2022年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)中位線及其應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第十四講 中位線及其應(yīng)用中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此， 它在幾何圖形的運(yùn)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用例 1 如圖 2-53 所示 abc中， adbc于 d，e， f，abc的面積分析 由條件知， ef， eg分別是三角形 abd和三角形 abc的中位線利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出abc的高 ad及底邊 bc的長(zhǎng)解 由已知， e，f 分別是 ab，bd的中點(diǎn)，所以， ef是 abd的一條中位線，所以由條件 ad+ef=12厘米 得ef=4 厘米 ，從而 ad=8 厘米 ，由于 e，g分

2、別是 ab，ac的中點(diǎn)，所以 eg是 abc的一條中位線，所以bc=2eg=×2 6=12 厘米 ，明顯， ad是 bc上的高，所以例 2 如圖 2 -54 所示 abc中， b， c 的平分線 be， cf相交于 o， ag be于 g， ah cf于 h(1) 求證： ghbc；(2) 如 ab=9厘米， ac=14厘米， bc=18厘米，求 gh分析 如延長(zhǎng) ag，設(shè)延長(zhǎng)線交 bc于 m由角平分線的對(duì)稱(chēng)性可以證明abg mbg，從而 g是 am的中點(diǎn)；同樣，延長(zhǎng) ah交 bc于 n，h是 an的中點(diǎn)，從而gh就是 amn的中位線，所以 gh bc，進(jìn)而，利用 abc的三邊長(zhǎng)可求

3、出 gh的長(zhǎng)度(1) 證 分別延長(zhǎng) ag， ah交 bc于 m，n，在 abm中，由已知， bg平分 abm，bgam，所以 abg mbgasa從而， g是 am的中點(diǎn)同理可證 ach nchasa，從而， h是 an的中點(diǎn)所以 gh是 amn的中位線，從而， hgmn，即hg bc(2) 解 由1 知， abg mbg及 ach nch，所以ab=bm=9厘米， ac=cn=14厘米又 bc=18厘米，所以bn=bc-cn=18-14=4 厘米 ，mc=bc-bm=18-9=9 厘米 從而mn=1-84-9=5 厘米 ，說(shuō)明 1 在此題證明過(guò)程中，我們事實(shí)上證明白等腰三角形頂角平分線三線合

4、一 即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線性質(zhì)定理的逆定理：“如三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的垂線，就這條平分線也是對(duì)邊的中線，這個(gè)三角形是等腰三角形”(2) “等腰三角形三線合肯定理”的下述逆命題也是正確的：“如三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的中線，就這個(gè)三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對(duì)邊”同學(xué)們不妨自己證明(3) 從此題的證明過(guò)程中，我們得到啟示：如將條件“b， c的平分線”改為“ b或 c 及 c或 b的外角平分線” 如圖 2- 55所示 ，或改為“ b， c的外角平分線” 如圖 2-56 所示 ，其余條件不變，那么，結(jié)論gh bc仍舊成立同學(xué)們也不妨試證例 3 如圖

5、2-57 所示 p是矩形 abcd內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形 bcpq是平行四邊形， a，b，c， d分別是 ap，pb，bq，qa的中點(diǎn)求證： a c=bd分析 由于 a， b， c， d分別是四邊形 apbq的四條邊 ap，pb，bq，qa的中點(diǎn)，有體會(huì)的同學(xué)知道abc d是平行四邊形， a c與 bd就是它的對(duì)角線，從而四邊形a bcd應(yīng)當(dāng)是矩形利用abcd是矩形的條件，不難證明這一點(diǎn)證 連接 a b， b c， c d， d a，這四條線段依次是 apb， bpq， aqb， apq的中位線從而a b ab， b c pq， c d ab， d a pq，所以， ab c d是平行四邊形由于ab

6、cd是矩形， pcbq是平行四邊形，所以ab bc， bc pq從而ab pq，所以 a b b c，所以四邊形 a bcd是矩形，所以a c=bd 說(shuō)明 在解題過(guò)程中，人們的體會(huì)常可起到引發(fā)聯(lián)想、開(kāi)拓思路、擴(kuò)大已知的作用如在此題的分析中利用“四邊形四邊中點(diǎn)連線是平行四邊形”這個(gè)體會(huì)，對(duì)尋求思路起了不小的作用因此留意歸納總結(jié)，積存體會(huì)，對(duì)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的才能是很有好處的例 4 如圖 2-58 所示在四邊形abcd中， cdab，e，f 分別是 ac，bd的中點(diǎn)求證：分析 在多邊形的不等關(guān)系中，簡(jiǎn)單引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線，為此，取ad中點(diǎn) 證 取 ad中點(diǎn) g，連接

7、eg，fg，在 acd中， eg是它的中位線 已知 e 是 ac的中點(diǎn) ，所以同理，由 f，g分別是 bd和 ad的中點(diǎn)，從而， fg是 abd的中位線，所以在 efg中，efeg-fg 由，例 5 如圖 2-59 所示梯形 abcd中， abcd，e 為 bc的中點(diǎn)， ad=dc+ab 求證： de ae分析 此題等價(jià)于證明 aed是直角三角形，其中 aed=90°在 e 點(diǎn) 即直角三角形的直角頂點(diǎn) 是梯形一腰中點(diǎn)的啟示下， 添梯形的中位線作為幫助線，如能證明， 該中位線是直角三角形aed的斜邊 即梯形另一腰 的一半，就問(wèn)題獲解證 取梯形另一腰 ad的中點(diǎn) f，連接 ef，就 ef

8、 是梯形 abcd的中位線，所以由于 ad=ab+c，d 所以從而1=2， 3=4，所以 2+3=1+4=90° ade的內(nèi)角和等于 180° 從而aed=2+3=90°，所以 de ae例 6 如圖 2-60 所示 abc外一條直線 l ，d， e，f 分別是三邊的中點(diǎn)， aa1 ，ff1，dd1， ee1 都垂直 l 于 a1， f1，d1 ，e1 求證：aa1 +ee1=ff1+dd1 分析 明顯 adef是平行四邊形，對(duì)角線的交點(diǎn)o平分這兩條對(duì)角線， oo1 恰是兩個(gè)梯形的公共中位線利用中位線定理可證證 連接 ef，ea，ed由中位線定理知，efad，de

9、af，所以 adef是平行四邊形，它的對(duì)角線ae， df相互平分，設(shè)它們交于o，作oo1 l 于 o1，就 oo1 是梯形 aa1 e1 e 及 ff1d1d的公共中位線，所以即 aa1 +ee1 =ff1+dd1 練習(xí)十四1. 已知 abc中， d為 ab的中點(diǎn)， e 為 ac上一點(diǎn)， ae=2ce，cd，be 交于 o點(diǎn)， oe=2厘米求 bo的長(zhǎng)2. 已知 abc中， bd，ce分別是 abc， acb的平分線， ahbd于 h，afce于 f如 ab=14厘米， ac=8厘米， bc=18厘米，求 fh的長(zhǎng)3. 已知在 abc中， abac， ad bc于 d， e， f，g分別是 ab，bc，ac的中點(diǎn)求證： bfe= egd4. 如圖 2-61 所示在四邊形 abcd中， ad=bc，e，f 分別是 cd，ab的中點(diǎn)，延長(zhǎng)ad，bc，分別交 fe的延長(zhǎng)線于 h，g求證： ahf= bgf5. 在 abc中， ahbc于 h， d， e，f 分別是 bc，ca，