(結(jié)構(gòu)動力學(xué)5)任意荷載反應(yīng)時域頻域86

1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)（2010）結(jié)構(gòu)動力學(xué) 第五章 單自由度體系對任意荷載的反應(yīng) 在實際工程中，很多動力荷載既不是簡諧荷載，也不是周期性荷載，而是隨時間任意變化的荷載，需要采用更通用的方法來研究任意荷載作用下體系的動力反應(yīng)問題。 本章介紹三種動力反應(yīng)問題的分析方法： 時域分析方法Duhamel積分法， 頻域分析方法Fourier變換法， 時域逐步積分法中心差分法；Newmark法； Wilson法。 前兩種方法適用于處理線彈性結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)問題，而第三種方法可用于處理非線性問題。根據(jù)Duhamel積分法簡要討論在沖擊荷載作用下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)的特點，地面運動作用下結(jié)構(gòu)的運動，并簡單介紹地震反應(yīng)譜的概念。5.1

2、 時域分析方法Duhamel積分 1、單位脈沖反應(yīng)函數(shù) 單位脈沖：作用時間很短，沖量等于1的荷載。 單位脈沖反應(yīng)函數(shù)：單位脈沖作用下體系動力反應(yīng)時程 5.1 時域分析方法Duhamel積分 1、單位脈沖反應(yīng)函數(shù) 在t=時刻的一個單位脈沖作用在單自由體系上，使結(jié)構(gòu)的質(zhì)點獲得一個單位沖量，在脈沖結(jié)束后，質(zhì)點獲得一個初速度 ：當(dāng)0時 ：由于脈沖作用時間很短，0，質(zhì)點的位移為零 ：1)()(dttpummu1)(0)(u5.1 時域分析方法Duhamel積分 1、單位脈沖反應(yīng)函數(shù) 無阻尼體系的單位脈沖反應(yīng)函數(shù)為：有阻尼體系的單位脈沖反應(yīng)函數(shù)為：mu1)(0)(utttmtuthnn0)(sin1)()

3、(tttemtuthDtDn0)(sin1)()()(5.1 時域分析方法Duhamel積分 1、單位脈沖反應(yīng)函數(shù) 5.1 Duhamel積分 2、對任意荷載的反應(yīng) 將作用于結(jié)構(gòu)體系的外荷載p()離散成一系列脈沖，首先計算其中任一脈沖p()d的動力反應(yīng) ：在任意時間t結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，等于t以前所有脈沖作用下反應(yīng)的和 ：tthdptdu, )()()(ttdthpdutu00)()()(5.1 時域分析方法Duhamel積分 2、對任意荷載的反應(yīng) 無阻尼體系動力反應(yīng)的Duhamel積分公式 ：阻尼體系動力反應(yīng)的Duhamel積分公式： tdthptu0)()()(ttmtuthnn)(sin1)()

4、(ttemtuthDtDn)(sin1)()()(tnndtpmtu0)(sin)(1)(tDtDdtepmtun0)()(sin)(1)(tdthptu0)()()(5.1 時域分析方法Duhamel積分 Duhamel（杜哈曼）積分給出的解是一個由動力荷載引起的相應(yīng)于零初始條件的特解。如果初始條件不為零，則需要再疊加上由非零初始條件引起的自由振動，其解的形式已在第三章給出。例如，對于無阻尼體系，當(dāng)存在非零初始條件時，問題的完整解為： tnnndthptututu0)()(sin)0(cos)0()(5.1 時域分析方法Duhamel積分 杜哈曼積分法給出了計算線性SDOF體系在任意荷載作用

5、下動力反應(yīng)的一般解，適用于線彈性體系。因為使用了疊加原理，因此它限于彈性范圍而不能用于非線性分析。如果荷載p(t)是簡單的函數(shù)，則可以得到封閉解（closed-form）。如果p(t)是一個很復(fù)雜的函數(shù)，也可以通過數(shù)值積分得到問題的解。但從實際應(yīng)用上看，采用數(shù)值積分時，其計算效率不高，因為對于計算任一個時間點t 的反應(yīng)，積分都要從0積到t，而實際要計算一時間點系列，可能要幾百到幾千個點。這時可采用效率更高的數(shù)值解法，在以后將介紹。雖然在實際的計算中并不常用Duhamel積分法，但它給出了以積分形式表示的體系運動的解析表達(dá)式，在分析任意荷載作用下體系動力反應(yīng)的理論研究中得到廣泛應(yīng)用。5.2 頻域

6、分析方法Fourier變換法 Fourier變換的定義為：速度和加速度的Fourier變換為： 逆變換正變換deUtudtetuUtiti)(21)()()()()()()(2UdtetuUidtetutiti 5.2 頻域分析方法Fourier變換法 單自由度體系時域運動方程： 對時域運動方程兩邊同時進行Fourier正變換，得單自由度體系頻域運動方程：逆變換正變換deUtudtetuUtiti)(21)()()()()()()(2UdtetuUidtetutiti )(1)()(2)(2tpmtututunn )(1)()(2)(22PmUUiUnn)()(,)()(tpPtuUFF5.2

7、 頻域分析方法Fourier變換法 單自由度體系運動的頻域解為： H(i)復(fù)頻反應(yīng)函數(shù)，i是用來表示函數(shù)是一復(fù)數(shù)。 再利用Fourier逆變換，即得到體系的位移解： )(1)()(2)(22PmUUiUnn)()()(PiHU)/(2)/(1 11)(2nnikiHdePiHtuti)()(21)(5.2 頻域分析方法Fourier變換法 頻域分析方法的基本計算步驟： 1、對外荷載p(t)作Fourier變換，得到荷載的Fourier譜P() ：2、根據(jù)外荷載的Fourier譜P()和復(fù)頻反應(yīng)函數(shù)H(i)，得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的頻域解Fourier譜U()： U()=H(i)P()3、應(yīng)用Fourie

8、r逆變換，由頻域解U()得到時域解u(t)： )()(PtpF)()(tuUF逆5.2 頻域分析方法Fourier變換法 離散Fourier（DFT）變換 在用頻域法分析中涉及到兩次Fourier變換，均為無窮域積分，特別是Fourier逆變換，被積函數(shù)是復(fù)數(shù)，有時涉及復(fù)雜的圍道積分。當(dāng)外荷載是復(fù)雜的時間函數(shù)（如地震動）時，用解析型的Fourier變換幾乎是不可能的，實際計算中大量采用的是離散Fourier變換。dtetpPti)()(dePiHtuti)()(21)(5.2 頻域分析方法Fourier變換法 離散Fourier（DFT）變換 對連續(xù)變化的函數(shù)用等步長離散（數(shù)值采樣） 時域離散

9、化： 頻域離散化 ：NTttktNktppkk/,1, 2, 1, 0),(pjjTjNjP/2,1, 2, 1, 0),(5.2 頻域分析方法Fourier變換法 離散Fourier（DFT）變換 將離散化的值代入Fourier正變換公式，并應(yīng)用矩形積分公式得： 將離散化的譜值代入Fourier逆變換公式，并應(yīng)用矩形積分公式得： NkjiNkktiNkktijetpttetpdtetpPkjj21010)()()()(NkjiNjjjptiNjjjtitikePiHTePiHdePiHdeUtukjkk21010)()(1)()(21)()(21)(21)(5.2 頻域分析方法Fourier

10、變換法 離散Fourier（DFT）變換 以上公式即是求結(jié)構(gòu)反應(yīng)的離散Fourier變換方法DFT如果取N=2m，再利用簡諧函數(shù)周期性的特點，可以得到快速Fourier變換FFT，應(yīng)用FFT可以大大加快分析速度和減少工作量。 NkjiNkkjetptP210)()(NkjiNjjjpkePiHTtu210)()(1)(5.2 頻域分析方法Fourier變換法 離散Fourier（DFT）變換 應(yīng)用離散Fourier變換時應(yīng)注意事項:1. 離散Fourier變換將非周期時間函數(shù)周期化2. 由于第1點原因，對p(t)要加足夠多的0點增大持續(xù)時間Tp，以保證在所計算的時間段0, Tp內(nèi)，體系的位移能

11、衰減到03. 頻譜上限頻率fNyquest=1/2t，Nyquest=2fNyquest4. 頻譜的分辨率為f=1/Tp，即 =2/ Tp5. 頻譜的下限f1=1/Tp5.2 頻域分析方法Fourier變換法 離散Fourier（DFT）變換 2. 由于離散Fourier變換將非周期時間函數(shù)周期化，對此要加足夠多的0點以增大持續(xù)時間Tp，保證在所計算的時間段0, Tp內(nèi)，體系的位移能衰減到0。沖擊荷載反應(yīng)分析 （Response to Pulse Excitations） 沖擊荷載是工程中常遇的荷載形式。例如，結(jié)構(gòu)受爆炸沖擊波的作用，結(jié)構(gòu)動力試驗中使用的錘擊荷載等。沖擊荷載可以表示為作用時間較

12、短的脈沖。常用的形式有三種：矩形、半正弦、三角形荷載。由于荷載作用時間較短，在沖擊荷載作用下，結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)可在很短的時間內(nèi)達(dá)到，在此期間，結(jié)構(gòu)的阻尼還來不及吸收較多的振動能量，因此，在計算沖擊荷載引起的振動反應(yīng)時，一般不考慮阻尼的影響。分析方法 分段求解：強迫振動階段+自由振動階段 直接用Duhamel積分沖擊荷載反應(yīng)分析 矩形沖擊荷載沖擊荷載反應(yīng)分析 矩形沖擊荷載反應(yīng)沖擊荷載反應(yīng)分析 半正弦沖擊荷載沖擊荷載反應(yīng)分析 半正弦沖擊荷載反應(yīng)沖擊荷載反應(yīng)分析 三角形沖擊荷載沖擊荷載反應(yīng)分析 三角形沖擊荷載反應(yīng)三種沖擊荷載作用下的沖擊反應(yīng)譜5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 （Step-by-ste

13、p methods） 前面給出了兩種分析任意荷載作用下結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析方法： 時域分析方法Duhamel積分法； 頻域分析方法基于Fourier變換。這兩種分析方法的特點是：均基于疊加原理，要求結(jié)構(gòu)體系是線彈性的。當(dāng)外荷載較大時，結(jié)構(gòu)反應(yīng)可能進入彈塑性，或結(jié)構(gòu)位移較大時，結(jié)構(gòu)可能進入（幾何）非線性，這時疊加原理不再適用。此時可以采用時域逐步積分法求解運動微分方程。目前已發(fā)展了一系列的時域逐步積分法，例如： （1）分段解析法鏈?zhǔn)椒e分法； （2）中心差分法； （3）Newmark 法； （4）Wilson 法。5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 采用疊加原理的時域和頻域分析方法（Duhamel積分

14、，F(xiàn)ourier變換），假設(shè)結(jié)構(gòu)在全部反應(yīng)過程中都是線性的，而時域逐步積分法，只假設(shè)在一個時間步距內(nèi)是線性的，相當(dāng)于用分段直線來逼近曲線。時域逐步積分法是結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題中一個得到廣泛研究的領(lǐng)域。時域逐步積分法研究的是離散時間點上的值，例如位移ui=u(ti)，速度 , i = 0, 1, 。而這種離散化正符合計算機存貯的特點。一般情況下采用等步長離散，ti=it。與運動變量的離散化相對應(yīng)，體系的運動微分方程也不一定要求在全部時間上都滿足，而僅要求在離散時間點上滿足，這相當(dāng)于放松了對運動變量的約束。)(iituu 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 等步長離散，ti=it。體系的運動微分方程也不

15、一定要求在全部時間上都滿足，而僅要求在離散時間點上滿足。5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 一種逐步積分法的優(yōu)劣，主要由以下四個方面判斷：(1) 收斂性：當(dāng)t0時，數(shù)值解是否收斂于精確解；(2) 計算精度：截斷誤差與時間步長t的關(guān)系，若誤差O(tn)，則稱方法具有n階精度；(3) 穩(wěn)定性：隨時間步數(shù)i的增大，數(shù)值解是否變得無窮大（遠(yuǎn)離精確解）；(4) 計算效率：所花費的計算時間。一個好的方法首先必須是收斂的、有足夠的精度（例如二階，滿足工程要求）、良好的穩(wěn)定性、較高的計算效率。在發(fā)展逐步積分法中，也的確發(fā)展了一些高精度但很費時的方法，得不到應(yīng)用和推廣。 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 逐步

16、積分法按是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，可分為兩大類：隱式方法：逐步積分計算公式是偶聯(lián)的方程組，需聯(lián)立求解，計算工作量大，通常增加的工作量與自由度的平方成正比，例如Newmark法、Wilson 法。顯式方法：逐步積分計算公式是解偶的方程組，無需聯(lián)立求解，計算工作量小，增加的工作量與自由度成線性關(guān)系，如中心差分方法。下面先介紹一下分段解析算法，然后再重點介紹兩種常用的時域逐步積分法中心差分法和Newmark法。5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 1、分段解析法（Piecewise Exact Method） 分段解析算法假設(shè)在titti+1時段內(nèi) 如果荷載p(t)采用 計算機采樣，即 離散數(shù)值采樣

17、， 則以上定義可 認(rèn)為是準(zhǔn)確的。 圖5.5 分段解析法對外荷載的離散 iipp)(iiiitpp/ )(15.3 時域逐步積分法 1、分段解析法 在titti+1時段內(nèi)體系的運動方程： 初值條件： 運動方程的特解 :運動方程的通解 : iippkuucum)()()()( iiuuuu00)(,)(ckpkuiiip2)(1)()sincos()(DDcBAeun5.3 時域逐步積分法 1、分段解析法 全解u()=up()+uc()代入邊界條件確定系數(shù)A、B，最后得：其中，DDnneAeAAAusincos)(32101,222302211320niniDinniniAuAAuAAuADnDD

18、nDnneAAeAAAusin)(cos)()(32231？ 5.3 時域逐步積分法 1、分段解析法 當(dāng)=ti時，得到其中系數(shù)AD是結(jié)構(gòu)剛度k，自振頻率n，阻尼比和時間步長t的函數(shù)。上式給出了根據(jù)i時刻運動及外力計算i+1時刻運動的遞推公式。如果結(jié)構(gòu)是線性的，并采用等時間步長，則AD均為常數(shù)，其計算效率非常高，在p(t)離散采樣的定義下是精確解，但如果是非線性問題，則AD均為變量，計算效率會大為降低。 1111iiiiiiiiiipDpCuBuAuDpCpuBAuu5.3 時域逐步積分法 表5.1 分段解析法計算公式中的系數(shù)5.3 時域逐步積分法 分段解析法的誤差僅來自對外荷載的假設(shè)， 而在連

19、續(xù)時間軸上嚴(yán)格滿足運動微分方程。一般的時域逐步積分法將進一步放松要求，僅要求在離散的時間點上滿足運動方程，相當(dāng)于放松了運動的約束 。 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分方法用有限差分代替位移對時間的求導(dǎo)（即速度和加速度）。如果采用等步長，ti=t，則i時刻速度和加速度的中心差分近似為：tuuuiii2112112tuuuuiiii iiiiiiipkutuuctuuum221121112212222iiiiutctmutmkputctm)()()()(iiiitptkutuctum )()()()(iiiiiiii

20、tpptuutuutuu 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分方法計算中的起步處理方法初始條件為 ：12212222iiiiutctmutmkputctm)0(),0(00uuuu tuuu2110210102tuuuu 020012utu tuu )(10000kuucpmu 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分法計算步驟：(1). 初始計算 (2). 根據(jù)i及i以前時刻的運動，計算i+1時刻的運動 (3). 下一步計算用i+1代替i，重

21、復(fù)(2)中的計算步驟。12212222iiiiutctmutmkputctm已知和00uu)(20002001kuucpmtu tuu211112,2tuuuutuuuiiiiiii 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 2、中心差分法（Central Difference Method） 中心差分法的精度和數(shù)值穩(wěn)定性以上給出的中心差分逐步積分公式， 是收斂的； 具有2階精度，即誤差O(t2) ； 是有條件穩(wěn)定，穩(wěn)定條件tTn/； 具有較高的計算效率。5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性 (tTn/)穩(wěn)定性的含義，當(dāng)滿足穩(wěn)定性條件時，計算值u為有限值；當(dāng)不滿足穩(wěn)定性條件時，

22、隨著t，u。 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明設(shè)體系為無阻尼，并設(shè)外荷載p=0 (算法的穩(wěn)定性與外荷載無關(guān)),則中心差逐步積分法的遞推公式可以寫成如下形式： 令i時刻位移為：代入運動方程：得到：從ui=Ai可直觀看出，為保證i（即t）時，ui有界，要求|1。僅當(dāng)24時，|=1，其余情況均有|1，則穩(wěn)定性條件要求：niiituuu,)2(121iiAu01)2(22)4(2212222iitstsiistAeAAetiuuAetu)()()(12212222iiiiutctmutmkputctm5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明 穩(wěn)定性表

23、達(dá)式為: 雖然中心差分逐步積分法是有條件穩(wěn)定的，但由于其所具有計算效率高的優(yōu)點，在很多情況下得到廣泛的應(yīng)用。nt2nnTt25.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明 圖5.7 Clough格式的穩(wěn)定性條件5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 中心差分法的數(shù)值穩(wěn)定性證明 一般情況下，逐步積分格式的穩(wěn)定性計算采用如下方法，將逐步積分格式寫成下式： 則穩(wěn)定性條件為=A1，稱為傳遞矩陣A的范數(shù)，也稱為矩陣的模。目前對顯式中心差分逐步積分法格式的研究取得了進展，已發(fā)展了幾種有阻尼體系的差分格式，可以在近幾年的文獻(xiàn)中找到。但普遍存在的問題是穩(wěn)定條件比要一般的中心差分法更嚴(yán)格。 iiii

24、ipBuuAuu115.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 3、Newmark 法 Newmark同樣將時間離散化，運動方程僅要求在離散的時間點上滿足。假設(shè)在ti時刻的運動均已求得, 然后計算 ti+1時刻的運動。與中心差分法不同的是，它不是用差分對ti時刻的運動方程展開，得到外推計算ui+1的公式，而是以ti時刻的運動量為初始值，通過積分方法得到計算i+1時刻的運動公式。5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 3、Newmark 法 Newmark 法假設(shè)在時間段ti，ti+1內(nèi)，加速度為一常量，記為a，經(jīng)過簡單積分計算可以得到速度、位移與a之間的關(guān)系式：tauuii1atu tuuiii21215

25、.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 3、Newmark 法 10,)1 (1iiuua 2/10,2)21 (1iiuua tauuii1atu tuuiii212111)1 (iiiiu tu tuu 1221)21(iiiiiututu tuu 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 3、Newmark 法 tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111211111iiiipkuucum 11iipuk11)1 (iiiiu tu tuu 1221)21(iiiiiututu tuu 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 Newmark 法的時域

26、逐步積分公式 tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(11112111iipukctmtkk21cutuutmuututppiiiiiiii)2(2) 1() 121(11211 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法 3、Newmark 法 在Newmark 法中，控制參數(shù)和的取值影響著算法的精度和穩(wěn)定性，可以證明，只有當(dāng)取1/2時，這個方法才具有二階精度，因此一般均?。?=1/2, 01/4Newmark 法的穩(wěn)定性條件：當(dāng)=1/2, =1/4時，t，即成為無條件穩(wěn)定的。nTt21213、Newmark 法在時域逐步積分計算方法研究中，發(fā)展了一

27、批計算方法，例如，平均常加速度方法、線性加速度方法等。Newmark 法中控制參數(shù)取不同的值，可以得到相應(yīng)的計算方法。下表給出了參數(shù)取不同值時Newmark 法所對應(yīng)的逐步積分法。3、Newmark 法在動力問題研究中，常采用=1/2，=1/4的所謂無條件穩(wěn)定的Newmark法，實際上就是平均常加速度方法。Newmark法為單步法不需要格外處理計算的“起步”問題，屬于自起步方法。 Wilson 法 在時域逐步積分法發(fā)展的早期，Wilson 法曾得到廣泛應(yīng)用。Wilson法是基于線性加速度法基礎(chǔ)之上發(fā)展的。當(dāng)參數(shù)1.37時，方法是無條件穩(wěn)定的。初略分析，采用了線性加速度假設(shè)比平均常加速度法更精確

28、，而且是無條件穩(wěn)定的，應(yīng)是一種優(yōu)秀的逐步積分法。但隨著對數(shù)值算法特性研究的深入，發(fā)現(xiàn)Wilson法存在一系列弊病。而且對于一些強沖擊問題，Wilson法無法完成計算。5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法圖5.11 不同逐步積分方法的計算精度 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法圖5.12 不同方法的振幅衰減和周期延長 5.3 數(shù)值計算方法時域逐步積分法Newmark 法，特別是=1/4的無條件穩(wěn)定格式得到廣泛應(yīng)用。中心差分法，雖然穩(wěn)定性略差，但因其所具有的簡單、高效的特點也得到一系列的應(yīng)用。Wilson 法，由于過高的算法阻尼，在實際中的使用越來越少。對于一些特殊的問題，計算精度的要求有時嚴(yán)于或等

29、于穩(wěn)定性條件，此時，中心差分法將具有更大的優(yōu)勢。5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析非線性： 幾何非線性 材料非線性恢復(fù)力： 圖5.13 非線性位移和抗力關(guān)系ukfS0)(uffSS5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用中心差分法求解非線性反應(yīng) 當(dāng)采用中心差分法進行時域逐步積分計算時，無需對計算格和軟件做大的變化，僅是對計算抗力的公式進行改動，其余的與線性反應(yīng)分析的相同。)(0uffukfssS12212222iiiiutctmutmkputctm1221222)(2iiisiiutctmutmufputctm5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用中心差分法求解非線性反應(yīng) 穩(wěn)定性條件：在用中心差分逐步積分法計算時，由于

30、結(jié)構(gòu)一般都是軟化結(jié)構(gòu)，即隨變形的增加而變軟，剛度k降低，但質(zhì)量m不變，則結(jié)構(gòu)的自振周期Tn變長，計算的穩(wěn)定性變好。1221222)(2iiisiiutctmutmufputctmkmTn21nnTt25.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 全量型逐步積分計算公式：11iipukctmtkk21cutuutmuututppiiiiiiii)2(2) 1() 121(11211 5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 用Newmark法進行結(jié)構(gòu)非線性動力計算，采用增量平衡方程較合適。分別給出ti和ti+1時刻運動方程：由ti+1減去ti時刻的運動方程得運動的

31、增量平衡方程：iiiipkuucum 1111iiiipkuucum iiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, 5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量運動平衡方程：當(dāng)時間步長t取得足夠小，可以認(rèn)為在titi+1區(qū)間內(nèi)結(jié)構(gòu)的本構(gòu)關(guān)系是線性的，則：kis i, i+1點之間的割線剛度。 iiSiipfucum)( iiiiSiSiSiiiiiiiiipppfffuuuuuuuuu11111)()()(, isiiSukf)(5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量運動平衡

32、方程：但由于ui+1未知，因此kis不能預(yù)先準(zhǔn)確估計，這是可以采用切線剛度ki代替割線剛度kis iisiiipukucum iiiiipukucum 5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量運動平衡方程：是一個線性運動方程，系數(shù)m、c、ki和外荷載pi均為已知。增量形式的Newmark法逐步積分方程為： iiiiipukucum cutumuutppctmtkkpukiiiiiiiiiii)2(221112 5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 增量形式的Newmark法逐步積分方程： 求得ui后，則可以計算ti+1時刻的總位移，再利用Newma

33、rk 法中的兩個基本公式 ：得到i+1時刻體系的全部運動量。 iiipukiiiuuu1tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111215.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 在用以上步驟計算時的主要誤差，是用切線剛度代替割線剛度引起的，這是非線性分析中的共性。注意到方程從形式上看與靜力問題的方程完全一樣?？梢杂渺o力問題中的非線性分析方法進行迭代求解，例如采用NewtonRaphson或修正的NewtonRaphson法求解。NewtonRaphson方法在每一迭代步中，剛度是變化的，而修正的NewtonRaphson法

34、，在不同迭代步中的剛度不變，因此，也常稱NewtonRaphson法為變剛度迭代法，而修正的NewtonRaphson方法為常剛度迭代法。5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析NewtonRaphson法（變剛度迭代法）5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析修正的NewtonRaphson方法（常剛度迭代法）5.4 結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析采用Newmark求解非線性反應(yīng) 用以上迭代方法求得ui(1), ui(2)，以后，疊加得， 收斂條件：當(dāng)進行了l 次迭代計算后，令： 如果，則認(rèn)為迭代收斂，達(dá)到要求的精度，停止迭代計算。為一個給定的小量，例0.001等。一般情況下，經(jīng)過有限次的迭代計算都可以收斂。 )2() 1 (1i

35、iiiuuuuljjiuu1)(uuli)(5.5 結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析初步 在學(xué)習(xí)了結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)分析方法后，就可以對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)問題開展計算分析。 當(dāng)?shù)卣饎虞^小時，結(jié)構(gòu)反應(yīng)處于線彈性范圍，可以采用Duhamel積分，或FFT+復(fù)頻反應(yīng)函數(shù)的方法獲得地震作用下結(jié)構(gòu)的反應(yīng)。根據(jù)得到的結(jié)構(gòu)最大變形，最大內(nèi)力進行抗震設(shè)計。 當(dāng)?shù)卣饎虞^強時，結(jié)構(gòu)反應(yīng)可能進入塑性，這時可以采用時域逐步積分法進行求解分析。 本節(jié)僅限于介紹線彈性地震反應(yīng)問題。5.5 結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析初步 典型地震動 加速度時程地震作用的特點是地震動非常復(fù)雜，隨時間不規(guī)則，快速變化。 5.5 結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析初步 地震作用下結(jié)構(gòu)運動方程為：其中u=u(t)為相對位移，g(t)為地震動加速度時程。地震等效荷載為peq(t)=-mg(t)，應(yīng)用Duhamel積分，得到地震作用下結(jié)構(gòu)的位移為： 其中 有阻尼體系自振頻率。gumkuucum dteudteummdthtptuDttgDDttgDteqnn)(sin)(1)(sin)(1)()()(0)(0)(0 21nD5.5 結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析初步 地震作用下結(jié)構(gòu)相對位移時程，觀察以上