二元函數(shù)的泰勒公式

1、一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函數(shù)的泰勒公式：一元函數(shù)的泰勒公式：意義：可用意義：可用n次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù))(xf，且，且誤差是當(dāng)誤差是當(dāng)0 xx 時(shí)比時(shí)比nxx)(0 高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 能否用多個(gè)變量的多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)一個(gè)能否用多個(gè)變量的多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)一個(gè)給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小.即即 設(shè)設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一

2、鄰域內(nèi)連續(xù)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到且有直到1 n階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , ),(00hyhx 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn), ,能否把函數(shù)能否把函數(shù)),(00kyhxf 近似地表達(dá)為近似地表達(dá)為00,yykxxh 的的n次多項(xiàng)次多項(xiàng)式，且誤差是當(dāng)式，且誤差是當(dāng)022 kh 時(shí)比時(shí)比n 高階的高階的無(wú)窮小無(wú)窮小定理定理 設(shè)設(shè)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一鄰域內(nèi)連的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到續(xù)且有直到1 n階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , ),(00hyhx 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn), ,則有則有二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式)10(),()!1(1

3、),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中記號(hào)其中記號(hào)),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地,記號(hào)記號(hào)表示表示),(00yxfykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC 證證引入函數(shù)引入函數(shù)).10(),()(00 tktyhtxft顯然顯然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由

4、由 的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx ),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC 利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn將將),()0(00yxf , ,),()1(

5、00kyhxf 及及上面求得的上面求得的)(t 直到直到n階導(dǎo)數(shù)在階導(dǎo)數(shù)在0 t的值的值, ,以及以及)()1(tn 在在 t的值代入上式的值代入上式. .即得即得)1(,),(!1),(! 21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf 其中其中)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn證畢證畢 公公式式)1(稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的n階階泰泰勒勒公公式式, ,而而nR的的表表達(dá)達(dá)式式)2(稱稱為為拉拉格格朗朗日日型型余余項(xiàng)項(xiàng). . 由二元函數(shù)的泰勒公式知由二元函數(shù)的

6、泰勒公式知, , nR的絕對(duì)值在的絕對(duì)值在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的某一鄰域內(nèi)都不超過(guò)某一正常數(shù)的某一鄰域內(nèi)都不超過(guò)某一正常數(shù)M. .于是于是, ,有下面的誤差估計(jì)式有下面的誤差估計(jì)式: : )3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知, ,誤誤差差nR是是當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)比比n 高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小. .當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,公公式式)1(成成為為),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式稱為上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.推推論論 如如果果函函數(shù)

7、數(shù)),(yxf的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(yxfx, ,),(yxfy在在某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)都都恒恒等等于于零零, ,則則函函數(shù)數(shù)),(yxf在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)為為一一常常數(shù)數(shù). . 在泰勒公式在泰勒公式)1(中中, ,如果取如果取0, 000 yx, ,則則)1(式成為式成為n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. .),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函數(shù)求函數(shù))1ln(),(yxyxf 的三階麥的三階麥克勞林公式克勞林公式. .解解,11),(),(

8、yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0 , 0(

9、 f, ,故故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR三、極值充分條件的證明三、極值充分條件的證明定理定理 2 2（充分條件）（充分條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理2則則),

10、(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)有極值，時(shí)有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒(méi)有極值；時(shí)沒(méi)有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值. .證證依二元函數(shù)的泰勒公式，依二元函數(shù)的泰勒公式，對(duì)于任一對(duì)于任一)(),(0100PUkyhx 有有),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6()1( 設(shè)設(shè)02 BAC, ,即即 . 0),(),(

11、),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因),(yxf的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在)(01PU內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在點(diǎn)點(diǎn)0P的的鄰鄰域域)()(0102PUPU , ,使使得得對(duì)對(duì)任任一一)(),(0200PUkyhx 有有 . 02 xyyyxxfff)8(注注: :將將),(yxfxx在在點(diǎn)點(diǎn)),(00kyhx 處處的的值值記記為為xxf, ,其其他他類類似似. . 由由)8(式式可可知知, ,當(dāng)當(dāng))(),(0200PUkyhx 時(shí)時(shí), ,xxf及及yyf都都不不等等于于零零且且兩兩者者同同號(hào)號(hào). .于于是是)6(式式可可寫寫成

12、成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 當(dāng)當(dāng)kh、不同時(shí)為零且不同時(shí)為零且)(),(0200PUkyhx 時(shí)時(shí), ,上式右端方括號(hào)內(nèi)的值為正上式右端方括號(hào)內(nèi)的值為正, ,所以所以f 異于零且異于零且與與xxf同號(hào)同號(hào). . 又又由由),(yxf的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性知知xxf與與A同同號(hào)號(hào), ,因因此此f 與與A同同號(hào)號(hào), ,當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)時(shí)),(00yxf為為極極小小值值, ,當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)時(shí)),(00yxf為為極極大大值值. .)2( 設(shè)設(shè)02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先假定先假定,

13、0),(),(0000 yxfyxfyyxx則則. 0),(00 yxfxy分別令分別令hk 及及hk , ,則由則由)6(式可得式可得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其其中中.1,021 當(dāng)當(dāng)0h時(shí)時(shí), ,以上兩式方括號(hào)內(nèi)的式子分別以上兩式方括號(hào)內(nèi)的式子分別趨于極限趨于極限),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 從而當(dāng)從而當(dāng)h充分接近零時(shí)充分接近零時(shí), ,兩式方括號(hào)內(nèi)的值有兩式方括號(hào)內(nèi)的值有相反的符號(hào)相反的符號(hào), ,因此因

14、此f 可取不同符號(hào)的值可取不同符號(hào)的值, ,所以所以),(00yxf不是極值不是極值. . 再證再證),(),(0000yxfyxfyyxx與與不同時(shí)為零的情形不同時(shí)為零的情形. .不妨不妨. 0),(00 yxfxy先取先取0 k, ,于是由于是由)6(式得式得).,(21002yhxfhfxx 當(dāng)當(dāng)h充分接近零時(shí)充分接近零時(shí), , f 與與),(00yxfxx同號(hào)同號(hào). .但但如如果果取取 ,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy 其中其中s是異于零但充分接近于零的數(shù)是異于零但充分接近于零的數(shù), ,則可發(fā)現(xiàn)則可發(fā)現(xiàn), ,當(dāng)當(dāng)s充分小時(shí)充分小時(shí), , f 與與),(00yxfxx

15、異號(hào)異號(hào). . 如如此此證證明明了了: :在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的任任意意鄰鄰近近, , f 可可取取不不同同符符號(hào)號(hào)的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是極極值值. .)3(考察函數(shù)考察函數(shù)42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證, ,這兩個(gè)函數(shù)都以這兩個(gè)函數(shù)都以)0 , 0(為駐點(diǎn)為駐點(diǎn), ,且在點(diǎn)且在點(diǎn))0 , 0(處都滿足處都滿足02 BAC. .但但),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處有極小值處有極小值, ,而而),(yxg在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(處卻沒(méi)有極值處卻沒(méi)有極值. .1 1、二元函數(shù)的泰勒公式；、二元函數(shù)的泰勒公式；四、小結(jié)四、小結(jié)2 2、二元函數(shù)的拉格朗日中值公式；、二元函數(shù)的拉格朗日中值公式；n3 3、 階麥克勞林公式；階麥克勞林公式；4 4、極值充分條件的證明、極值充分條件的證明. .練練 習(xí)習(xí) 題題的泰勒公式的泰勒公式點(diǎn)點(diǎn)在在一、求函數(shù)一、求函數(shù))2, 1(5362),(22 yxyxyxyxf的的