：總利潤=（單件銷售額單件成本）銷售數(shù)量；或者

10、，總利潤=總銷售額總成本。 動點問題：此類問題是一般幾何問題的延伸，根據(jù)條件設(shè)出未知數(shù)后，要想辦法把圖中變化的線段用未知數(shù)表示出來，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。2注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要對方程的解注意檢驗，根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準確性二、經(jīng)典考題剖析：【考題 1】 （2009、深圳南山區(qū)） 課外植物小組準備利用學校倉庫旁的一塊空地，開辟一個面積為130平方米的花圃（如圖121） ，打算一面利用長為15 米的倉庫墻面，三面利用長為33 米的舊圍欄，求花圃的長和寬解：設(shè)與墻相接的兩邊長都為x米，則另一邊長為332x米，依

11、題意得332130 xx，c 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -22331300 xx110 x2132x又當110 x時，33213x當2132x時，33220 x15 132x不合題意，舍去10 x答：花圃的長為13 米，寬為10 米【考題 2】 （2009、襄樊）為了改善居民住房條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10 平方米提高到12.1 平方米，若每年的增長率相同，則年增長率為（）a.9b.10c. 11d.12 解：設(shè)年增長率為x，根據(jù)題

12、意得10(1+x)2=12.1，解得 x1=0.1， x2 =2.1因為增長率不為負，所以x=0.1。故選 d。【考題 3】 （2009、海口）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果如果每千克盈利10 元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1 元，日銷售量將減少20 千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000 元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？解：設(shè)每千克水果應漲價x 元，依題意，得(5002 0 x)（10+x）=6000整理，得x2 15x50=0解這個方程，x1=5， x2=10要使顧客得到實惠，應取x=5答：每千克應漲價5 元 點撥：此類經(jīng)濟問

13、題在設(shè)未知數(shù)時，一般設(shè)漲價或降價為未知數(shù)；應根據(jù)“要使顧客得到實惠”來取舍根的情況【考題 4】 如圖， 在 abc 中，b=90 ，ab=5 ，bc=7 ，點 p 從 a 點開始沿ab 邊向點 b 點以 1cm/s的速度移動，點q 從 b 點開始沿bc 邊向點 c 以 2cm/s 的速度移動 . （1）如果點 p、 q 分別從 a、b 兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，pbq 的面積等于4？（2）如果點 p、 q 分別從 a、b 兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，pq 的長度等于5？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - -

14、 - - - - -解： （1）設(shè)經(jīng)過x 秒鐘， pbq 的面積等于4，則由題意得ap=x ，bp=5x，bq=2x, 由21bpbq=4，得21（5 x） 2x=4，解得， x1=1，x2=4當 x=4 時， bq=2x=8 7=bc，不符合題意。故x=1 （ 2）由 bp2+bq2=52得（ 5x）2+（2x）2=52, 解得 x1=0（不合題意），x2=2 所以 2 秒后， pq 的長度等于5。三、針對性訓練：1小明的媽媽上周三在自選商場花10 元錢買了幾瓶酸奶，周六再去買時，正好遇上商場搞酬賓活動，同樣的酸奶，每瓶比周三便宜05 元，結(jié)果小明的媽媽只比上次多花了2 元錢，卻比上次多買了

15、 2 瓶酸奶，問她上周三買了幾瓶？2合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20 件，每件盈利40 元。為了迎接“十一”國慶節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價4 元，那么平均每天就可多售出8 件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200 元，那么每件童裝應降價多少？3在寬為 20 米、長為 32 米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540 米 2，道路的寬應為多少？4小紅的媽媽前年存了5000 元一年期的定期儲蓄，到期后自動轉(zhuǎn)存.今年到期扣除利息稅（利息稅p q b

16、 c a 32m 20m 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -為利息的20%） ，共取得5145 元.求這種儲蓄的年利率.（精確到0.1%）5如圖 12-3，abc 中， b=90，點 p從 a 點開始沿ab 向點 b 以 1cm/s 的速度移動，點q 從b 點開始沿bc 邊向 c 點以 2cm/s 的速度移動。（1）如果 p、q 分別從 a、b 同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使abq 的面積等于8cm2? (2)如果 p、q 分別從 a、b 同時出發(fā)，并且p 到 b 后又繼續(xù)在bc 邊上前進

17、， q 以 c 后又繼續(xù)在ac邊上前進，經(jīng)幾秒鐘，使pcq 的面積等于12.6 cm2。解：依題意，得：21（6-x） 2x=8 解這個方程得：x1=2 ，x2=4 即經(jīng)過 2s，點 p 到距離 b 點 4cm 處，點 q 到距離 b 點 4cm 處；經(jīng)過4s，點 p到距離 b 點 2cm 處，點 q 到距離 b 點 8cm 處。故本小題有兩解。（2）設(shè)經(jīng)過 x 秒，點 p 移動到 bc 上，且有 cp=（14-x）cm,點 q 移動到 ca 上，且命名 cq=（2x-8）cm，過 q 作 qdcb 于 d。 cqd cab ，acabxqd82，即 qd=10)82(6x。依題意，得：21（

18、 14-x） 10)82(6x=12.6，解這個方程得：x1=7 ，x2=11 經(jīng)過 7s，點 p 在 bc 距離 c 點 7cm 處，點 q 在 ca 上距離 c 點 6cm 處，使 spcq=12.6cm2 經(jīng)過 11s，點 p 在 bc 距離 c 點 3cm 處，點 q 在 ca 上距離 c 點 14cm 處，140,點 q 已超出ca 范圍，此解不存在。故本題只有一解。中考真題精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -1.鐘老師出示了小黑板上的題目(如圖 122）后，小敏回答： “

19、方程有一根為1” ，小聰回答： “方程有一根為2” 則你認為（）a只有小敏回答正確b只有小聰回答正確c兩人回答都正確d兩人回答都不正確2.解一元二次方程x2x12=0，結(jié)果正確的是（）ax1=4， x2=3 bx1=4，x2=3 cx1=4，x2=3 d x1=4，x2=3 3.方程(3)(3)x xx解是（）ax1=1 bx1=0，x2=3 cx1=1，x2=3 dx1=1，x2=3 4.若 t 是一元二次方程ax2 bx+c=0(a0）的根，則判別式= b24ac 和完全平方式m=(2at+b)2的關(guān)系是（）a =m bm c m d大小關(guān)系不能確定5.方程2(1)0 xx的根是（）a0

20、b1 c 0， 1 d0，1 6.已知一元二次方程x22x7=0 的兩個根為x1，x2，則 x1+ x2的值為（）a 2 b2 c 7 d7 7.已知 x1、x2是方程 x23x1 0 的兩個實數(shù)根，則2111xx的值是 ( ) a、3 b、 3 c、13d、1 8.用換元法解方程(x2x)2(x2x)6 時，如果設(shè)x2 xy，那么原方程可變形為（）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -a、y2y60 b、y2y60 c、y2y60 d、 y2y6 0 9.方程 x25x=0 的根是（

21、）a0 b0，5 c5，5 d5 10.若關(guān)于 x 的方程 x2 2xk=0 有實數(shù)根，則（）ak1，bk1 ck 1 d k 1 11.如果一元二次方程x24x20 的兩個根是x1，x2，那么 x1 x2等于（）a. 4 b. 4 c. 2 d. 2 12.用換元法解方程(x2x)xx26 時，設(shè)xx2y，那么原方程可化為（）a.2yy6 0 b. 2yy60 c. 2yy6 0 d. 2yy60 13.設(shè) x1，x2是方程 2x2+3x-2=0 的兩個根，則x1x2的值是( ) a-3 b 3 c23d2314.方程 x3-x=0 的解是（）a0，1 b1，-1 c0，-1 d 0，1，

22、1 15.用換元法解方程25x()40=y,11x+1xxxx時，若設(shè)則原方程_ _ 16.兩個數(shù)的和為6，差（注意不是積）為8，以這兩個數(shù)為根的一元二次方程是_ 17.方程 x2x=0 的解是 _ 18.等腰 abc 中， bc=8，ab 、 bc 的長是關(guān)于x 的方程 x210 x+m= 0 的兩根，則 m 的值是 _. 19.關(guān)于 x 的一元二次方程ax2 +2x+1=0 的兩個根同號，則a 的取值范圍是_. 20.解方程22x -9x+5=x-321.解方程： x32x23x0. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 1

23、2 頁 - - - - - - - - -22.解方程組：22y=x+1x +y=523.解方程： 2（x1）2+5（ xl）+2=024.解方程： x22x2=0 25.解方程： x2+5x+3=0 26.已知關(guān)于x 的一元二次方程2(1)60 xkx的一個根是2，求方程的另一根和k 的值27.已知關(guān)于x 的一元二次方程22(4)3340kxxkk的一個根為0，求 k 的值28.如圖 123 為長方形時鐘鐘面示意圖，時鐘的中心在長方形對角線的交點上，長方形的寬為20厘米，鐘面數(shù)字2 在長方形的頂點處，則長方形的長為_厘米 （此題用到三角函數(shù)）中考預測題一、基礎(chǔ)經(jīng)典題( 44 分 ) (一)選

24、擇題 (每題 4 分，共 28 分 ) 【備考 1】如果在 1 是方程 x2+mx1=0 的一個根，那么m 的值為（）a 2 b 3 c1 d 2 【備考 2】方程2 (3)5(3)x xx的解是（）a12553 .3,.322xb xc xxd x【備考 3】若 n 是方程20 xmxn的根， n 0，則 m+n 等于（）a 7 b6 c1 d 1 【備考 4】關(guān)于 x 的方程20 xmxn的兩根中只有一個等于0，則下列條件中正確的是（）am0，n0 bm0，n 0 cm0，n = 0 dm0，n0 【備考 5】以 52 6 和 5+26 為根的一元二次方程是（）精品學習資料 可選擇p d

25、f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -a21010 xxb01102xxc01102xxd01102xx【備考 6】已知1x，2x是方程 x2x3=0 的兩根，那么2221xx值是（）a1 b5 c7 d、494【備考 7】關(guān)于 x 的方程221(3)04xmxm有兩個不相等的實根，那么m 的最大整數(shù)是（）a2 b 1 c0 dl （二）填空題（每題4 分，共 16 分）【備考 8】 已知一元二次方程x23x+1=0 的兩個根為x1， x2那么 （1+ x1）（1+ x2） 的值等于 _. 【備考 9】 已知一個一元二次方程x2+px+l=0 的一個實數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則 p 的值是 _. 【備考 10】如圖，在 abcd 中，aebc 于 e，ae=eb=ec=a ，且 a是一元二次方程x2+2x3=0的根，則 abcd 的周長是 _ 【備考 11】關(guān)于 x 的方程2(1)3(2)kxkx2420k的一次項系數(shù)是3，則 k=_ 【備考 12】關(guān)于 x 的方程221(1