《球的內(nèi)接與外接》

1、球及球及球與多面體的接、切球與多面體的接、切9.10 球球劉劉 曉曉 平平球的相關(guān)概念1、球的定義以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體(簡稱球)。半圓的圓心叫球心，半圓的半徑叫球半徑。2、球的截面用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面，如果這個平面過球心，稱截面圓為球的大圓（它的半徑等于球半徑），其他的截面圓叫做小圓。O O3、球的半徑R與截面圓半徑r的關(guān)系OO1PrR dOO1PrR d222drR334RV24 RS例例1 1：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑. .求證：求證：（1 1）球的體積等于圓柱體積的）球的體積等

2、于圓柱體積的（2 2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積. .32練習(xí)練習(xí)1 1：一個球的體積為：一個球的體積為10001000. .求它的表面求它的表面積積3100 36(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼?倍倍. .體積變成原來的體積變成原來的 倍；倍；(2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼? 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?，則表面積變?yōu)樵瓉淼?倍倍. .體積變成原來的體積變成原來的 倍；倍；(3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是 . .半徑之

3、比為半徑之比為 (4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是 . .半徑之比為半徑之比為 影響球的表面積及體積的只有一個元素，影響球的表面積及體積的只有一個元素，就是就是球的半徑球的半徑. . 31:2222481: 2231:41:2練習(xí)3距離為1的兩個平行截一個球，所得兩個截面圓的半徑分別為2和3，求這個球的半徑、表面積和體積。OO1O2P1P2OO1O2P1P2OO1O2P1P223R12222491491RRRR或52 1313,52 ,3RSVABCDD1C1B1A1O OA1AC1CO與正方體有關(guān)的三個球A1AC1COO O外接球外接

4、球內(nèi)切球內(nèi)切球棱切球棱切球 球與多面體的接、切球與多面體的接、切定義定義1：若一個多面體的：若一個多面體的各頂點各頂點都在一個球的球面上都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體內(nèi)接多面體， 這個球是這個多面體的這個球是這個多面體的外接球外接球。定義定義2：若一個多面體的：若一個多面體的各面各面都與一個球的球面相切都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的外切多面體外切多面體， 這個球是這個多面體的這個球是這個多面體的內(nèi)切球內(nèi)切球。定義定義3：若一個多面體的：若一個多面體的各棱各棱都與一個球的球面相切都與一個球的球面相切， 則

5、稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的棱切多面體棱切多面體， 這個球是這個多面體的這個球是這個多面體的棱切球棱切球。問題問題1：已知正方體的棱長為：已知正方體的棱長為a，分別求它的，分別求它的外接球、內(nèi)切球、棱切球的體積和面積。外接球、內(nèi)切球、棱切球的體積和面積。A1AC1COO O外接球外接球內(nèi)切球內(nèi)切球棱切球棱切球2332332raSaVa231216raSaVa2322223raSaVa問題問題2.12.1）一個正四面體外切于一個球）一個正四面體外切于一個球, ,過球心和一過球心和一條棱作一個截面條棱作一個截面, ,則截面的可能圖形是則截面的可能圖形是( )( ).OD.OA.O

6、B.OC.OB問題問題2.2) 2.2) 一個正四面體內(nèi)接于一個球一個正四面體內(nèi)接于一個球, ,過球心和一過球心和一條棱作一個截面條棱作一個截面, ,則截面的可能圖形是則截面的可能圖形是( )( ).OC.OD.OB.OA.O.OC解：設(shè)正四面體P-ABCD的棱長為PA=a，外接球和內(nèi)切球的半徑分別為R和r，如右圖，連AO，則AO=R，OD=r，又：問題問題3 3：分別求正四面體的：分別求正四面體的外接球外接球和和內(nèi)切球內(nèi)切球的半徑的半徑比、面積比和體積比。比、面積比和體積比。.O.OABCPDAPEDE2333ADAEa223633PDaaa222ADRrPDRr由及得66,412Rara

7、故兩球的半徑比為：3：1 面積比為：9：1 體積比為：27：11. 已知長方體的長、寬、高分別是已知長方體的長、寬、高分別是 、 、1 ，求長方體的，求長方體的外接球的體積。外接球的體積。35A1AC1CO練習(xí)練習(xí)1：2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四點，且四點，且PA、PB、PC兩兩兩兩互相垂直，若互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這個球的表面積和體積。，求這個球的表面積和體積。沿對角面截得：沿對角面截得：ACBPO O391.,22rV3232.3,2aSa V練練2 2 半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的

8、底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長為面圓內(nèi)，若正方體的一邊長為 ，求半球的體積。，求半球的體積。61A1CAC沿對角面截得：沿對角面截得：1A1CAOCO3,18rV1問題問題4：正三棱錐的高為：正三棱錐的高為 1，底邊長為，底邊長為 。求棱錐的。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。全面積和它的內(nèi)切球的表面積。2 6過側(cè)棱過側(cè)棱AB與球心與球心O作截面作截面( 如圖如圖 )在正三棱錐中，在正三棱錐中，BE 是正是正BCD的高，的高，O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 為斜高為斜高62BC 21 EO3AE 且且 26243362213S 全全9 26 3解法解法1：O1ABEO CD作作 O

9、F AE 于于 FF設(shè)內(nèi)切球半徑為設(shè)內(nèi)切球半徑為 r，則，則 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E 312rr 26 r 6258S球球O1ABEO 13233sin 36cos 在在 Rt AO1E 中中1 costan2sin23 在在 Rt OO1E 中中162OO 6258S球球解法二：解法二：問題問題4：正三棱錐的高為：正三棱錐的高為 1，底邊長為，底邊長為 。求棱錐的。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。全面積和它的內(nèi)切球的表面積。62 1624331V2BCDA 26r 6258S球球OAB CD設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為 r，則，則 VA- BCD = VO-ABC +

10、 VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD32 全全Sr31 r3223 解法三：解法三：問題問題4：正三棱錐的高為：正三棱錐的高為 1，底邊長為，底邊長為 。求棱錐的。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。全面積和它的內(nèi)切球的表面積。62內(nèi)內(nèi)切切球球全全多多面面體體rS31V 注意：注意：割補(bǔ)法，割補(bǔ)法，練練3 三棱錐三棱錐A BCD的兩條棱的兩條棱 AB = CD = 6，其余各，其余各棱長均為棱長均為5，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑。，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑。OAB CD655655E3 78r 則則截球得大圓，截正四棱錐得截球得大圓，截正四棱錐得 PAC， 且且 PAC 內(nèi)接于圓內(nèi)接

11、于圓 O，如圖所示，如圖所示練習(xí)練習(xí)4、求棱長為、求棱長為 a 的正四棱錐的外接球的體積。的正四棱錐的外接球的體積。PACO 過正四棱錐的相對側(cè)棱作截面過正四棱錐的相對側(cè)棱作截面 PA = PC = aa2AC PAC 是等腰是等腰 Rt 即即 AC 為球的直徑為球的直徑a22R 球半徑球半徑3a32V 球球PA C BD O小結(jié)：小結(jié)：1. 長方體的對角線是其外接球的直徑；要善于應(yīng)用該結(jié)論。長方體的對角線是其外接球的直徑；要善于應(yīng)用該結(jié)論。3. 求多面體的內(nèi)切球的半徑，可用割補(bǔ)法，半徑為小錐的高。求多面體的內(nèi)切球的半徑，可用割補(bǔ)法，半徑為小錐的高。2. 正棱錐的外接球問題，常作過一條側(cè)棱及球心的截面。正棱錐的外接球問題，常作過一條側(cè)棱及球心的截面。課后思考課后思考 1、自球面上一點自球面上一點P作球的