概率2.2_隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量1山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院每個隨機(jī)變量都有一個分布（分布列、密度函數(shù)每個隨機(jī)變量都有一個分布（分布列、密度函數(shù)或分布函數(shù)），不同的隨機(jī)變量可能有不同的分布，或分布函數(shù)），不同的隨機(jī)變量可能有不同的分布，也可能有相同的分布。分布全面的描述了隨機(jī)變量取也可能有相同的分布。分布全面的描述了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，由分布可以算出有關(guān)隨機(jī)變量的概值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，由分布可以算出有關(guān)隨機(jī)變量的概率。除此之外有分布還可以算的相應(yīng)隨機(jī)變量的均值、率。除此之外有分布還可以算的相應(yīng)隨機(jī)變量的均值、方差、分位數(shù)等特征數(shù)，這些

2、特征數(shù)從各個側(cè)面描述方差、分位數(shù)等特征數(shù)，這些特征數(shù)從各個側(cè)面描述分布的特征。分布的特征。2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征【一】隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(Mean)1、離散型定義：山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量2設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若級數(shù) 絕對收斂,即 則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(或均值)，記作E(X)。即()(1,2,),kkP Xxp k1kkkx p1,kkkx p1kkkx p1()iiiE Xx p 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(Mean)2、連續(xù)型定義：()( )E Xxf x dx山

3、西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 ，若絕對收斂，即 ，則稱 為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(或均值)，記作E(X)。即( )p x( )xp x dx( )x p x dx ( )xp x dx 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)： C為常數(shù)，則E(C)=C C為常數(shù)，E(C*X)=C*E(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則E(X*Y)=E(X)*E(Y)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量4說明：說明：在離散情形下，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的在離散情形

4、下，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的加權(quán)平加權(quán)平均值均值，每個值所對應(yīng)的，每個值所對應(yīng)的“權(quán)權(quán)”就是其出現(xiàn)的概率，這個就是其出現(xiàn)的概率，這個結(jié)果比算術(shù)平均更能合理預(yù)測隨機(jī)變量的可能取值，這結(jié)果比算術(shù)平均更能合理預(yù)測隨機(jī)變量的可能取值，這也就是也就是“期望期望”這個名稱的由來。這個名稱的由來。 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征【二】隨機(jī)變量的方差(Variance)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量51、 離散型定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為 若級數(shù) 則稱此級數(shù)的和為X的方差,記作D(X),即()(1,2,),kkP Xxp k21(),kkkxE X

5、p 21()().kkkD XxE Xp2、 連續(xù)型定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為p(x),若 則稱此無窮積分值為X的方差,記作D(X),即2()( ),xE Xp x dx 2()()( ).D XxE Xp x dx 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差(Variance)統(tǒng)一定義： Def： 稱為隨機(jī)變量X的方差，而 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差(mean square error，MSE) 。計(jì)算方差的常用公式說明：D(X)=0，表示X以概率1取常數(shù)值，此時(shí)X已不是隨機(jī)變量了。2()()D XE XE X()D X山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量

6、隨機(jī)變量622()()( ()D XE XE X 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差的性質(zhì)：常數(shù)的方差為0；D(C*X)=C2*D(X),其中C為常數(shù);若X，Y相互獨(dú)立，則 。一個重要的結(jié)論方差是所有偏差中最小的。設(shè)函數(shù) ，則當(dāng)x=E(X)時(shí)，f(x)達(dá)到最小值。()()( )D XYD XD Y2( )() ,f xE XxxR山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量7 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量8山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院說明：說明：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的功能相識，都是用來描述隨機(jī)變量方差和標(biāo)

7、準(zhǔn)差的功能相識，都是用來描述隨機(jī)變量取值的集中與分散程度（即散布范圍大?。┑膬蓚€特征取值的集中與分散程度（即散布范圍大?。┑膬蓚€特征數(shù)，方差與標(biāo)準(zhǔn)差愈小，隨機(jī)變量的取值愈集中；方差數(shù)，方差與標(biāo)準(zhǔn)差愈小，隨機(jī)變量的取值愈集中；方差與標(biāo)準(zhǔn)差愈大，隨機(jī)變量的取值愈分散。與標(biāo)準(zhǔn)差愈大，隨機(jī)變量的取值愈分散。方差與標(biāo)準(zhǔn)差之間的主要差別在量綱上，由于標(biāo)準(zhǔn)方差與標(biāo)準(zhǔn)差之間的主要差別在量綱上，由于標(biāo)準(zhǔn)差與所討論的隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所以差與所討論的隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所以實(shí)際中，人們比較樂意選用標(biāo)準(zhǔn)差，但標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算必實(shí)際中，人們比較樂意選用標(biāo)準(zhǔn)差，但標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算必須通過方差才能得出。

8、須通過方差才能得出。 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量9山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院常見隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算(1)0-1分布 設(shè)X B(1,p)，則()10 (1).E Xppp 0().nkkn knkE XkC p qnp(2)二項(xiàng)分布 設(shè)X B(n,p)，則22()()( ().D XE XE Xpq22()()( ().D XE XE Xnpq 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量10山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(3)泊松分布 設(shè)X P(),則0().!kkE Xkek22()(

9、)().D XE XE X 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量11山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(4)均勻分布 設(shè)X U(a,b), 則().2baxabE Xdxba(5)指數(shù)分布 設(shè)X E(),則01().xE Xx edx222()()()( ().12baD XE XE X2221()()( ().D XE XE X 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量12山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(6)正態(tài)分布 設(shè)X N(,2), 則22()21().2xE Xxedx2()( ()D XE XE

10、X22()2221()2.xxedx 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征常見分布的期望和方差表：MeanVariance兩點(diǎn)分布b(1,p)pp*q二項(xiàng)分布B(n,p)n*pn*p*q泊松分布 P()均勻分布 U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12正態(tài)分布N(,2) 2指數(shù)分布 E()1/1/2山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量13*22*22221()()()0()()()() 1XE XEE XXE XD XE XE 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征2*XX一般變量的標(biāo)準(zhǔn)化或無量鋼化： 為便于比較不同單位或不同量級的數(shù)據(jù)，常需

11、要將其標(biāo)準(zhǔn)化或無量鋼化。若隨機(jī)變量X有E(X)= ，D(X)= ，則 有E(X*)=0，D(X*)=1。 事實(shí)上，山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量14 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征【三】矩的概念：設(shè)隨機(jī)變量X，Y，正整數(shù)k，l，稱E(Xk)為X的k階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩；EX-E(x)k為X的k階中心矩；E(|X|k)為X的k階絕對原點(diǎn)矩；E(|X-E(X)|k)為X的k階絕對中心矩；EX-E(X)kY-E(Y)l為X、Y的k+l階混合中心矩。易知，一階原點(diǎn)矩是期望，二階中心矩是方差。山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)

12、變量隨機(jī)變量15 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量16山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院若記()()kkkkE XE XE X則k階原點(diǎn)矩和k階中心距之間有一個簡單的關(guān)系：1110()()()()kkkkk ikk iiiE XE XE XkEXiki 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量17山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院【四】變異系數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X的二階矩存在，則稱比值：為X的變異系數(shù)。因?yàn)樽儺愊禂?shù)是以其數(shù)學(xué)期望為單位去度量隨機(jī)變量取值波動程度的特征數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)學(xué)期望的量綱是一致的，所以變異

13、系數(shù)是一個無量綱的量。()()()()()vVar XXCXE XE X2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量18山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院說明：說明：方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）反映了隨機(jī)變量取值的波動程度，方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）反映了隨機(jī)變量取值的波動程度，但在比較兩個隨機(jī)變量的波動大小時(shí)，如果僅看方差（或但在比較兩個隨機(jī)變量的波動大小時(shí)，如果僅看方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）的大小有時(shí)會產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象。這有兩個原因：標(biāo)準(zhǔn)差）的大小有時(shí)會產(chǎn)生不合理的現(xiàn)象。這有兩個原因：（1 1）隨機(jī)變量的取值有量綱，不同量綱的隨機(jī)變量用其方）隨機(jī)變量的取值有量綱，不同量綱的隨機(jī)

14、變量用其方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）去比較它們的波動大小不太合理；（差（或標(biāo)準(zhǔn)差）去比較它們的波動大小不太合理；（2 2）在）在取值的量綱相同的情況下，取值的大小有一個相對性問題，取值的量綱相同的情況下，取值的大小有一個相對性問題，取值較大的隨機(jī)變量的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）也允許大一些。取值較大的隨機(jī)變量的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）也允許大一些。所以在比較兩個隨機(jī)變量的波動大小時(shí)，在一些場合所以在比較兩個隨機(jī)變量的波動大小時(shí)，在一些場合使用變異系數(shù)更具可比性。使用變異系數(shù)更具可比性。2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量19山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院【五】分位數(shù)設(shè)

15、連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，密度函數(shù)為p(x)，對任意 ，稱滿足條件 的為此分布的p分位數(shù)，又稱下側(cè)p分位數(shù)。同理我們稱滿足條件 的為此分布的上側(cè)p分位數(shù)。進(jìn)一步，稱滿足條件 的和 為此分布的雙側(cè) 分位數(shù)。()()( )pxppF xP Xxp x dxppx(0,1)p 1()()( )ppxF xP Xxp x dxppx1/2/2/21/2()( )1xxP xXxp x dx /2x1/2x2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量20山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院例：求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平為0.05的上側(cè)及雙側(cè)分位數(shù)即p=0.

16、5，由 ，并查表得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)0.05分位數(shù)為同理，由即得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)0.05分位數(shù)為：1 0.05()1 0.050.95u 1 0.051.645u。0.05/2()0.05P Uu0.0251 0.025()0.025()0.975uu，0.0251 0.0251.961.96uu ，。2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量21山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院【六】中位數(shù)（特殊的分位數(shù)）稱p=0.5的時(shí)分布函數(shù)的p分位數(shù)x0.5為此分布的中位數(shù)，即x0.5滿足 。例如：1、 的中位數(shù)為 ；2、 的中位數(shù)為 ；3、 的中位數(shù)為

17、 。0.50.5()( )0.5xF xp x dx2( ,)XN 0.5x( )XExp0.5ln2x( )XU0.5() 2xb a2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量22山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院【七】偏度系數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X的三階矩存在，則稱比值 *為X的分布的偏度系數(shù)，簡稱偏度。偏度系數(shù)可以描述分布的形狀特征：*0，分布正偏或右偏(右邊尾巴長)；*=0，分布關(guān)于其均值對稱；*0，分布負(fù)偏或左偏。例如，正態(tài)分布是關(guān)于均值對稱的，偏度為0。3312 3 23 22() ( ) ()E XE XE XE x2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)

18、字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量23山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院【七】峰度系數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X的四階矩存在，則稱比值 *為X的分布的峰度系數(shù)，簡稱峰度。峰度系數(shù)也是描述分布的形狀特征，但偏度系數(shù)刻畫的是分布的對稱性，而峰度系數(shù)刻畫的分布的峰峭性。例如：正態(tài)分布的峰度為0，事實(shí)上，有4422 222()33 ( ) ()E XE XE XE x4422423330()2.4 2.4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量24山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院峰度系數(shù)的高低含有隨機(jī)變量取值的集中程度，非消除這個因素，我們不妨考察“標(biāo)準(zhǔn)

19、化”后分布的峰峭性，即用的四階原點(diǎn)矩 考察密度函數(shù)的峰值，與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的四階原點(diǎn)矩3作比較：*0，標(biāo)準(zhǔn)化后的分布形狀比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更尖峭，稱為高峰度。*()()XE XXVar X* 4() E X1、掌握概念：分布列、分布密度，分布函數(shù)2、熟悉常見離散隨機(jī)變量的分布列和分布函數(shù) 二項(xiàng)分布（兩點(diǎn)分布）、泊松分布3、熟悉常見連續(xù)隨機(jī)變量的分布密度和分布函數(shù) 平均分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布 4、會計(jì)算常見隨機(jī)變量的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望、方差、矩、分位數(shù)、中位數(shù)山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量25第二章小結(jié)第二章小結(jié) Exercise 1山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院26第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問該單位患有這種病的人數(shù)不超過5人的概率是多少？解：設(shè)該單位患有這種疾病的人數(shù)為X，則有XB(5000,0.001)，而我們所求的概率為這個概率的計(jì)算量很大。由于n很大，p很小，且5500005000(5)*0.001 *0.999.kkkP Xk5505(5)0.616!kkP XekExercise 2 某人乘車到機(jī)場搭乘