測(cè)量不確定度

1、測(cè)量誤差與測(cè)量不確定度測(cè)量誤差 測(cè)量誤差被定義為“測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之差” 。以公式表示為： 測(cè)量誤差=測(cè)量結(jié)果-真值。測(cè)量結(jié)果是量的實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)，通常只是對(duì)測(cè)量所得被測(cè)量值的近似或估計(jì)。顯 然它是人們認(rèn)識(shí)的結(jié)果， 不僅與量值本身有關(guān)， 而且與測(cè)量方法、 計(jì)量器具或裝 臵、測(cè)量環(huán)境以及測(cè)量人員等有關(guān)。真值是量的定義的完整體現(xiàn)，是與量的定義完全一致的值。它是通過(guò)完善的 或完美無(wú)缺的測(cè)量， 才能獲得的值。 所以，真值反映了人們力求接近的理想目標(biāo) 或客觀真理， 本質(zhì)上是不能確定的， 實(shí)際上用的是約定真值， 須以測(cè)量不確定度 來(lái)表征其所處的范圍。因而作為測(cè)量結(jié)果與真值之差的測(cè)量誤差，也是不能確定或確切獲

2、知的，它 是一個(gè)定性概念。 隨著科學(xué)技術(shù)水平和人們認(rèn)識(shí)水平的提高， 可以控制和盡量減 小測(cè)量誤差，但不可能完全消除。 從理論上和實(shí)踐上研究測(cè)量誤差， 分析其來(lái)源、 表現(xiàn)形式及性質(zhì)， 正確處理測(cè)量的數(shù)據(jù)， 目的是設(shè)法抵償和減少誤差， 使其處于 允許范圍之內(nèi)，從而保證測(cè)量結(jié)果具有實(shí)用價(jià)值。關(guān)于測(cè)量誤差的來(lái)源，通常從被測(cè)對(duì)象、方法誤差、裝臵或器具誤差、環(huán)境 誤差以及人員誤差等方面考慮分析；分析時(shí)要求既不遺漏，也不重復(fù)。關(guān)于測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式及其性質(zhì)，迄今依然存在著或可分為隨機(jī)誤差、系 統(tǒng)誤差以及疏失或粗大誤差三類(lèi)。 在實(shí)際測(cè)量中，某些誤差的性質(zhì)是難以判斷的， 有時(shí)在判斷上認(rèn)識(shí)不一。隨機(jī)誤差在同一量的

3、多次測(cè)量過(guò)程中， 以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差的分 量。測(cè)量誤差中以不可預(yù)知方式變化的分量， 是指相同條件下多次測(cè)量時(shí)誤差的 絕對(duì)值和符號(hào)變化不定的分量，它時(shí)大時(shí)小，時(shí)正時(shí)負(fù)，不可預(yù)定。事實(shí)上，多次測(cè)量時(shí)的條件不可能絕對(duì)地完全相同， 多種因素的起伏變化或 微小差異綜合在一起，共同影響而致使每個(gè)測(cè)得值的誤差以不可預(yù)定的方式變 化。隨機(jī)誤差按其本質(zhì)被定義為測(cè)得值與對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行大量重復(fù)測(cè)量所得結(jié) 果的平均值之差。這里的重復(fù)測(cè)量，是在“重復(fù)性條件”下進(jìn)行的。所以就單個(gè) 隨機(jī)誤差而言， 它沒(méi)有確定的規(guī)律； 但就誤差的整體而言， 卻服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī) 律，故可用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)其界限或它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

4、隨機(jī)誤差大抵來(lái)源于影響量的變化， 這種變化在時(shí)間上和空間上是不可預(yù)知的或 隨機(jī)的，它會(huì)引起被測(cè)量重復(fù)觀測(cè)值的變化，故稱(chēng)之為“隨機(jī)效應(yīng)” 。由此造成 的測(cè)量結(jié)果的隨機(jī)誤差， 不能通過(guò)修正予以補(bǔ)償， 但因其期望值為零， 故常?？?以通過(guò)增加觀測(cè)次數(shù)使之減少。隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，可歸納為對(duì)稱(chēng)性、有界性和單峰性三條： 對(duì)稱(chēng)性是指絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的誤差。 出現(xiàn)的次數(shù)大致相等， 也即測(cè)得值是 以它們的算術(shù)平均值為中心而對(duì)稱(chēng)分布的。 由于所有誤差的代數(shù)和趨近于零， 故 隨機(jī)誤差又具有抵償性， 這個(gè)統(tǒng)計(jì)特性是最為本質(zhì)的； 換言之， 凡是具有抵償性 的誤差，原則上均為可按隨機(jī)誤差處理。 有界性是指測(cè)得值誤

5、差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的界限， 也即不會(huì)出現(xiàn)絕對(duì)值很大 的誤差。單峰性是指絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差數(shù)目多， 也即測(cè)得值是以它們的算術(shù)平均值為中心而相對(duì)集中地分布。 系統(tǒng)誤差在同一被測(cè)量的多次測(cè)量過(guò)程中， 保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量 誤差的分量。測(cè)量誤差中保持恒定的分量， 是指相同條件下多次測(cè)量時(shí)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保 持固定不變的分量， 它可以通過(guò)替代測(cè)量法、 交換測(cè)量法或反向測(cè)量法等予以抵 償。在相同誤差中， 有時(shí)會(huì)同時(shí)含有恒定不變和規(guī)律性變化的分量。 從對(duì)系統(tǒng)誤差識(shí) 別或掌握的程度來(lái)看， 通常又分為已定和未定兩種： 已定系統(tǒng)誤差是指符號(hào)和絕 對(duì)值已經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差， 又稱(chēng)為表面系

6、統(tǒng)誤差； 未定系統(tǒng)誤差是指符號(hào)或 （和） 絕對(duì)值尚未確定的系統(tǒng)誤差，通?？梢怨烙?jì)其界限。 系統(tǒng)誤差按其本質(zhì)被定義為：對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行大量重復(fù)測(cè)量所得結(jié)果的平均 值，與被測(cè)量真值之差。這里的重復(fù)測(cè)量，是在“重復(fù)性條件”下進(jìn)行的。系統(tǒng) 誤差及其原因， 如同真值或隨機(jī)誤差一樣， 是不能完全認(rèn)知的。 因而系統(tǒng)誤差不 能完全消除，但是經(jīng)常可以減少或抵償。系統(tǒng)誤差大抵來(lái)源于影響量， 它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響若已識(shí)別并可定量表述， 則稱(chēng) 之為“系統(tǒng)效應(yīng)”。該效應(yīng)的大小若與準(zhǔn)確度相比是顯著的，則可通過(guò)估計(jì)的修 正值予以補(bǔ)償。另外，為了盡可能消除系統(tǒng)誤差， 計(jì)量器具經(jīng)常地用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)進(jìn)行調(diào) 整或校準(zhǔn)；但是同時(shí)

7、須考慮的是：這些標(biāo)準(zhǔn)本身仍帶著不確定度。粗大誤差 明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。 粗大誤差明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果， 它往往是由于粗心大意而錯(cuò)誤讀取示值 （諸如讀 錯(cuò)、記錯(cuò)、算錯(cuò)），使用有缺陷的計(jì)量器具，計(jì)量器具使用不當(dāng)，或過(guò)大的環(huán)境 干擾（例如測(cè)量過(guò)程中受到突然沖擊、振動(dòng)、氣流、溫變）等原因所致，也稱(chēng)為 疏失誤差、寄生誤差或粗差。對(duì)含有粗差的異常值，應(yīng)從測(cè)控?cái)?shù)據(jù)中剔除。在測(cè)量過(guò)程中，若發(fā)現(xiàn)有的測(cè) 量條件不符合規(guī)定的要求， 可將該測(cè)量數(shù)據(jù)從記錄中劃去， 但須注明原因。 在測(cè) 量完成后， 為判斷某個(gè)測(cè)得值是否異常， 可利用粗差剔除準(zhǔn)則， 例如格拉布斯標(biāo) 準(zhǔn)、狄克遜標(biāo)準(zhǔn)及3 c準(zhǔn)則等。所以，要估計(jì)的誤差

8、實(shí)際上只有系統(tǒng)誤差和隨機(jī) 誤差兩類(lèi)。 測(cè)量準(zhǔn)確度 表示測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的（約定）真值之間的一致程度。 準(zhǔn)確度是一個(gè)定性的概念， 反映了測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合， 即測(cè) 量結(jié)果既不偏離真值， 測(cè)得值之間又不分散的程度。 所謂定性的即性質(zhì)上的或品 質(zhì)上的概念， 意味著可以用準(zhǔn)確度的高低表示測(cè)量的品質(zhì)或測(cè)量的質(zhì)量， 即準(zhǔn)確 度高指其不確定度小，準(zhǔn)確度低指其不確定度大。 特別應(yīng)注意，不要用術(shù)語(yǔ)“精密度”來(lái)表示“準(zhǔn)確度” ，因?yàn)榍罢邇H反映分散性， 不能替代后者。 多次對(duì)同一量測(cè)量所得的分散性可能很小， 但若測(cè)得值與真值都 差同一個(gè)較大的值，則測(cè)量“正確度”顯然不高，故測(cè)量準(zhǔn)確度仍然是低下的。

9、測(cè)量重復(fù)性 在實(shí)際相同測(cè)量條件下， 對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量時(shí)， 其測(cè)量結(jié)果之間的 一致性。 實(shí)際相同測(cè)量條件下是指下述所有的條件： 相同的測(cè)量程序；相同的觀測(cè)者；在相同條件下使用相同的計(jì)量器具；相同的地點(diǎn)；在短時(shí)間內(nèi)重復(fù)測(cè)量；這些條件也可稱(chēng)為“重復(fù)性條件”。測(cè)量重復(fù)性的完整稱(chēng)呼應(yīng)當(dāng)是“測(cè)量結(jié)果的 重復(fù)性”，它可以用測(cè)量結(jié)果的分散性來(lái)定量地表示。通俗的說(shuō)，就是用在盡量 相同的條件（程序、人員、裝臵、環(huán)境等）下和在盡量短的時(shí)間內(nèi)（以致隨時(shí)間 變化可以忽略）所得測(cè)量結(jié)果的分散性，來(lái)表示測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性。計(jì)量器具的誤差基本誤差計(jì)量器具在標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差。基本誤差也稱(chēng)為固有誤差。它是在標(biāo)準(zhǔn)條

10、件下工作的計(jì)量器具的誤差，主要來(lái)源 于計(jì)量器具自身的缺陷，諸如機(jī)械的、光學(xué)的或電氣的性能不完善等固有的因素。 因此，在評(píng)價(jià)計(jì)量器具的性能時(shí)，比方在劃分準(zhǔn)確度等級(jí)時(shí)，主要以基本誤差作 為衡量的依據(jù)。允許誤差技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)、檢定規(guī)程等對(duì)計(jì)量器具所規(guī)定的允許的誤差極限值。由于規(guī)定的是誤差極限值，所以這里的允許誤差實(shí)際上是最大允許誤差， 它可以 用絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差表示。引用誤差計(jì)量器具的絕對(duì)誤差與其特定值之比。特定值一般稱(chēng)為引用值，它可以是計(jì)量器具的量程、標(biāo)稱(chēng)范圍的最高值或測(cè)量范 圍的上限值等等。例如：某臺(tái)標(biāo)稱(chēng)范圍為0 150V的電壓表，當(dāng)在示值為100.0V處，用標(biāo)準(zhǔn)電壓 表校準(zhǔn)所得到的實(shí)際值為99.4

11、V，故該處的引用誤差為：100.0 -99.4"00% =0.4%150而該處的相對(duì)誤差則為：100.0 -99.499.4100% =0.6%3當(dāng)用測(cè)量范圍的上限值作為引用值時(shí)，也可稱(chēng)之為滿量程誤差或滿度誤差，并在 誤差數(shù)字后附以Full Scale的縮寫(xiě)符號(hào)F.S或FS。例如：某測(cè)力傳感器的滿量程誤差為0.05%F.S等。由相對(duì)誤差的表達(dá)式可知：對(duì)于示值的絕對(duì)誤差S在量程內(nèi)大致相等的計(jì)量器具，當(dāng)測(cè)量點(diǎn)靠近測(cè)量范圍上限時(shí)，相對(duì)誤差SR小，而靠近下限時(shí)S R大，即相對(duì)誤差是隨示值而變化的。為了便于計(jì)算和劃分準(zhǔn)確度等級(jí)，有必要選擇某一 特定值為分母，從而引入了 “引用誤差”的概念，實(shí)際

12、上它是實(shí)用而方便的相對(duì) 誤差。例如：壓力表的準(zhǔn)確度等級(jí)0.4級(jí)，通常表明其引用誤差不會(huì)超過(guò) 0.4%,即 引用誤差的極限值為0.4%,即當(dāng)測(cè)量范圍為0 10Mpa時(shí)，測(cè)量點(diǎn)X附近的示值 允許誤差為：絕對(duì)允許誤差SW 10=0.4%相對(duì)允許誤差S RW X10 0.4%從引用誤差的觀點(diǎn)看，X接近滿量程10Mpa時(shí)，測(cè)量的準(zhǔn)確度趨高，而遠(yuǎn)離 滿量程時(shí)趨低。因此，以引用誤差表示的計(jì)量器具，應(yīng)盡量在其測(cè)量范圍上限的鄰近或者量 程的 75以上使用。即在選擇這類(lèi)計(jì)量器具時(shí)，應(yīng)兼顧準(zhǔn)確度等級(jí)及測(cè)量范圍 上限或量程。五、【計(jì)量器具】的準(zhǔn)確度計(jì)量器具給出接近于被測(cè)量真值的示值的能力。 測(cè)量準(zhǔn)確度是一個(gè)定性的概念

13、， 而這里的準(zhǔn)確度是指計(jì)量器具給出準(zhǔn)確示值 的能力；換言之，可用它來(lái)定性地表示計(jì)量器具的品質(zhì)或特性。例如：準(zhǔn)確度為某級(jí)的壓力表，準(zhǔn)確度為某等的標(biāo)準(zhǔn)砝碼，準(zhǔn)確度等級(jí)為某 一代號(hào)的稱(chēng)重傳感器，等等。準(zhǔn)確度盡管是定性的概念，但具體來(lái)講，還是可以定量表征的。例如：準(zhǔn)確 度為0.1級(jí)的壓力表，其滿量程誤差為0.1%FS所以，計(jì)量器具的準(zhǔn)確度往往 用誤差來(lái)表征， 但誤差和準(zhǔn)確度屬于不同的概念， 兩者之間不能劃等號(hào)。 值得提 醒的是，測(cè)量準(zhǔn)確度是針對(duì)測(cè)量結(jié)果來(lái)說(shuō)的， 而這里的準(zhǔn)確度是針對(duì)計(jì)量器具性 能來(lái)說(shuō)的。六、【計(jì)量器具的】重復(fù)性和重復(fù)性誤差 計(jì)量器具的重復(fù)性被定義為：在規(guī)定的使用條件下，重復(fù)用相同的激勵(lì)

14、，計(jì) 量器具給出非常相似相應(yīng)的能力。規(guī)定的使用條件是指下述所有的條件：由觀測(cè)者帶來(lái)的變化減至最??；在相同的地點(diǎn)；在相同的工作條件下； 在短時(shí)間內(nèi)重復(fù)； 計(jì)量器具的重復(fù)性，可以用計(jì)量器具示值的分散性來(lái)定量地表示。 值得強(qiáng)調(diào)的是， 測(cè)量重復(fù)性是針對(duì)測(cè)量結(jié)果來(lái)說(shuō)的， 而計(jì)量器具的重復(fù)性是針對(duì)計(jì)量器具性能而 言。計(jì)量器具的重復(fù)性誤差則是“計(jì)量器具的隨機(jī)誤差分量” 。重復(fù)性誤差是指計(jì)量 器具示值的隨機(jī)誤差，它可以用規(guī)定的使用條件下示值的分散性來(lái)定量地表示， 即用計(jì)量器具的重復(fù)性表示。顯然，它是衡量計(jì)量器具性能的指標(biāo)之一。 事實(shí)上，重復(fù)性誤差與重復(fù)性的含義類(lèi)似， 只是定義的角度不同， 習(xí)慣上叫法不 一。從

15、誤差的角度，對(duì)應(yīng)于計(jì)量器具示值的系統(tǒng)誤差，人們還定義了偏移誤差。 值得強(qiáng)調(diào)的是， 這里的重復(fù)性誤差和偏移誤差都是針對(duì)計(jì)量器具示值而言的， 而 測(cè)量重復(fù)性、測(cè)量誤差及其系統(tǒng)誤差或隨機(jī)誤差等，都是針對(duì)測(cè)量結(jié)果而言的， 它們都可定量表示。七、測(cè)量不確定度表征被測(cè)量的真值所處量值范圍的評(píng)定。這里的評(píng)定指的是估計(jì)或估計(jì)值，這就是說(shuō)，測(cè)量不確定度是一個(gè)估計(jì)值， 用它來(lái)表征被測(cè)量真值所處的量值范圍。 換言之，它表示測(cè)量結(jié)果附近的一個(gè)范 圍或區(qū)間， 而被測(cè)量真值以一定的概率落于其中。 所以，它是對(duì)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量?jī)?yōu) 劣的一種評(píng)定： 測(cè)量結(jié)果愈接近真值， 其質(zhì)量愈高， 則測(cè)量不確定度愈小， 反之， 測(cè)量結(jié)果愈遠(yuǎn)離真

16、值，其質(zhì)量愈低，則測(cè)量不確定度愈大。從計(jì)量學(xué)的觀點(diǎn)看，一切測(cè)量結(jié)果不但要附有計(jì)量單位，而且還必須附有測(cè) 量不確定度，才算是完整的測(cè)量報(bào)告，沒(méi)有單位的數(shù)據(jù)不能表征被測(cè)量的大小， 沒(méi)有不確定度的測(cè)量結(jié)果不能判定測(cè)量技術(shù)的水平和測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量， 從而失去 或減弱測(cè)量結(jié)果的可比性?！皽y(cè)量不確定度”是合理地表征被測(cè)量分散程度的一個(gè)參數(shù)。它與誤差緊密 相連但卻有區(qū)別：測(cè)量誤差定義為測(cè)量結(jié)果與其真值之差，這是一個(gè)理想化的概念，因它的真 值常常不能確切地知道，假如知道它的修正值（或更精確的近似值） ，則可修正 該測(cè)量結(jié)果，使其更接近真值。測(cè)量不確定度是對(duì)影響產(chǎn)生誤差的分散性的估計(jì)， 即它是用以表示測(cè)量結(jié)果 分

17、散區(qū)間的量值，也就是描述未定誤差特征的量值，是可以用估計(jì)方法求出的。 “不確定度”不是指具體的、確切的誤差值，雖可估計(jì)出，但卻不能用于修正量 值。注意：一個(gè)量值用修正值修正后，可能會(huì)更靠近真值，但由于增加了運(yùn)算環(huán) 節(jié)，其不確定度不但不減小， 有時(shí)反而會(huì)更大。 這主要還是因?yàn)槲覀儾荒艽_切知 道真值為多少，僅對(duì)測(cè)量結(jié)果靠近真值程度或離開(kāi)真值程度所作的估計(jì)而已。先介紹幾個(gè)名詞的含義標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的測(cè)量結(jié)果的不確定度， 稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 按照估計(jì)方法的不同， 它可分為兩類(lèi)： 用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算者， 稱(chēng)為 A 類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定 度，或稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度的 A 類(lèi)估算法；不同于 A 類(lèi)的其它方法計(jì)

18、算者，稱(chēng)為 B 類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，或稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度的 B 類(lèi)估算法。將標(biāo)準(zhǔn)不確定度區(qū)分為A類(lèi)和B類(lèi)的目的，只說(shuō)明計(jì)算方法的不同，以便于 研究，并非表明兩種方法得到的分量在本質(zhì)上存在差異， 兩種方法均基于概率分 布。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 根據(jù)其它一些量值的測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度求出被測(cè) 結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度， 它等于各項(xiàng)分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的平方和的正平方根， 即通 常所說(shuō)的方和根。擴(kuò)展不確定度，又稱(chēng)總不確定度：是指定義測(cè)量結(jié)果區(qū)間的有關(guān)量，即被測(cè) 量的值以某一可能性 （即臵信水平） 落入該區(qū)間中。 擴(kuò)展不確定度一般是該區(qū)間 的半寬，我們過(guò)去常說(shuō)誤差界限與此類(lèi)似。覆蓋因子：為獲得控制不確定度，作為合成標(biāo)

19、準(zhǔn)不確定度乘數(shù)的數(shù)字因子。 亦可以說(shuō)，它是擴(kuò)展不確定度與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的比值，過(guò)去用3 c表示極限誤差，其中的“ 3”有些類(lèi)似于覆蓋因子。測(cè)量不確定度的來(lái)源可能有： 被測(cè)量的不完整的定義； 被測(cè)量定義復(fù)現(xiàn)的不理想； 取樣被測(cè)樣品不能代表定義的被測(cè)量； 沒(méi)有充分了解環(huán)境條件對(duì)測(cè)量過(guò)程的影響，或環(huán)境條件的不完善； 模擬儀表讀數(shù)時(shí)有人為的固定系統(tǒng)誤差；儀器分辨率或鑒別閾值； 賦予測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值； 根據(jù)外部來(lái)源獲得并在數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化計(jì)算中使用的常數(shù)及其它參數(shù)值； 測(cè)量方法和測(cè)量過(guò)程中引入的近似值及假設(shè)； 在相同條件下被測(cè)量重復(fù)觀測(cè)值的變化。未被認(rèn)識(shí)的系統(tǒng)影響也會(huì)導(dǎo)致誤差的出現(xiàn) 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算正態(tài)分

20、布用均值和方差所定義的鐘形概率分布密度函數(shù)或曲線，稱(chēng)為正態(tài)分布。其密度函 數(shù)表達(dá)式為：Y（x） =exp _（x；a）g2兀2cr1可簡(jiǎn)單等價(jià)表示為：X N （a, （7 2）式中：a為無(wú)窮多個(gè)測(cè)得值的算術(shù)平均值，72和7分別稱(chēng)為測(cè)得值或其誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，指數(shù)函數(shù) exp（z）=e2，冗3.1416和e 2.7183為數(shù)學(xué)常數(shù)， X為隨機(jī)變量，N表示正態(tài)分布。A和72兩個(gè)參數(shù)一經(jīng)確定，正態(tài)密度函數(shù)也就確定了。統(tǒng)計(jì)特征【數(shù)學(xué)】期望【值】是指對(duì)同一量的無(wú)窮多測(cè)得值的算術(shù)平均。方差是指無(wú)窮多個(gè)誤差平方的算術(shù)評(píng)平均。標(biāo)準(zhǔn)偏差7為方差的正平方根。隨機(jī)變量X的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差也常用下列數(shù)學(xué)符號(hào)表

21、示為：fEx= a，Dx=7 2， + DX =-對(duì)應(yīng)誤差二二x - a，則有E6=0,d6=u2豐 J=厲（分布曲線圖）常用術(shù)語(yǔ)如圖所示：P"-稱(chēng)為臵信水平，臵信概率，臵信度。它表示隨機(jī)變量或誤差落在區(qū)間（£aGCaG中的可能性。a稱(chēng)為顯著形水平，顯著度；Ca稱(chēng)為臵信因子，分位數(shù)、百分點(diǎn)臨界值；Cac稱(chēng)為臵信限；（一Ca二,C亦）稱(chēng)為臵信區(qū)間 正態(tài)分布臵信因子表2正態(tài)分布臵信因子dPCa0.50.50.67450.31730.682710.050.951.960.04550.954520.010.992.580.00270.99733誤差絕對(duì)值大于3 7的概率僅為0.00

22、27 0.3%，粗略地說(shuō)，在1000個(gè)誤差中,只有3個(gè)超過(guò)3c。100個(gè)誤差中，只有0.3個(gè)（0.30）超過(guò)3 c。故測(cè)量次 數(shù)不多的測(cè)量，其誤差沒(méi)有一個(gè)超過(guò) 3 c是正常的。如果有超過(guò)3 c的誤差，則 出現(xiàn)了異常。由此，可建立粗大誤差或異常值的剔除準(zhǔn)則。我國(guó)常常采用 3 c作 為正常的誤差界限的依據(jù)，在國(guó)外也有用 2 c的。臵信因子的重要作用在于：當(dāng)已知誤差限時(shí)，用此限除以臵信因子，可得到標(biāo)準(zhǔn) 偏差；當(dāng)已知標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，用此標(biāo)準(zhǔn)偏差乘以臵信因子，可獲得對(duì)應(yīng)的誤差限。t分布或?qū)W生分布貝賽爾公式在實(shí)際相同的條件下，對(duì)某一穩(wěn)定的是進(jìn)行幾次測(cè)量，值得XI,，Xn?？汕蟮茫核阈g(shù)平均值：X = (X1 .

23、 Xn)/n殘余誤差：Vi二 Xi x , 1=1，.n殘余平方和：Q =vf v；自由度：二n “標(biāo)準(zhǔn)偏差（估計(jì)值）：（此式稱(chēng)貝賽爾公式）x的標(biāo)準(zhǔn)偏差：（x）二S/.何謂自由度？自由度是殘余誤差平方和中獨(dú)立項(xiàng)的數(shù)目。因?yàn)椋簐 Xl _ x Vn K X可求得：W Vn Xn - nX =0亦即，若已知V1,，v2，則通過(guò)上述條件可求得Vn，故獨(dú)立的殘余誤差只有n-1 個(gè)。請(qǐng)注意：在n個(gè)測(cè)量值中，確定一個(gè)被測(cè)量值為 X，自由度為n-1。在更廣 義的情況下，如果n個(gè)測(cè)量值用最小二乘法確定出 m個(gè)不同的被測(cè)量值，則其自 由度為n-m。例：對(duì)某量等精度測(cè)量 5次得：29.18, 29.24, 29.

24、27, 29.25, 29.26，求平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。-29.18+29.24+29.27 +29.25 +29.26“ cx29.245Vi = 一0.06，0，0.03，0.01，0.02從上可見(jiàn)，S與C是有所不同的，S是在有限的幾次測(cè)量中求得的，它是C的估計(jì)值，當(dāng)n 時(shí)，S；.。所以，稱(chēng)c為理論或總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，S稱(chēng)為樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值。在不發(fā)生誤解時(shí)，簡(jiǎn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差。ISO稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。當(dāng)n心 時(shí)，S 二，可見(jiàn)，正態(tài)分布是t分布的極限分布，是t分布的一 個(gè)特例；而t分布是包含了正態(tài)分布的一個(gè)更為廣義的分布。t分布臵信因子設(shè)自由度為：，臵信水平為P,對(duì)應(yīng)t分布的臵信因子為tp（），該值可從表2 中查取。上例中，二4，x = 29.24 , S=0.035,給定臵信水平 P= 99%,查表以9（4） = 4.60，對(duì)應(yīng)臵信限為：E = 4.60 0.035/ . 5 = 0.072。即被測(cè)量以99%的概率落在以下區(qū)間：29.240.072 或29.168, 29.312自由度V臵信水平P%67.28909595.459999.7311.846.3112.7113.9763.66235.8021.322.924.304.539.9219.2131.202.353.183.315.849.