第2章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析

1、1第第2章章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析n2.1 系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示n2.2 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)n2.3 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)n2.4 卷積積分卷積積分n2.5 LTI連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析舉例連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析舉例12 2nLTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為：建立并建立并求解線性微分方程求解線性微分方程。n由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間t，故稱為，故稱為時域分析法時域分析法。這種方法比較直觀。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法，物理

2、概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。 32.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示n.1系統(tǒng)方程的算子表示法系統(tǒng)方程的算子表示法n如上面所示，描寫線性系統(tǒng)的激勵函數(shù)和響應(yīng)函數(shù)如上面所示，描寫線性系統(tǒng)的激勵函數(shù)和響應(yīng)函數(shù)間關(guān)系的微分方程形式看起來很復(fù)雜，為了方便起見，間關(guān)系的微分方程形式看起來很復(fù)雜，為了方便起見，把微分算子用符號把微分算子用符號p來代表，如令來代表，如令 ，通過引入，通過引入算子符號，可以把微積分方程在形式上變成代數(shù)方程。算子符號，可以把微積分方程在形式上變成代數(shù)方程。它的優(yōu)點一是簡化方程的列寫它的優(yōu)點一是簡化方程的列寫(

3、(特別是聯(lián)立方程消元特別是聯(lián)立方程消元) )，一是通過引入系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子一是通過引入系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子H(p)的概念，便于形成系的概念，便于形成系統(tǒng)分析的統(tǒng)一的方法。統(tǒng)分析的統(tǒng)一的方法。n先引入算子的定義，再由定義導(dǎo)出其先引入算子的定義，再由定義導(dǎo)出其“運算運算”規(guī)則，規(guī)則，最后介紹如何用算子法列寫微分方程。最后介紹如何用算子法列寫微分方程。3積分算積分算子子微分算微分算子子算子符號算子符號dtdp nnnnnndtxdxpdtdpdtdxpx , dpt 1 dxxpt 1452.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示n例例 用算子法表示下面的微分方程。用算子法表示下面的微

4、分方程。n解解: :根據(jù)微分算子與積分算子的定義，上式根據(jù)微分算子與積分算子的定義，上式可表示為可表示為5n還可以將上式改寫為還可以將上式改寫為 62.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示n例例 利用廣義微分算子與廣義積分算子來表利用廣義微分算子與廣義積分算子來表示下面的微分方程。示下面的微分方程。解：由廣義微分算子與廣義積分算子可寫微解：由廣義微分算子與廣義積分算子可寫微分方程的算子方程如下分方程的算子方程如下 其中其中6微分方程的算子形式微分方程的算子形式 tfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnnn 1110111.算子方程算子方

5、程 tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnnn 111101111.7 tfpDpNty tfpHty tfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnnn 1110111. tfapapapbpbpbpbtynnnnmmmm 1111110.8 N p D p H p92.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示n例例2-3 2-3 求下面微分方程的轉(zhuǎn)移算子求下面微分方程的轉(zhuǎn)移算子H(p) 解：可將上述方程改寫為解：可將上述方程改寫為 根據(jù)轉(zhuǎn)移算子的定義，上式可進一步表示為根據(jù)轉(zhuǎn)移算

6、子的定義，上式可進一步表示為9也即102.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示2.2.算子的運算規(guī)則算子的運算規(guī)則 （1 1）由）由P的多項式所組成的運算符號可以的多項式所組成的運算符號可以像代數(shù)式那樣相乘和因式分解。像代數(shù)式那樣相乘和因式分解。特殊情況：特殊情況：10112.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示特殊一：特殊一： 這里也像代數(shù)式中一樣，分子分母中的這里也像代數(shù)式中一樣，分子分母中的p可以消去。但是可以消去。但是n這里除非這里除非x(-(-) = 0) = 0，否則分母和分子中的，否則分母和分子中的p就不能消去。這表明在一般

7、情況下，有就不能消去。這表明在一般情況下，有11122.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示n特殊二：特殊二：n若將式若將式n兩邊積分，可得兩邊積分，可得 （ c為積分常數(shù)）為積分常數(shù)）對于等式對于等式px =py，雙方的算子，雙方的算子p一般也不好消一般也不好消去。去。n以上討論說明，代數(shù)量的運算規(guī)則對于算子以上討論說明，代數(shù)量的運算規(guī)則對于算子符號一般也可以用，只是在分子分母中或在符號一般也可以用，只是在分子分母中或在等式兩邊中的算子符號不能隨便消去。等式兩邊中的算子符號不能隨便消去。12132.12.1系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示系統(tǒng)微分方程的建立及算子表示n

8、3.3.算子方程組的消元算子方程組的消元n為了要從一個為了要從一個n階電路的階電路的n元一次算子方程組元一次算子方程組得到一個形式為得到一個形式為的一元的一元n階算子方程，必須將原方程組中除響階算子方程，必須將原方程組中除響應(yīng)變量應(yīng)變量. .y(t)以外的其他未知量系統(tǒng)消去。在掌以外的其他未知量系統(tǒng)消去。在掌握了算子的運算規(guī)則之后，就可以較為方便握了算子的運算規(guī)則之后，就可以較為方便地做到這一點。地做到這一點。13電感和電容的算子表示電感和電容的算子表示 tLpitidtdLtLLL tiCpdiCtCCtC11 Lp電感算子符號，理解為電感的感抗值 Cp1電容算子符號，理解為電容的容抗值 1

9、4電電 感感電電 容容 teRLi 5H1F61 ti tetipp 65 tpetitpitip 652 tedtdtitidtdtidtd 6522CLpLp pCp61 15例題例題如下圖所示電路， 為激勵信號，響應(yīng)為 ， 用算子法求其算子方程、傳輸算子以及微分方程。 te ti2 te 1 1 2H2H1 ti1 ti2 te 1 1 2p2p ti1 ti2 16 03132121tiptpitetpitip利用克萊姆法則， 解出: teppppptpeppppptepti2/35213102313013222 系統(tǒng)函數(shù)為： 2/3522 ppppH tpetipp2123522 微

10、分方程為： tedtdtitidtdtidtd2123522222 te 1 1 2p2p ti1 ti2 17182.2 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t)n2.2.1 yx(t)的定義的定義n2.2.2 yx(t)的求法的求法n2.2.3 系統(tǒng)的自然模式系統(tǒng)的自然模式返回首頁1819n系統(tǒng)在無外加激勵作用下，僅由系統(tǒng)的初始系統(tǒng)在無外加激勵作用下，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，狀態(tài)所引起的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，記為記為yx(t)。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的結(jié)。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)決定，而與激勵信號無關(guān)。構(gòu)與狀態(tài)決定，而與激勵信號無關(guān)。n在式在式(2-

11、8)(2-8)中令中令f (t) = 0，得到齊次方程，得到齊次方程 yx(t)就是齊次方程就是齊次方程(2-11)(2-11)的解。的解。2.2.1 yx(t)的定義1920n其中，其中，D(p)稱為系統(tǒng)的特征多項式，方程稱為系統(tǒng)的特征多項式，方程D(p) =0叫做系統(tǒng)的特征方程，特征方程的根稱系統(tǒng)叫做系統(tǒng)的特征方程，特征方程的根稱系統(tǒng)的特征根。的特征根。n先來討論比較簡單的一階、二階齊次方程的先來討論比較簡單的一階、二階齊次方程的情況，然后推廣至情況，然后推廣至n階方程。階方程。2021n一階與二階齊次方程的解一階與二階齊次方程的解n一階齊次方程的一般形式為一階齊次方程的一般形式為n即即n

12、通過分離變量，上式可改寫為通過分離變量，上式可改寫為2122n對兩邊積分得對兩邊積分得n其中，其中，k是積分常數(shù)。從而可得是積分常數(shù)。從而可得n其中，其中，C=C=e ek k是待定系數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件是待定系數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定。例如，將初始狀態(tài)決定。例如，將初始狀態(tài)yx(o)代入式代入式(2-14)(2-14)即即可得可得2223n從而得到一階齊次方程的解為從而得到一階齊次方程的解為n二階齊次方程的一般形式為二階齊次方程的一般形式為其中，其中，a,ba,b是常數(shù)。其算子方程為是常數(shù)。其算子方程為2324n將上式中的將上式中的D(p)作因式分解作因式分解n從而將式從而將式(2-16)(

13、2-16)改寫為改寫為n不難看出，不難看出，1與與2是特征方程是特征方程D(p)=0的兩個特的兩個特征根征根由此可以得到滿足上述方程的兩個一階方程由此可以得到滿足上述方程的兩個一階方程2425n它們的解分別為它們的解分別為n其中，其中，C1,C2為待定系數(shù)。顯然，為待定系數(shù)。顯然，yx1(t)與與yx2(t)都是解，且彼此線性無關(guān)，因此零輸入響應(yīng)都是解，且彼此線性無關(guān)，因此零輸入響應(yīng)的計算通式為的計算通式為n如果給定初始狀態(tài)為如果給定初始狀態(tài)為2526n將這些條件代入式將這些條件代入式(2-19)(2-19)及其微分式可得及其微分式可得n解之，可得解之，可得Cl與與C2的具體數(shù)值，從而最后確的

14、具體數(shù)值，從而最后確定定yx(t)。n例例2-5 某系統(tǒng)輸入某系統(tǒng)輸入/輸出微分算子方程為輸出微分算子方程為 己知初始條件己知初始條件yx(0)= 3，yx(0)= 6，求系統(tǒng)的，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yx(t)。2627n解：由題意知解：由題意知n因為因為n所以所以n把把yx(0)= 3，yx(0)= 6，代入上式可得代入上式可得n所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為2728nn階齊次方程的解階齊次方程的解n上述二階方程的解，可以推廣至上述二階方程的解，可以推廣至n階方程階方程 即即首先求出特征方程首先求出特征方程的的n個根個根1，2 ，n 。然后將式。然后將式(2-20)(2

15、-20)改改寫為寫為2.2.2 yx(t)的求法28290)(pDtpntptpxneAeAeAty2121)(1.當(dāng) 的根(特征根)為n個單根(不論實根、虛根、復(fù)數(shù)根)p1， p2， ， pn時，則yx(t)的通解表達(dá)式為29302.1是一個是一個k重根，即重根，即其中，待定系數(shù)可由初始狀態(tài)其中，待定系數(shù)可由初始狀態(tài)0)()(,)()()()(112111111tecetctcctyppppDnjtjtxnnj 則：均為單根。重根，是其中設(shè)3031n例例2-6 2-6 己知系統(tǒng)的方程為己知系統(tǒng)的方程為n初始狀態(tài)為，初始狀態(tài)為， ，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。3132n解解

16、: :令令f (t) = 0，得齊次方程，得齊次方程n將將D(p)作因式分解得作因式分解得3233n可見，系統(tǒng)的特征根可見，系統(tǒng)的特征根1=-1是單根，而是單根，而2=-3是是一個二重根，據(jù)此可寫出一個二重根，據(jù)此可寫出yx(t)為為n將初始狀態(tài)代入上式得將初始狀態(tài)代入上式得n解之得解之得n因此，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為因此，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為3334n.3由轉(zhuǎn)移算子由轉(zhuǎn)移算子H(p)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)n從以上的討論可以看出，只要己知系統(tǒng)的特從以上的討論可以看出，只要己知系統(tǒng)的特征多項式征多項式D(p)及初始狀態(tài)，就可以求出系統(tǒng)的及初始狀態(tài)，就可以求出系統(tǒng)的零輸入響

17、應(yīng)。因此，知道系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子零輸入響應(yīng)。因此，知道系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子H(p)和初始狀態(tài)，也就可以直接求出和初始狀態(tài)，也就可以直接求出yx(t)n前面己指出，轉(zhuǎn)移算子前面己指出，轉(zhuǎn)移算子是一種把輸入與響應(yīng)聯(lián)系起來的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模是一種把輸入與響應(yīng)聯(lián)系起來的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的簡潔表示，即型的簡潔表示，即3435n因此，只要知道因此，只要知道H(p)，就可以從它的分母，就可以從它的分母D(p)求出系統(tǒng)的特征根，亦即求出系統(tǒng)的特征根，亦即H(p)的極點的極點1，n ，從而寫出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的一般式，從而寫出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的一般式n再根據(jù)初始狀態(tài)，求出待定系數(shù)再根據(jù)初始狀態(tài)，求出待定系數(shù)C Cj j,j,j=1

18、=1n，最后確定最后確定yx(t).3536n例例2-72-7 己知系統(tǒng)微分方程為己知系統(tǒng)微分方程為初始狀態(tài)初始狀態(tài) , ,計算零輸入響應(yīng)。計算零輸入響應(yīng)。n解解: :用算子表示原微分方程，得轉(zhuǎn)移算子用算子表示原微分方程，得轉(zhuǎn)移算子容易看出，轉(zhuǎn)移算子的極點為容易看出，轉(zhuǎn)移算子的極點為1=-2, 2=-3。從。從而可以直接寫出而可以直接寫出y(t)的零輸入響應(yīng)為的零輸入響應(yīng)為3637n將初始狀態(tài)將初始狀態(tài) 代入上式代入上式得得n解之得解之得n將將C C1 1與與C C2 2代入代入yx(t)得得3738n2.2.4 2.2.4 算子法求解算子法求解yx(t)的步驟的步驟n第一步，將第一步，將D(

19、p)進行因式分解，即進行因式分解，即 其中，其中， i和和ri分別是系統(tǒng)特征方程的第分別是系統(tǒng)特征方程的第i個個根及其相應(yīng)的重根階數(shù)。根及其相應(yīng)的重根階數(shù)。n第二步，求出第第二步，求出第i i個根個根i對應(yīng)的零輸入響應(yīng)對應(yīng)的零輸入響應(yīng)yxi(t) ，即，即3839n第四步，根據(jù)給定的零輸入響應(yīng)初始條件第四步，根據(jù)給定的零輸入響應(yīng)初始條件 確定常數(shù)確定常數(shù) （i=1,2，.l)n第三步，將所有第三步，將所有yxi(t) （i=1,2，.l)相相加，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即加，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即39402.3 系統(tǒng)的自然模式系統(tǒng)的自然模式n1.系統(tǒng)零輸入響應(yīng)是由指數(shù)函數(shù)項組成i

20、 是系統(tǒng)特征方程D(P)=0的特征根。每一個特征根i在響應(yīng)中對應(yīng)的指數(shù)項稱為響應(yīng)的一個模式或自然模式。n2.系統(tǒng)零輸入響應(yīng)中各項的模式，定義為系統(tǒng)的自然模式。系統(tǒng)的自然模式由系統(tǒng)唯一確定。n3.如果H(P)有n個特征根，零輸入響應(yīng)yx(t)中就有n個模式。對于同一個系統(tǒng)，不同的響應(yīng)信號與激勵f(t)之間的轉(zhuǎn)移算子一般具有相同的分母，即D(P)。因此，同一系統(tǒng)中不同響應(yīng)變量的零輸入響應(yīng)具有相同的模式，不同的只是各指數(shù)項的系統(tǒng)。titiiete1或40412.2.3 3 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)n2.3.1 零狀態(tài)響應(yīng)的定義n2.3.2 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)n2.3.3 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n2

21、.3.4 yf(t)的求法返回首頁4143.1 零狀態(tài)響應(yīng)的定義零狀態(tài)響應(yīng)的定義n系統(tǒng)在輸入信號的單獨作用下（初始狀態(tài)為系統(tǒng)在輸入信號的單獨作用下（初始狀態(tài)為零）產(chǎn)生的響應(yīng)分量，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零）產(chǎn)生的響應(yīng)分量，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)分量，記為分量，記為yf(t)。是方程是方程yf(t)=H(p)f(t)在初始狀在初始狀態(tài)為零時的解。態(tài)為零時的解。4243.2 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)n1、定義：輸入為單位沖激信號、定義：輸入為單位沖激信號(t)的零狀態(tài)的零狀態(tài)響應(yīng)分量，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，簡稱沖響應(yīng)分量，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)

22、，記為：激響應(yīng)，記為：h(t)。是方程是方程h(t)=H(p) (t)在在初始狀態(tài)為零時的解。初始狀態(tài)為零時的解。nh(t)由系統(tǒng)唯一確定由系統(tǒng)唯一確定43440t)(t(1)0t)(thLTI系統(tǒng))(t)(th圖2-1 沖激響應(yīng)示意圖4445l沖激響應(yīng)的求法沖激響應(yīng)的求法v轉(zhuǎn)移算子法轉(zhuǎn)移算子法v直接求解法直接求解法 4546n2、一些簡單系統(tǒng)的、一些簡單系統(tǒng)的h(t)(21123ttp)()()()(tpHthpH)(!111ttnpnnkpket(t)k(p)2ktet(t)()(為正整數(shù)ntpnn)(1tp)(12ttp46沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法47簡單系統(tǒng)簡單系

23、統(tǒng)1 H(p)y(t)f(t)Kp)()()( tKftyty)()()(tKftytyff)()()( tKthth( )( )th tKet47( )( )( )( )( )tttttdeh teh tketeh tketdt兩邊從0- 到t 取定積分：0( )(0 )( )( )tteh thkedkt ( )( )th tket沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法48簡單系統(tǒng)簡單系統(tǒng) 2 H(p)y(t)f(t)K(p)2系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)滿足的算子方程為 ()()(phpKtt1( )() ( )( )th tph tKet( )( )( )th th tKet( )(

24、)th tKtet兩邊同乘以 并取積分 得 te()tdx( )( )th tKtet1( ) (h tpKt48沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法49將上面的結(jié)果推廣到特征方程A(p)=0在p=處有r 重根的情況簡單系統(tǒng)簡單系統(tǒng)3 491( )( )( )()(1)!rtrKKH ph ttetpr( )nH pKp( )( )ny tKp f t( )( )( )nh tKt沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法50n3、已知系統(tǒng)計算、已知系統(tǒng)計算h(t)當(dāng)當(dāng)H(p)為有理真分式時，將為有理真分式時，將H(p)部分分式展開部分分式展開H(p)= H1(p)+ H2(p)

25、+ 則：則： h(t)= H(p)(t) = H1(p) (t) + H2(p) (t)+ = h1(t)+ h2(t) 若若H(p)為假分式，先長除再將真分式部分部分分為假分式，先長除再將真分式部分部分分式展開。式展開。21212233432)(222342xxxxxxxxxxxxF50沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法51綜上所述，可以得到計算系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的一般步驟是： 第一步，確定系統(tǒng)得傳輸算子H(p)第三步，求各分式對應(yīng)的沖激響應(yīng)分量hi(t)1( )( )ljjh th t第四步，各部分求和第二步，將H(p)進行部分分式展開11( )()jqljiirijjKH

26、pK pp51沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法5252例：已知系統(tǒng)的微分方程為( ) 3 ( )2 ( )( )4 ( ) 5 ( )y ty ty tftftf t試求其沖激響應(yīng)h(t)。解：先求出方程的特征根：2, 121轉(zhuǎn)移算子為23121)2)(1(7512354)(223ppppppppppppH故，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為)(3)(2)()()(2tetettthtt沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法53例例 描述系統(tǒng)的微分方程為 (3)(2)(1)(3)(2)(1)( )5( )8( )4 ( )( )6( ) 10( )6 ( )ytytyty tftftft

27、f t求其沖激響應(yīng)h(t)。 53沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法5454解：解： 由系統(tǒng)微分方程得到相應(yīng)的輸入輸出算子方程為 其H(p)可表示為 32322610612( )15841(2)pppH pppppp 3232584( )6106( )pppy tpppf t例題例題已知系統(tǒng)的傳輸函數(shù) ，求沖激響應(yīng) 。 652 ppppH th 332232652 pppppppppH tueethtt2323 55 teptrpp2342 3211211323422 pppppppppH例題例題已知系統(tǒng)的微分方程為求沖激響應(yīng) 。 tedttdetrdttdrdttrd23422

28、th tueethtt 32121565757沖激響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的比較沖激響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的比較沖激響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的形式相似，只不過零輸入響應(yīng)中沒有沖激函數(shù)項，另外零輸入響應(yīng)的系數(shù) c 由初始條件求得，而沖激響應(yīng)的系數(shù) k 是轉(zhuǎn)移函數(shù)展開為部分分式時的各系數(shù)。相似原因相似原因: 零狀態(tài)的系統(tǒng)輸入是沖激函數(shù)時，該輸入信號只在t =0時存在。那時，系統(tǒng)在一瞬間輸入了若干能量，儲存在系統(tǒng)的儲能元件里，這就相當(dāng)于系統(tǒng)在 t =0+ 時具有某種初始狀態(tài)。等到 t 0 時，系統(tǒng)已不再有輸入信號，所以響應(yīng)就由上述儲能的狀態(tài)惟一地確定。53.3 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)n輸入為

29、單位階躍信號輸入為單位階躍信號(t) 的零狀態(tài)響應(yīng)分量，稱的零狀態(tài)響應(yīng)分量，稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。記為為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。記為g(t)。n階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系為：階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系為：)()(),()1(tgththtg或（5859證明：)()()(thttg( )( )( )( )( )( )tttdg tthddtthdhddhtgt)()(d ( )( )dtg th t 5960)(t 0t0t1LTI系統(tǒng))(t )(tg)(tg圖2-2 階躍響應(yīng)示意圖6063.4 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的求法的求法n系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等

30、于輸入信號與系統(tǒng)的單系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入信號與系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)之間的卷積積分位沖擊響應(yīng)之間的卷積積分nyf(t)=f(t) * h(t)LTI系統(tǒng)h(t)yf(t)f (t)61n卷積法分析思路卷積法分析思路（1 1）將激勵信號分解為單位沖激信號的線性組合）將激勵信號分解為單位沖激信號的線性組合 ；（2 2）求出單位沖激信號作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)）求出單位沖激信號作用在系統(tǒng)上的響應(yīng) 沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) ；（3 3）利用線性時不變系統(tǒng)的特性，即可求出激勵信號作用下系統(tǒng)的）利用線性時不變系統(tǒng)的特性，即可求出激勵信號作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 。62 為了敘述方便，我們采用如下簡化符號：為了敘

31、述方便，我們采用如下簡化符號： )()(tytf62632.2.4 4 卷積積分卷積積分n 4.1 卷積積分的定義卷積積分的定義n 4.2 卷積的圖解法卷積的圖解法n 4.3 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)n 4.4 卷積計算小結(jié)卷積計算小結(jié)636 4.1 卷積積分的定義卷積積分的定義n具相同自變量的二函數(shù)具相同自變量的二函數(shù)f1(t)， f2(t)的積分：的積分：dtff)()(21稱為該二函數(shù)的卷積積分，簡稱卷積，記為：稱為該二函數(shù)的卷積積分，簡稱卷積，記為：)()()()()(2121tydtfftftf64例求卷積：)()(

32、 tutuetdtuuetutuet)()()()( - )0( 10tet)( 11 tuet解：det 0 66 )(2 )( 16)()(*)()(dtueedthfthtftytf 例例 ：解：)(),() 16()(),( ,)(2tytuethtetfftt求ttfdeety )(2 16)(ttttteeee3226667卷積過程可分解為四步：（1）換元： t換為得f1 （） ， f2（）（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2（）反轉(zhuǎn) f2（）平移t f2（t-）（3）乘積： f1（） f2（t-）（4）積分： 從到對乘積項積分。 4.2 卷積的圖解法卷積的圖解法676868卷積積

33、分的圖解計算卷積積分的圖解計算 步驟步驟 dtfftftftf)()()()()(2121計算計算021)(2f132021)(2tft1t3)()(22ff反折得將圖形向右移動圖形向左移動, 0;, 0tt01)(1f101)(1f1t021)(2f1326969t1t3 例例 dtfftftftf)()()()()(2121計算計算t1t3 和 沒有公共的重疊部分，故卷積01t1t)(2tf)(1f0)()()(21tftftf01)(1f1)(2tf01)(1f1)(2tft021)(tf1324當(dāng)當(dāng) 即即 時：時：110t21t) 1(21211)()()(101021tddtfftf

34、tt即為重疊部分的面積。即為重疊部分的面積。當(dāng)當(dāng) 且且 即即 時：時：t 1132t21211)()()(101021ddtfftf即為重疊部分的面積。即為重疊部分的面積。03tt1t301)(1f1)(2tf7070t1t3 例例 dtfftftftf)()()()()(2121計算計算當(dāng)當(dāng) 即即 時：時： 和和 沒有公共的重疊部分，沒有公共的重疊部分，故卷積故卷積13t4t)(2tf)(1f0)()()(21tftftf01)(1f1)(2tf當(dāng)當(dāng) 即即 時：時：130t43t)4(21211)()()(131321tddtfftftt即為重疊部分的面積。即為重疊部分的面積。t021)(t

35、f1324t1t301)(1f1)(2tf7171tt2tt2 例例 dtfftftftf)()()()()(2121計算計算t0B)(2tf120)(2f12tB2tt2t02)(tf1344AB) 12(4)(2)(10tABdtBAtf02t21 tt110t200214)(2)()()(tABdtBAdtfftftt120t32t) 1(44)(2)(212tABdtBAtft)()()(21tftftf024tAB) 12(2tAB) 1(442 tAB00t10t21t32t3t0A)(1f10A)(1f10A)(1f17272t已知線性非時變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)已知線性非時變系統(tǒng)的沖激

36、響應(yīng) ，激勵信號，激勵信號為為 試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。)()(tetht)()(ttf解：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為：解：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為：)()()()()(ttetfthtytf)()1 ()(00teedetytttf0)(h0)(e17373卷積積分的解析法求解卷積積分的解析法求解)2()( 2)() 1() 1()(21tttftttf例：12122111( )( )( )( )() (1)(1) 2 ()(2)2(1) ()(1) (2)(1) ()(1) (2)2(1)(1)ttf tf tf tff tdttdtdtdtdtddtdtd 21(1)(3)2 (1)

37、(1)(1) (1)(1) (1)(3) (3)2 (1) (1)2(1) (1)(3) (3)tttdttttttttttttttt 74n1、卷積的代數(shù)運算性質(zhì)、卷積的代數(shù)運算性質(zhì)（1）交換律）交換律f1(t)* f2(t)= f2(t) * f1(t) （2）分配律）分配律f1(t)* f2(t) +f3(t) = f1(t) * f2(t)+ f1(t) * f3(t)（3）結(jié)合律）結(jié)合律 f1(t)* f2(t) *f3(t) = f1(t)* f2(t) *f3(t) 4.3 卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)7475n2、(n)(t)與任意信號的卷積與任意信號的卷積)(),()(

38、)()()(為正、負(fù)整數(shù)或零ntfttfnn )()()(tfttf例如，例如，n=0時時n=1時，微分器時，微分器)( )( )(tfttf)()()(0)(0)(ttftttfnnn=1時，積分器時，積分器)()()()1()1(tfttf)()()1(tttdfdtfttf)()()()()(7576n3、卷積的時移特性、卷積的時移特性若若f1(t)* f2(t)= y(t)，則：則： f1(t-t1)* f2(t-t2)=y(t- t1-t2 ) 7677n4、卷積的微分與積分、卷積的微分與積分jinjintftftytftfy(t)jin為整數(shù)或零，且則有若已知,)()()(),()

39、()(2)(1)(217778n5、時限信號間的卷積積分仍為時限信號。若、時限信號間的卷積積分仍為時限信號。若f1(t)， f2(t)占有的時間范圍分別為占有的時間范圍分別為l1， l2 ，則，則y(t)= f1(t)* f2(t)占有的時間范圍占有的時間范圍l=l1 +l2 n結(jié)論：時限信號與任意信號的卷積，必定存結(jié)論：時限信號與任意信號的卷積，必定存在。在。7879n6.用算子法計算卷積用算子法計算卷積 n條件：參與卷積的函數(shù)必須是因果信號。條件：參與卷積的函數(shù)必須是因果信號。若因果信號若因果信號 因果信號因果信號則：則：)()()()()()()()()()()()()()()()()(

40、)()()(212121222111tpFpFtpFtpFtftftytpFttftftpFttftf7980n一些簡單系統(tǒng)的一些簡單系統(tǒng)的h(t)(21123ttp)()()()(tpHthpH)(!111ttnpnnkpket(t)k(p)2ktet(t)()(為正整數(shù)ntpnn)(1tp)(12ttp80沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 轉(zhuǎn)移算子求解法轉(zhuǎn)移算子求解法81 (t)(t)11(t)(t)( )( )11/1/ ( ) ( )()()1 (1) (t)ttteettppttp pppe例求卷積1/p1/(p-)818212 (t)(t)ttee例求卷積8212121212121212(t)(t

41、)11( )( )1( )()()111 ( )()()1() (t)tttteettpptpptppee解：解：8383例例 與沖激函數(shù)的卷積與沖激函數(shù)的卷積t0)(1tt1t1t)(1ttt0TT2Tt0)(tft0)(t*=t0)(tft0)(tf*t0)(1tt1t=t0)()(1tttf1tt0)(tf*=t01t1tt0)(tf*=t0)(tTTTT28484)()2()(2teethtt沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為解：將轉(zhuǎn)移算子按部分分式展開有：解：將轉(zhuǎn)移算子按部分分式展開有：2112)2)(1(3)(ppppppH系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子為 , 已知已知 ，試求全響應(yīng)。試求全響應(yīng)

42、。( )( ), (0 ) 1, (0 ) 2f ttyy233)(2ppppH零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：212( )0ttxy tC eC et2( )430ttxy teet零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：220011( )( )( )22 2022ttttfy th tf te dedeet 235( )( )( )2( )22ttxfy tytyteet代入初始條件得到代入初始條件得到C1=4，C2=-38585已知某線性系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為已知某線性系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為 ,試?yán)镁碓嚴(yán)镁矸e的性質(zhì)求如圖信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。積的性質(zhì)求如圖信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。2( )(21) ( )ts te

43、tt0( )f t12311解一：利用時不變特性：解一：利用時不變特性：( )( )2 (2)(3)f tttt22(2)2(3)( )( )2(2)(3)(21) ( )221 (2)21 (3)fffftttytytytytetetet解二：利用卷積性質(zhì)：解二：利用卷積性質(zhì)：( )( )( )( )( )( )*( )fyth tf ts tf ts tft( )( )2 (2)(3)ftttt22(2)2(3)( )( )( )2 ( )(2)( )(3)( )2 (2)(3)(21) ( )221 (2)21 (3)ftttyts tts tts tts ts ts tetetet86

44、86系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的方框圖表示 ( )f t( )y tH(p)( )( )( )fyth tf t( )f t( )y th(t)( )f t( )y th1(t)h2(t)子系統(tǒng)串聯(lián)：子系統(tǒng)串聯(lián)：12( )( )( )( )fyth th tf t( )f t( )y th1(t) h2(t)等效于：等效于：)()()(21ththth子系統(tǒng)并聯(lián)：子系統(tǒng)并聯(lián)：( )f t( )y th1(t)h2(t)12( )( )( )( )( )fyth tf th tf t等效于：等效于：( )f t( )y th1(t)+ h2(t)()()(21ththth8787如圖所示系統(tǒng)，它由幾個

45、子系統(tǒng)組成。各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如圖所示系統(tǒng)，它由幾個子系統(tǒng)組成。各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為：分別為： ，) 1()(ttha) 3()()(ttthb試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。( )f t( )y t)(tha)(tha)(tha)(thb解：沖激響應(yīng)為解：沖激響應(yīng)為( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )baaay th th th ttth th tt)()()()()(ththtththaaab)2() 1()()(tttthb)5()2()4() 1()3()(tttttt88 例例 某某LTI連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)N有有A、B、C三部分組成。已知三部分組成。已知

46、 ，gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)，f(t)=(t)-(t-2)，求系統(tǒng)，求系統(tǒng)N的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。的沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 )(21)(4tethtAABCNy(t)f(t)8889解解 (1) (1) 系統(tǒng)系統(tǒng)N N的沖激響應(yīng)。的沖激響應(yīng)。8990 (2) (2) 系統(tǒng)系統(tǒng)N N的階躍響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)N N的階躍響應(yīng)為的階躍響應(yīng)為gN(t)444( )( )(4) ( )(4)() ( )ttNNtttgthdeedeedeet 方法一方法一 因為已經(jīng)求得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)因為已經(jīng)求得系統(tǒng)的階躍響應(yīng) )()()(4teet

47、gttN它是輸入為它是輸入為(t)時對應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)。時對應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)。f(t)=(t)-(t-2)2()()()2()()()2(4)2(4teeteetgtgtyttttNNf(3) (3) 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。9091方法二方法二91922.4.4 卷積計算小結(jié)卷積計算小結(jié)n1、定義、圖解；、定義、圖解；n2、性質(zhì)和已知卷積結(jié)果；、性質(zhì)和已知卷積結(jié)果；n3、因果信號之間的卷積、因果信號之間的卷積算子法算子法若因果信號若因果信號 因果信號因果信號則：則：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212121222111tpFpFtpF

48、tpFtftftytpFttftftpFttftf929393卷積表卷積表)()()(tfttf)()()(00ttftttf)()()(tfttfdfttft)()()()()()(tttt2121),()(1)()(1221teetetetttt)()()(ttetetettt942.2.5 5 無時限指數(shù)信號通過系統(tǒng)無時限指數(shù)信號通過系統(tǒng)n 5.1 系統(tǒng)響應(yīng)的分類系統(tǒng)響應(yīng)的分類n 5.2 系統(tǒng)的時域分析法舉例系統(tǒng)的時域分析法舉例n 5.3 無時限指數(shù)信號通過系統(tǒng)無時限指數(shù)信號通過系統(tǒng)949 5.1 系統(tǒng)響應(yīng)的分類系統(tǒng)響應(yīng)的分類n1

49、全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)n2全響應(yīng)分解為自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)全響應(yīng)分解為自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)n3全響應(yīng)分解為暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)分解為暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)95961全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)n全響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)全響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)yx(t)與零狀態(tài)響與零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng) yf(t)之和，即：之和，即： y(t)= yx(t)+ yf(t) 96972全響應(yīng)分解為自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)全響應(yīng)分解為自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)n由系統(tǒng)自然模式組成的響應(yīng)分量，稱為自由響由系統(tǒng)自然模式組成的響應(yīng)分量，稱為自由響應(yīng)又稱固有響應(yīng)

50、，自由響應(yīng)的模式取決于系統(tǒng)應(yīng)又稱固有響應(yīng)，自由響應(yīng)的模式取決于系統(tǒng)的特征根；強迫響應(yīng)又稱強制響應(yīng)，是與激勵的特征根；強迫響應(yīng)又稱強制響應(yīng)，是與激勵相關(guān)的響應(yīng)。相關(guān)的響應(yīng)。97983全響應(yīng)分解為暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)分解為暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)n全響應(yīng)全響應(yīng)y(t)還可以分解為還可以分解為暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng) yT(t)與穩(wěn)態(tài)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)響應(yīng) yS(t)之和，即：之和，即： y(t)= yT(t)+ yS (t)之和，之和，其中：其中：t , yT(t) 0 而而yS (t)不趨于零。不趨于零。98暫態(tài)響應(yīng)分量：系統(tǒng)響應(yīng)中隨著時間增長而趨于零的部分。暫態(tài)響應(yīng)分量：系統(tǒng)響應(yīng)中隨著時間增長而趨于零的部分。穩(wěn)

51、態(tài)響應(yīng)分量：隨著時間增長而趨于穩(wěn)定的部分。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量：隨著時間增長而趨于穩(wěn)定的部分。992.5.3 無時限指數(shù)信號通過系統(tǒng)n若若LTI系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子有特征根有特征根輸入輸入當(dāng)滿足主導(dǎo)條件當(dāng)滿足主導(dǎo)條件否則否則1( ) ( )( )njjjKN pH pD pp。), 2 , 1( ,njj),( :,0tetstsspfepHtyty00)()()()(ty時max00)()(jeeRsR991002.6 LTI 連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析舉例連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析舉例n零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)n零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)n全響應(yīng)全響應(yīng)以階躍函數(shù)和沖擊函數(shù)作為基本信號，將任意以階躍函數(shù)和沖擊函數(shù)作為

52、基本信號，將任意輸入信號表示為沖擊分量的連續(xù)和（積分），輸入信號表示為沖擊分量的連續(xù)和（積分），并用卷積方法求取系統(tǒng)的響應(yīng)并用卷積方法求取系統(tǒng)的響應(yīng)100101求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程 D(p)y(t)=0 ，可根據(jù)，可根據(jù)特征方程特征方程D(p)=0根的兩種不同情況寫出解的一般形式。根的兩種不同情況寫出解的一般形式。tnttnneCeCeCtrn212121)(,1個異實根、特征根為tkketCtCtCCtrk)()(312321階重根、特征根為1.零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)101102n例例1 如圖如圖RLC串聯(lián)諧振電路，已知串聯(lián)諧振電路，已知 L=1H , C=

53、1F , R=2.5 初始條件為：初始條件為：n1、i(0)=0 A , i(0)=1 A/sn2、i(0)=0 A, uc(0)=10 Vn分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應(yīng)。分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應(yīng)。102103n解：前面我們已經(jīng)列出了它的微分方程解：前面我們已經(jīng)列出了它的微分方程 寫成算子形式： 211() ( )( )Rppi tpe tLLCL22121( )2.51(0.5)(2)0.5,2RD pppppLLCpp 22( )( )11( )( )d i tR di tde ti tdtLdtLCLdt103104tteCeCti225 . 01)(1、初始

54、條件為i(0)=0 A , i(0)=1 A/s時32,32125 . 00212121CCCCCC0)(32)(25 . 0teetitt1041052、初始條件為i(0)=0 A , uc(0)=10 V時初始條件uc(0)=10 V不能直接用于確定常數(shù)C1, C2 所以必須轉(zhuǎn)化為i(0)。105( )( )( )( )( )2.5 ( )( )0ccdi tLRi tu te ti ti tu tdt(0)10/iA s 所以0.5212( )tti tC eC e106代入零輸入響應(yīng)的一般形式得：320,3201025 . 00212121CCCCCC0)(320)(25 . 0tee

55、titt1061071、初始條件為i(0)=0 A , i(0)=1 A/s時0)(32)(25 . 0teetitt1071082、初始條件為i(0)=0 A , uc(0)=10 V時0)(320)(25 . 0teetitt1081091、由于電容、由于電容C上的初始電壓上的初始電壓為為10V(i(0)=-10A/s)方向為左方向為左正右負(fù)，所以電容放電，方正右負(fù)，所以電容放電，方向與參考方向相反，曲線在向與參考方向相反，曲線在橫軸下方，由于電路中存在橫軸下方，由于電路中存在電阻將損耗能量，最終電流電阻將損耗能量，最終電流變?yōu)榱?。變?yōu)榱恪?、第一種情況、第一種情況i(0)=1 A/s相相當(dāng)于電容當(dāng)于電容C上的初始電壓為上的初始電壓為-1V方向為右正左負(fù)，所以電方向為右正左負(fù)，所以電容放電方向與參考容放電方向與參考方向相同，方向相同，曲線在橫軸上方。電路的