第21章第4課時解一元二次方程——公式法導學案

1、第4課時 解一元二次方程-公式法一、學習目標了解掌握一元二次方程根的判別式，不解方程能判定一元二次方程根的情況；理解一元二次方程求根公式的推導過程；掌握公式結(jié)構(gòu)，知道使用公式前先將方程化為一般形式，通過判別式判斷根的情況；學會利用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程二、知識回顧1什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？配方法：通過配方，先把方程的左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個非負數(shù)，然后運用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法配方法解一元二次方程的一般步驟：（1）移常數(shù)項到方程右邊；（2）化二次項系數(shù)為1；（3）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

2、（4）化方程左邊為完全平方式；（5）若方程右邊為非負數(shù)，則利用直接開平方法解得方程的根2怎樣用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a0)的一元二次方程？解：移項，得二次項系數(shù)化為1，得配方，得即：，因為所以當；當三、新知講解一元二次方程根的判別式叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判別式，通常用希臘字母表示它，即一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）方程沒有實數(shù)根公式法解一元二次方程一般地，對于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，當時，它的兩個根分別是，這里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一

3、元二次方程的方法叫做公式法公式法解一元二次方程的一般步驟把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a0)；確定a，b，c的值；求出的值，并判斷方程根的情況：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根當時，將a，b，c和的值代入公式（注意符號）四、典例探究1根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程根的情況【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x25x+3=0，則該方程根的情況是（）A有兩個不相等的實數(shù)根 B有兩個相等的實數(shù)根兩個根都是自然數(shù) D無實數(shù)根總結(jié)：求根的判別式時，應該先將方程化為一般形式，正確找出a，b，c的值.根的判別式與一元二次方程根的情況的關(guān)系如

4、下：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根練1（2015銅仁市）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列說法不正確的是（）A方程有兩個相等的實數(shù)根 B方程有兩個不相等的實數(shù)根C沒有實數(shù)根 D無法確定練2（2015泰州）已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m21=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個根為3，求m的值2根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的值或取值范圍【例2】（2015溫州）若關(guān)于x的一元二次方程4x24x+c=0有兩個相等實數(shù)根，則c的值是（）A1 B1 C4 D4總結(jié)：已知方程根的情況求字母的值或取值范圍時：先計算根的

5、判別式；再根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于根的判別式的等式或不等式求解；若二次項系數(shù)出現(xiàn)了字母，應注意“二次項系數(shù)不為0”練3（2015涼山州）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）Am3 Bm3 Cm3且m2 Dm3且m23用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x總結(jié)：公式法的實質(zhì)是配方法，只不過省去了配方的過程，而直接利用了配方的結(jié)論；運用公式法求解一元二次方程要注意兩個前提：（1）先將一元二次方程化為一般形式，即確定a，b，c的值；（2）必須保證b2-4ac0練4（2014錦江區(qū)

6、模擬）解方程：x（x2）=3x+1練5當x是何值時，3x2+4x8的值和2x21的值相等？五、課后小測一、選擇題1（2015云南）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）A4x25x+2=0 Bx26x+9=0 C5x24x1=0 D3x24x+1=02（2015貴港）若關(guān)于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A1 B0 C1 D23（2015煙臺）等腰直角三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或104（2015株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2

7、+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A如果方程M有兩個相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個相等的實數(shù)根B如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=15（2013日照）已知一元二次方程x2x3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）A2x11 B3x12 C2x13 D1x10二、填空題6（2011秋冊亨縣校級月考）用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=，x1=，x2=三、解答題7（2014秋通山縣期中）用公式法解方程：2x24x=58（2014

8、秋金溪縣校級月考）解方程：2x22x5=09（2013春石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=410（2015梅州）已知關(guān)于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根11（2015咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2（m+2）x+2=0（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根12（2015昆山市一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1

9、x2|=2，求m的值13（2015南充一模）已知關(guān)于x的一元二次方程kx22（k1）x+k2=0（k0）（1）小明考查后說，它總有兩個不相等的實數(shù)根（2）小華補充說，其中一個根與k無關(guān)請你說說其中的道理典例探究答案：【例1】（2015重慶）已知一元二次方程2x25x+3=0，則該方程根的情況是（）A有兩個不相等的實數(shù)根 B有兩個相等的實數(shù)根C兩個根都是自然數(shù) D無實數(shù)根分析：判斷方程的根的情況，只要看根的判別式=b24ac的值的符號就可以了解答：解：a=2，b=5，c=3，=b24ac=（5）24×2×3=10，方程有兩個不相等的實數(shù)根故選：A點評：此題主要考查了一元二次方

10、程根的判別式，要熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根練1（2015銅仁市）已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x5=0，下列說法不正確的是（）A方程有兩個相等的實數(shù)根 B方程有兩個不相等的實數(shù)根C沒有實數(shù)根 D無法確定分析：先求出的值，再判斷出其符號即可解答：解：=424×3×（5）=760，方程有兩個不相等的實數(shù)根故選B點評：本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵練2（2015泰州）已知：關(guān)于x的方程x2+2mx+m21

11、=0（1）不解方程，判別方程根的情況；（2）若方程有一個根為3，求m的值分析：（1）找出方程a，b及c的值，計算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負即可作出判斷；（2）將x=3代入已知方程中，列出關(guān)于系數(shù)m的新方程，通過解新方程即可求得m的值解答：解：（1）a=1，b=2m，c=m21，=b24ac=（2m）24×1×（m21）=40，方程x2+2mx+m21=0有兩個不相等的實數(shù)根；（2）x2+2mx+m21=0有一個根是3，32+2m×3+m21=0，解得，m=4或m=2點評：此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實數(shù)

12、根；（2）=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）0方程沒有實數(shù)根也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立【例2】（2015溫州）若關(guān)于x的一元二次方程4x24x+c=0有兩個相等實數(shù)根，則c的值是（）A1 B1 C4 D4分析：根據(jù)方程根的情況與判別式的關(guān)系知=424×4c=0，然后解一次方程即可解答：解：一元二次方程4x24x+c=0有兩個相等實數(shù)根，=424×4c=0，c=1，故選B點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當0，方程有兩個不相等的實

13、數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0，方程沒有實數(shù)根練3（2015涼山州）關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）Am3 Bm3 Cm3且m2 Dm3且m2分析：根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b2-4ac的意義得到m-20且0，即22-4×（m-2）×10，然后解不等式組即可得到m的取值范圍解答：解：關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有實數(shù)根，m-20且0，即22-4×（m-2）×10，解得m3，m的取值范圍是 m3且m2故選：D點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx

14、+c=0（a0）的根的判別式=b2-4ac：當0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0，方程沒有實數(shù)根【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x2=0；（2）y23y+1=0；（3）x2+3=2x分析：（1）求出b24ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b24ac的值，代入公式y(tǒng)=求出即可；（3）求出b24ac的值是負數(shù)，即可得出原方程無解解答：解：（1）這里a=1，b=2，c=2，b24ac=224×1×（2）=120，x=1，x1=1+，x2=1；（2）這里a=1，b=3，c=1b24ac=（3）24×1×1=50，

15、y=，y1=，y2=；（3）移項，得x22x+3=0，這里a=1，b=2，c=3b24ac=（2）24×1×3=40原方程沒有實數(shù)根點評：本題主要考查學生運用公式法正確解方程的能力，前提是先判斷判別式的符號，再根據(jù)情況代入求根公式求解練4（2014錦江區(qū)模擬）解方程：x（x2）=3x+1分析：整理后求出b24ac的值，再代入公式求出即可解答：解：x（x2）=3x+1，整理得：x25x1=0，b24ac=（5）24×1×（1）=29，x=，x1=，x2=點評：本題考查了解一元二次方程的應用，能正確運用公式法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵，難度適中練5當x是何

16、值時，3x2+4x8的值和2x21的值相等？分析：根據(jù)3x2+4x8的值和2x21的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解解答：解：根據(jù)題意得：3x2+4x8=2x21，即x2+4x7=0，a=1，b=4，c=7，=b24ac=16+28=440，則x=2點評：本題考查了公式法解一元二次方程，注意公式運用的條件：判別式0課后小測答案：一、選擇題1（2015云南）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）A4x25x+2=0 Bx26x+9=0 C5x24x1=0 D3x24x+1=0解：A、=254×2×4=70，方程沒有實數(shù)根，故本選項正確；B、=364×1&

17、#215;4=0，方程有兩個相等的實數(shù)根，故本選項錯誤；C、=164×5×（1）=360，方程有兩個相等的實數(shù)根，故本選項錯誤；D、=164×1×3=40，方程有兩個相等的實數(shù)根，故本選項錯誤；故選A2（2015貴港）若關(guān)于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A1 B0 C1 D2解：關(guān)于x的一元二次方程（a1）x22x+2=0有實數(shù)根，=（2）28（a1）=128a0且a10，a且a1，整數(shù)a的最大值為0故選：B3（2015煙臺）等腰直角三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩

18、根，則n的值為（）A9 B10 C9或10 D8或10解：三角形是等腰直角三角形，a=2，或b=2，a=b兩種情況，當a=2，或b=2時，a，b是關(guān)于x的一元二次方程x26x+n1=0的兩根，x=2，把x=2代入x26x+n1=0得，226×2+n1=0，解得：n=9，當n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，故n=9不合題意，當a=b時，方程x26x+n1=0有兩個相等的實數(shù)根，=（6）24（n1）=0解得：n=10，故選B4（2015株洲）有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac0，ac下列四個結(jié)論中，錯誤的是（）A如果方程M

19、有兩個相等的實數(shù)根，那么方程N也有兩個相等的實數(shù)根B如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同C如果5是方程M的一個根，那么是方程N的一個根D如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1解：A、如果方程M有兩個相等的實數(shù)根，那么=b24ac=0，所以方程N也有兩個相等的實數(shù)根，結(jié)論正確，不符合題意；B、如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同，那么=b24ac0，0，所以a與c符號相同，0，所以方程N的兩根符號也相同，結(jié)論正確，不符合題意；C、如果5是方程M的一個根，那么25a+5b+c=0，兩邊同時除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一個根，結(jié)論正確，不

20、符合題意；D、如果方程M和方程N有一個相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（ac）x2=ac，由ac，得x2=1，x=±1，結(jié)論錯誤，符合題意；故選D5（2013日照）已知一元二次方程x2x3=0的較小根為x1，則下面對x1的估計正確的是（）A2x11 B3x12 C2x13 D1x10解：x2x3=0，b24ac=（1）24×1×（3）=13，x=，方程的最小值是，34，34，2，2，1故選：A二、填空題6（2011秋冊亨縣校級月考）用公式法解方程2x27x+1=0，其中b24ac=41，x1=，x2=解：2x27x+1=0，a=2，b=7，c=1

21、，b24ac=（7）24×2×1=41，x=，x1=，x2=，故答案為：41，三、解答題7（2014秋通山縣期中）用公式法解方程：2x24x=5解：原方程可化為：2x24x5=0，a=2，b=4，c=5，b24ac=（4）24×2×（5）=560，x=frac4±sqrt564=1±x1=1+，x2=18（2014秋金溪縣校級月考）解方程：2x22x5=0解：這里a=2，b=2，c=5，=8+40=48，x=9（2013春石景山區(qū)期末）用公式法解方程：x（x）=4解：整理得：x2+2x4=0，=b24ac=（2）24×1×（4）=28，x=，x1=+，x2=10（2015梅州）已知關(guān)于x的方程x2+2x+a2=0（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根解：（1）b24ac=（2）24×1×（a2）=124a0，解得：a3a的取值范圍是a3；（