線代數(shù)44實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化

1、課件1第四節(jié)第四節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化二、利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化課件2定理定理實(shí)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值必為對(duì)稱矩陣的特征值必為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù). .證明證明:1(),0.ijn nnaaxxaxxxx設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量 即一、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)課件3表示的共軛復(fù)數(shù),ntijnaaaaaaa表示的共軛復(fù)矩陣,由于是實(shí)對(duì)稱矩陣,所以1nxxxx表示的共軛復(fù)向量,課件4,axx于是由,tttxa xxx所以,axxaxx可得即取共軛.tttxax得取可轉(zhuǎn)置課件5()0.txx所以,taaa由,ttaxxx

2、x即得,ttxxxx故課件60,所以因此即是實(shí)數(shù),. 00xx由可知有至少不一量等于個(gè)分11 1111 10,0,(,)0tnnnnxx xxxxxxx xx xx不放設(shè)則因此課件712121212 ,.apppp設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)特征值分別是對(duì)應(yīng)的特征向量 若則與正交定理證明證明,21222111 appapp,aaat 對(duì)稱對(duì)稱 tttappp11111 ,11apapttt 于是于是 22121211ppappppttt ,212ppt . 0 2121 ppt ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppt課件81 , ,.tanpp app apddda正交矩陣是對(duì)設(shè)為階實(shí)對(duì)

3、稱矩陣 則必有使其中且的主對(duì)角線上的元素是的全部角形矩陣特征值定理 , ,anak設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣是的重特征值則:定理(2) k將它們,后,得到的個(gè)相互正交的單位正交特單位化化征向量.(1) ;k必有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量課件9根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：為：二、利用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化1.11( ) |() ,(),.iskiiijsiiafeaijkn求的特征值:其中而且課件10,i正交對(duì)每個(gè)求特位征向量單1212,iiiiikiiiikk然后再將正交化 單位化,得到個(gè)相互正交的單位特征向量

4、2.120,(1,2, );iiiiikea xis即求的基礎(chǔ)解系課件113.1211122,(,)sktskkspp app ap 個(gè)個(gè)個(gè)則為正交矩陣 而且121112121(,)skksskp課件12解解123220(1)( )21 20214201,4,2.feaa得的特征值例例 設(shè)實(shí)對(duì)稱陣設(shè)實(shí)對(duì)稱陣求正交矩陣求正交矩陣p將將a對(duì)角化對(duì)角化020212022a課件1311(2),()01ea x對(duì)于求解齊次線性方程組11011201202012021000eaea因?yàn)檎n件141323,12xxxx 得到同解方程組 3122,2,1,xxx 令得到課件15231323 1單位化后得21 ,

5、2 1故得到方程組的基礎(chǔ)解系為課件16224,()0,ea x對(duì)于求解齊次線性方程組222 ,1 得到基礎(chǔ)解系2232.313單位化后得到課件1733,(),20ea x對(duì)于求解齊次線性方程組312 ,2 得到基礎(chǔ)解系3132323 單位化后得到課件181231221333122(3)( ,)333212333,142tppp app ap 為正交矩陣 且有課件191 1 11 1 11 1 1apa設(shè)求正交矩陣將對(duì)角化.例子212111(1)( ) |111111(3)00 (),3.feaa解得到的特征值二重課件2011(2)0,()0,ea x對(duì)于解方程組123,xxx 得到同解方程組為1111111111000111000eaa 課件212300,11xx 令12111,001得到基礎(chǔ)解系課件2212121211111,1|2602單位化得到12211122111,121(,)11,(,)201 將正交化課件2322