課題_高數(shù)空間解析幾何

1、曲面討論的兩個(gè)基本問題：曲面討論的兩個(gè)基本問題：（1）已知曲面的形狀，建立這曲面的方程；）已知曲面的形狀，建立這曲面的方程；（2）已知方程）已知方程 F (x, y, z ) =0，研究這方程的圖形；，研究這方程的圖形；二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定直線定直線 L 稱為旋轉(zhuǎn)軸稱為旋轉(zhuǎn)軸.一條一條平面平面曲線曲線 C 繞繞其平面其平面上上一條直線一條直線 L 旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，稱為稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 . 繞繞 z 軸軸旋轉(zhuǎn)所旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程的方程. 建立建立 y oz 面上曲線面上曲線 C : f ( y , z ) = 0 設(shè)設(shè) M( x, y, z )

2、為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)，為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)過點(diǎn) M 作平面垂直于作平面垂直于 z 軸軸，交交 z 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) P ( 0, 0, z )，交曲線交曲線 C 于點(diǎn)于點(diǎn)M0( 0, y0, z0 ).顯然顯然xyzO00,PMPMzz 22,PMxy ,00yPM 220,yxy 因?yàn)橐驗(yàn)?M0 在曲線在曲線 C 上，故上，故 f ( y0 , z0 ) = 0即得即得 C 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程:. 0),(22 zyxf同理同理, C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程:22( ,)0.f yxz C M0. .P . .ML直線直線 L 繞

3、另一條與繞另一條與 L 相交的直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)面叫圓錐面相交的直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)面叫圓錐面圓錐面的頂點(diǎn)圓錐面的頂點(diǎn) ,圓錐面的半頂角圓錐面的半頂角a ( 0 a pa ( 0 a p / / 2)2)a a). .建立以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立以頂點(diǎn)為原點(diǎn),旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸軸, 半頂角半頂角為為 a a 的圓錐面方程的圓錐面方程yoz 坐標(biāo)面上直線坐標(biāo)面上直線L的方程的方程 z = y cota a故故 L 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的方程軸旋轉(zhuǎn)的方程 z = y cota a22xy 令令 cota a = a ,則所求圓錐面方程為則所求圓錐面方程為),(2222yxaz P25例例 4P26例例 5

4、xoz 坐標(biāo)面上的雙曲線坐標(biāo)面上的雙曲線 22221xzac 分別繞分別繞 x、z 軸軸旋旋xzo轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程繞繞 x 軸軸轉(zhuǎn)所得曲面稱為轉(zhuǎn)所得曲面稱為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面, 曲面方程為曲面方程為22yz 2222221xyzacc 繞繞 z 軸軸轉(zhuǎn)所得曲面稱為轉(zhuǎn)所得曲面稱為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面, 曲面方程為曲面方程為22xy 2222221xyzaac xzoyoz 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線 z = ay2 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為方程為),(22yxaz 稱為稱為旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面. 當(dāng)當(dāng) a 0 時(shí)

5、，旋轉(zhuǎn)拋物面的開口向下時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面的開口向下.一般地，一般地， 2222byaxz 所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為橢圓拋物面。橢圓拋物面。xyzO請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)橢球面方程請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)橢球面方程三、柱面三、柱面曲線曲線 C 稱為柱面的稱為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，平移的動(dòng)直線平移的動(dòng)直線 L 叫柱面的叫柱面的母線母線.動(dòng)直線動(dòng)直線 L沿給定曲線沿給定曲線 C 平移所形成的曲面稱為柱面平移所形成的曲面稱為柱面. LC方程方程 f (x , y)= 0 在在 xoy 平面上表示一條曲線平面上表示一條曲線 C 在在 Oxyz 空間坐標(biāo)系中應(yīng)視作三元方程而表示一曲面空間坐標(biāo)系中應(yīng)視作三元方程而表示一曲面S S xy

6、zO設(shè)設(shè) xOy 平面上點(diǎn)平面上點(diǎn) N (x , y) 在曲線在曲線 C 上上, ,即即 f (x , y)= 0 過過 N 作作z 軸平行線軸平行線 l, , 則則l 上的點(diǎn)上的點(diǎn)M (x , y , z)滿足空間坐標(biāo)系滿足空間坐標(biāo)系 Oxyz 中的三元方程中的三元方程 f (x , y)= 0 反之亦然反之亦然 因此方程因此方程 f (x , y)= 0 在在 oxyz 空間空間坐標(biāo)系中表示由平行坐標(biāo)系中表示由平行 z 軸直線軸直線 l沿曲線沿曲線 C 平移所成曲面平移所成曲面. . M. . N 平行于平行于 z 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.方程方程 f(x, y)= 0

7、在空間表示以在空間表示以 xoy 坐標(biāo)面上的坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線，曲線為準(zhǔn)線，類似地，類似地， 方程方程 f( ( y , z) )= 0在空間表示以在空間表示以 yoz 坐標(biāo)面上的坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線，平行于曲線為準(zhǔn)線，平行于 x 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.方程方程 f( ( x , z) )= 0在空間表示以在空間表示以 xoz 坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線，平行于線，平行于 y 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.簡(jiǎn)單地說，平面坐標(biāo)系中的曲線方程簡(jiǎn)單地說，平面坐標(biāo)系中的曲線方程在空間坐標(biāo)系中就表示柱面在空間坐標(biāo)系中就表示柱面-舉例舉例橢圓柱面：橢圓柱面：1

8、2222 byaxxyzOxyzO平行于平行于z 軸的直線為母線軸的直線為母線.xoy 坐標(biāo)面上的橢圓為準(zhǔn)線、坐標(biāo)面上的橢圓為準(zhǔn)線、1422 zx 平行于平行于 y 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面, 方程方程 在空間表示以在空間表示以 xo z 坐標(biāo)面上的橢坐標(biāo)面上的橢圓為準(zhǔn)線，圓為準(zhǔn)線，xyzO2xyzO雙曲柱面雙曲柱面22221xyba平行于平行于z 軸的直線為母線軸的直線為母線.xoy 坐標(biāo)面上的拋物線為準(zhǔn)線、坐標(biāo)面上的拋物線為準(zhǔn)線、平行于平行于z 軸的直線為母線軸的直線為母線.xyzO拋物柱面拋物柱面 x2 = ayxoy 坐標(biāo)面上的拋物線為準(zhǔn)線、坐標(biāo)面上的拋物線為準(zhǔn)線、三元

9、二次方程三元二次方程平面稱為平面稱為一次曲面一次曲面截痕法截痕法： 曲面形狀曲面形狀已知平行截面面積可計(jì)算體積已知平行截面面積可計(jì)算體積; ;已知平行截面形狀可掌握曲面形狀已知平行截面形狀可掌握曲面形狀四、二次曲面四、二次曲面所表示的曲面所表示的曲面稱為稱為二次曲面二次曲面.0),( zyxF二平面的交線是直線二平面的交線是直線; ;平面和曲面的交線是平面曲線平面和曲面的交線是平面曲線; ;二個(gè)曲面的交線是空間曲線二個(gè)曲面的交線是空間曲線; ;曲面方程曲面方程, ,平行平面與曲面相截所得的交線（即截痕）平行平面與曲面相截所得的交線（即截痕）, , 橢圓錐面橢圓錐面22222xyzabxyo當(dāng)當(dāng)

10、 x=0為二條相交直線為二條相交直線 y= bz n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面；的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齊次的：次齊次的： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若準(zhǔn)線準(zhǔn)線頂點(diǎn)頂點(diǎn)n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是錐面是直紋面錐面是直紋面x0z yt是任意數(shù)是任意數(shù) 一般錐一般錐ozyx 橢球面橢球面1222222 czbyax 1、橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：222210 xyabz 222210

11、xzacy 222210yzbcx ozyx2、橢球面橢球面 與平面與平面 z=z0 的交線為的交線為橢圓橢圓同理與平面同理與平面 x = x0 和和 y = y0 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.2222220020201(1)(1),xyzzabccczzz 1222222 czbyax3、橢球面橢球面 的幾種特殊情況：的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax的旋轉(zhuǎn)橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)生成軸旋轉(zhuǎn)生成z122222 czayx可寫成可寫成,)2(cba 1222222 azayax.2222azyx 方程可寫為方程可寫為122222

12、2 czbyax22221xyaa 由圓由圓 繞繞 x 軸或軸或 y 軸旋轉(zhuǎn)生成的軸旋轉(zhuǎn)生成的球面球面xyzO雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax xyzo對(duì)垂直于對(duì)垂直于z 軸的平面軸的平面 z=z022222200221(1)(1)xyzzabcc對(duì)垂直于對(duì)垂直于y 軸的平面軸的平面 y = y022222200221(1)(1)xzyyacbb同樣同樣, 對(duì)垂直于對(duì)垂直于x 軸的平面軸的平面 x = x0當(dāng)當(dāng) | y0|b,實(shí)軸沿實(shí)軸沿 z 軸方向軸方向 1222222 czbyax 例如，儲(chǔ)水塔、例如，儲(chǔ)水塔、電視塔等建筑都電視塔等建筑都有用這種結(jié)構(gòu)的。有用這種

13、結(jié)構(gòu)的。.雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax單葉單葉：雙葉雙葉：yx zo 在平面上，雙曲線有漸近線。在平面上，雙曲線有漸近線。 相仿，相仿，單葉雙曲面單葉雙曲面和和雙葉雙曲面雙葉雙曲面有有漸近錐面漸近錐面。 用用z=z=h h去截它們，當(dāng)去截它們，當(dāng)| |h h| |無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，雙曲面雙曲面的截口橢圓與它的的截口橢圓與它的漸近錐面漸近錐面 的截口橢圓任意接近，即：的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。雙曲面和錐面任意接近。漸近錐面：漸近錐面：錐錐（二）拋物面（二）拋物

14、面2222xyzab橢圓拋物面橢圓拋物面用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 xoy (z = 0) 與曲面相截與曲面相截得坐標(biāo)原點(diǎn)得坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn)頂點(diǎn).xyzo與平面與平面 z=z0 0 的交線為橢圓的交線為橢圓.與平面與平面 x=x0和和 y=y0相交均相交均截得拋物線截得拋物線線線.特殊地：特殊地：當(dāng)當(dāng) a=b這是由拋物線這是由拋物線 y2=a2z 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)生成的軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)?22xyza oyxz雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）2222xyzab對(duì)對(duì) z = z0 ,對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 z00, 0

15、 的的截痕是截痕是雙曲線雙曲線這些雙曲線都以這些雙曲線都以 z0=0所對(duì)應(yīng)的直線所對(duì)應(yīng)的直線 為共同漸近線為共同漸近線byxa 對(duì)對(duì) x = x0 是形狀相同開口朝下的拋物線是形狀相同開口朝下的拋物線對(duì)對(duì) y = y0 則是形狀相同開口朝上的拋物線則是形狀相同開口朝上的拋物線Ll雙曲拋物面是拋物雙曲拋物面是拋物線線 l 當(dāng)其頂點(diǎn)沿拋當(dāng)其頂點(diǎn)沿拋物線物線L平行移動(dòng)所平行移動(dòng)所產(chǎn)生的曲面產(chǎn)生的曲面 zbyax 22222222xyzab當(dāng)當(dāng) x = x0雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）是形狀相同開口朝下的拋物線是形狀相同開口朝下的拋物線220221xzyba 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)拋物線的頂點(diǎn)坐

16、標(biāo) ( x0 , )2020,xa頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足220 xzay 頂點(diǎn)軌跡是頂點(diǎn)軌跡是 xoz 平面上拋物線平面上拋物線馬鞍面與馬鞍面與xoz 平面相交的平面相交的截痕截痕解解平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸為中心軸的圓柱面軸為中心軸的圓柱面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？別表示什么圖

17、形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題思考題思考題思考題 3254222xzyx.316422 xzy表示雙曲線表示雙曲線.解答解答方程方程 3254222xzyx表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？3 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線可視為二曲面的交線空間曲線可視為二曲面的交線P32 例例1 方程組方程組221236xyxz xyz表示的曲線表示的曲線222222()( )22zaxyaaxy 表示的空間曲線表示的空間曲線P3

18、2例例2 方程方程球心在原點(diǎn)球心在原點(diǎn),半徑半徑為為 a 的上半球面的上半球面圓柱面圓柱面: 母線平行于母線平行于z軸軸, 底面是直徑為底面是直徑為 a ,圓心圓心 ( )的圓的圓, 02a) )q qxyz圓柱底面參數(shù)化圓柱底面參數(shù)化 :cos(1 cos )222aaaxxq qq q ,sin2ayq q 參數(shù)參數(shù)q q 的幾何意義的幾何意義: 圓心角圓心角 ,0q q 2p p代入球面方程得代入球面方程得21 cossin22zaaxaaq qq q (1co s)2sin2sin2axayzaq qq qq q 拋物柱面拋物柱面 x2=1-z 和平面和平面 y=0, z=0 及及 x

19、+y=1 所圍立體所圍立體xyz )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線可視為二曲面的交線空間曲線可視為二曲面的交線A MM t xyzo空間動(dòng)點(diǎn)空間動(dòng)點(diǎn)M 在圓柱面在圓柱面 x 2 +y 2 =a 2上以角速率上以角速率 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)同時(shí)又以線速率又以線速率 v 沿平行于沿平行于z 軸的正向上升軸的正向上升( 其中其中 、v 都是常數(shù)都是常數(shù)), 這時(shí)動(dòng)點(diǎn)這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡稱為螺旋線的軌跡稱為螺旋線. 試建立它的參數(shù)方程試建立它的參數(shù)方程 解解 取時(shí)間取時(shí)間 t 為參數(shù)為參數(shù), t =0時(shí)動(dòng)點(diǎn)位于時(shí)動(dòng)點(diǎn)位于 A (a,0,0)設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻

20、 t 時(shí)動(dòng)點(diǎn)時(shí)動(dòng)點(diǎn) M 位于位于 (x, y, z)設(shè)設(shè) M 在在 xoy 平面上的投影平面上的投影M(x, y, 0)yA xt M atax cos tay sin vtz 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程螺距螺距塔高8米,位于飛船頂部,它裝有10臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)P P LCxyzO設(shè)設(shè) L 為已知空間曲線為已知空間曲線, P P 為已知平面為已知平面三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影則以則以 L 為準(zhǔn)線，為準(zhǔn)線，垂直于垂直于 P P 的直線的直線為母線的柱面稱為為母線的柱面稱為L(zhǎng) 關(guān)關(guān)于于 P P 的投影的投影柱面柱面投影柱面與平面投影柱面與平面P P 的交線的交線 C 稱

21、稱為曲線為曲線 L 在在平面平面P P 上的上的投影曲線投影曲線.特別是以特別是以 L 為準(zhǔn)線，為準(zhǔn)線，母線平行于母線平行于 z 軸軸的柱面稱為的柱面稱為L(zhǎng) 關(guān)關(guān)于于 xoy面的面的投影柱面投影柱面, 曲線曲線 C 稱為稱為 L 在在xoy上的上的投影曲線投影曲線. 0),(0),(zyxGzyxF中消去變量中消去變量 z ,得：得：在空間曲線的一般方程：在空間曲線的一般方程：曲線曲線 L 在在 xoy 面面上的上的投影柱面投影柱面 H(x,y) = 0曲線曲線 0),(0),(zyxGzyxF中消去變量中消去變量 z ,得：得：在空間曲線的一般方程：在空間曲線的一般方程： 00),(zyxH

22、類似地：空間曲線類似地：空間曲線 在在 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 0),(0),(zyxGzyxF問題問題: :各個(gè)投影柱面方程是什么各個(gè)投影柱面方程是什么? ?理由是什么理由是什么? ?曲線必在柱面上曲線必在柱面上; ;柱面必包含曲線柱面必包含曲線2222221,:(1)(1)1xyzCxyz 例例求二球面的交線求二球面的交線在在 xo y 坐標(biāo)面上的投影曲線方程坐標(biāo)面上的投影曲線方程.解解這就是消去這就是消去z后所得在后所得在 xoy 坐標(biāo)面的投影柱面方程，坐標(biāo)面的投影柱面方程，因而曲線因而曲線 C 在在

23、xo y 坐標(biāo)面上的坐標(biāo)面上的投影曲線是橢圓投影曲線是橢圓.221()2111240yxz 把把 x2+ y 2+z2 =1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 y+z=1把把 y+z=1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 x2 +2y 2 -2y =0zxy例例 .,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個(gè)立體設(shè)一個(gè)立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去zxyo1C面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx圓圓面面