2022年屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)不等式選講學(xué)案理新人教A版

1、學(xué)案 76 不等式選講(一)絕對值不等式導(dǎo)學(xué)目標(biāo) ：1. 理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式： (1)|ab| |a| |b| ，(2)|ab| |ac| |cb|.2.會(huì)利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb| c；|axb| c； |xa| |xb| c. 自主梳理1含 _的不等式叫做絕對值不等式2解含有絕對值的不等式的方法關(guān)鍵是去掉絕對值符號，基本方法有如下幾種：(1) 分段討論：根據(jù) |f(x)| fxfxfxfx去掉絕對值符號(2) 利用等價(jià)不等式：|f(x)| g(x) ? g(x) f(x) g(x) ；|f(x)| g(x) ?f(

2、x) g(x) 或f(x) g(x) (3) 兩端同時(shí)平方：即運(yùn)用移項(xiàng)法則，使不等式兩邊都變?yōu)榉秦?fù)數(shù)，再平方，從而去掉絕對值符號3形如 |xa| |xb| c (ab) 與 |xa| |xb| c (ab) 的絕對值不等式的解法主要有三種：(1) 運(yùn)用絕對值的幾何意義；(2)_ ；(3) 構(gòu)造分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求解4(1) 定理：如果a，b，c是實(shí)數(shù)， 則|ac| |ab| |bc| ，當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí)，等號成立(2) 重要絕對值不等式|a| |b| |ab| |a| |b|. 使用時(shí) ( 特別是求最值時(shí))要注意等號成立的條件，即|ab| |a| |b| ?ab0；|ab| |a| |b|

3、?ab0；|a| |b| |ab| ?b(ab) 0；|a| |b| |ab| ?b(ab) 0；注： |a| |b| |ab| ? |a| |ab| |b| ? |(ab) b| |ab| |b| ?b(ab) 0.同理可得 |a| |b| |ab| ?b(ab) 0.自我檢測1(2010江西 ) 不等式x2xx2x的解集是 ( ) a(0,2) b( ， 0) c(2， ) d( ， 0) (0 ，)2(2011天津 ) 已知集合axr|x3| |x4| 9，bx r|x4t1t6，t(0 ， ) ，則集合ab _. 3(2011濰坊模擬) 已知不等式 |x 2| |x3| a的解集不是空

4、集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) aa5 da54若不等式 |x1| |x2|a無實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是 _精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -5(2009福建 ) 解不等式 |2x1|x| 1. 探究點(diǎn)一解絕對值不等式例 1解下列不等式：(1)17 x；(3)|x 1| |2x1|2. 變式遷移 1 (2011 江蘇 ) 解不等式x|2x1|m. (1) 若不等式有解；(2) 若不等式解集為r；(3) 若不等式解集為?. 分別求出實(shí)數(shù)m的取值范圍精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -

5、 - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -變式遷移 2 設(shè)函數(shù)f(x)|x1| |x2| ，若f(x)a對x r恒成立， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍探究點(diǎn)三絕對值三角不等式定理的應(yīng)用例 3“|xa|2，且 |ya|2”是“|xy| ”(x，y，a， r) 的( ) a充分而不必要條件b 必要而不充分條件c充要條件d 既不充分也不必要條件變式遷移 3 (1) 求函數(shù)y|x2| |x2| 的最大值；(2) 求函數(shù)y|x3| |x 2| 的最小值轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(10 分 ) 設(shè)ar，函數(shù)f(x) ax2xa ( 1x1)，(1)

6、 若|a| 1，求證： |f(x)| 54；(2) 求a的值，使函數(shù)f(x)有最大值178. 多角度審題第(1) 問|f(x)| 54? 54f(x) 54，因此證明方法有兩種，一是利用放縮法直接證出 |f(x)| 54；二是證明54f(x) 54亦可第 (2) 問實(shí)質(zhì)上是已知f(x) 的最大值為178，求a的值由于x 1,1 ，f(x) 是關(guān)于x的二次函數(shù)，那么就需判斷對稱軸對應(yīng)的x值在不在區(qū)間 1,1 上【答題模板】精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -證明(1) 方法一1x1，

7、|x| 1. 又 |a| 1，|f(x)| |a(x21) x| |a(x21)| |x| |x21| |x| 1 |x|2|x| |x| 1225454.3分 若 |a| 1，則 |f(x)| 54.5分 方法二設(shè)g(a) f(x) ax2xa (x21)ax. 1x1，當(dāng)x1，即x210 時(shí)， |f(x)| |g(a)| 154； 1 分 當(dāng) 1x1 即x210 時(shí)，g(a) (x21)ax是單調(diào)遞減函數(shù)2 分 |a| 1， 1a1，g(a)maxg( 1) x2x1x12254；3 分 g(a)ming(1) x2x1x12254.4分 |f(x)| |g(a)| 54.5 分 (2)

8、當(dāng)a0 時(shí)，f(x) x，當(dāng)1x1 時(shí)，f(x) 的最大值為f(1) 1，不滿足題設(shè)條件，a0.6分 又f(1) a1a 1，f( 1) a 1a 1. 故f(1) 和f( 1)均不是最大值，7 分 f(x) 的最大值178應(yīng)在其對稱軸上的頂點(diǎn)位置取得，命題等價(jià)于a0112a1f12a178，9 分 解得a12a 2或a18，a 2. 即當(dāng)a 2 時(shí)，函數(shù)f(x) 有最大值178.10分 【突破思維障礙】由于 |a| 1，f(x)的表達(dá)式中有兩項(xiàng)含有a，要想利用條件 |a| 1，必須合并含a的項(xiàng)，從而找到解題思路；另外，由于x的最高次數(shù)為2，而a的最高次數(shù)為1，把a(bǔ)x2xa看作關(guān)于a的函數(shù)更簡

9、單，這兩種方法中，對a的合并都是很關(guān)鍵的一步【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在第 (1) 問中的方法一中，如果不合并含a的項(xiàng)，就無法正確應(yīng)用條件|a| 1，從而導(dǎo)致出錯(cuò)或證不出；方法二也需要先合并含a的項(xiàng)后，才容易把f(x) 看作g(a) 解含有絕對值不等式時(shí)，去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、 分段討論法、 平方法、幾何法等 這幾種方法應(yīng)用時(shí)各有利弊，在解只含有一個(gè)絕對值的不等式時(shí)，用公式法較為簡便； 但是若不等式含有多個(gè)絕對值時(shí)，則應(yīng)采用分段討論法；應(yīng)用平方法時(shí)，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運(yùn)用因此， 在去絕對值符號時(shí)，用何種方精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

10、 - - - - - 第 4 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -法需視具體情況而定( 滿分： 75 分) 一、選擇題 ( 每小題 5 分，共 25 分) 1不等式 |x2x|2 的解集為 ( ) a( 1,2) b ( 1,1) c( 2,1) d ( 2,2) 2(2011鄭州期末) 設(shè)|a|1 ，|b|2 b |ab| |ab|2 c|ab| |ab| 2 d 不能比較大小3 不等式 |x 3| |x1| a23a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ( ) a( ， 1 4 ， ) b( ， 2 5 ，)c1,2 d ( ， 1 2 ，)4 若不等式 |8x9|2

11、的解集相等， 則實(shí)數(shù)a、b的值分別為 ( ) aa 8，b 10 b a 4，b 9 ca 1，b9 d a 1，b2 5若關(guān)于x的不等式 |x1| |x3| a22a1 在 r上的解集為 ?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) aa3 b 1a3 c 1a2 d 1a3 二、填空題 ( 每小題 4 分，共 12 分) 6給出以下三個(gè)命題：若 |ab|1 ，則 |a|b| 1；若a、br，則|ab| 2|a| |ab| ；若 |x|3 ，則xy23. 其中所有正確命題的序號是_7(2010陜西 ) 不等式 |x3| |x2| 3 的解集為 _8(2011深圳模擬) 若不等式 |x1| |x3| a4

12、a對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 三、解答題 ( 共 38 分) 9(12 分)(2010 福建 ) 已知函數(shù)f(x) |xa|. (1) 若不等式f(x) 3 的解集為 x| 1x5，求實(shí)數(shù)a的值；(2) 在(1) 的條件下， 若f(x) f(x5)m對一切實(shí)數(shù)x恒成立， 求實(shí)數(shù)m的取值范圍10(12 分)(2009 遼寧 ) 設(shè)函數(shù)f(x) |x1| |xa|. (1) 若a 1，解不等式f(x) 3；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -(2) 如果 ?x r，f(

13、x) 2，求a的取值范圍11 (14 分)對于任意實(shí)數(shù)a(a0)和b， 不等式 |ab| |ab| |a|(|x1| |x2|)恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍學(xué)案 76 不等式選講( 一) 絕對值不等式自主梳理1絕對值符號3.(2)零點(diǎn)分區(qū)間討論法4(1)(ab)(bc) 0自我檢測1a x2xx2x，x2x0， 0 x2. 2x| 2x5解析|x3| |x4| 9，當(dāng)x3 時(shí)，x3(x4)9，即 4x4時(shí)，x3x49，即 4x5.綜上所述，ax| 4x5又x 4t1t6，t(0， ) ，x24t1t6 2，當(dāng)t12時(shí)取等號bx|x 2，abx| 2x53d 由絕對值的幾何意義知|x2| |x3

14、| 5 ， ) ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -因此要使 |x 2| |x3| a有解集，需a5.4a3解析由絕對值的幾何意義知|x1| |x2| 的最小值為3，而|x1| |x2|a無解，知a3.5解當(dāng)x0 時(shí)，原不等式可化為2x 10，又x0，x不存在；當(dāng) 0 x12時(shí)，原不等式可化為2x10，又0 x12， 0 x12；當(dāng)x12時(shí)，原不等式可化為2x1x1，解得x2，又x12，12x2. 綜上，原不等式的解集為x|0 x1|x2| 3，即x31x5，解得 1x1 或 3x

15、5，所以原不等式的解集為x| 1x1，或 37 x，可得 2x57x或 2x52，或x4. 原不等式的解集是x|x2(3) 由題意x1 時(shí)， |x1| 0，x12時(shí)， 2x10( 以下分類討論) 所以當(dāng)x12時(shí)，原不等式等價(jià)于x12，x12x12，得23x12. 當(dāng)12x1 時(shí)，原不等式等價(jià)于12x1，x12x12，得12x1 時(shí)，原不等式等價(jià)于x1，x12x12，得x無解由得原不等式的解集為x| 23x0 變式遷移1 解原不等式可化為2x10，xx1或2x10，xx1解得12精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 11 頁 -

16、- - - - - - - -x43或 2x12. 所以原不等式的解集是x| 2x43例 2解題導(dǎo)引恒成立問題的解決方法(1)f(x)m恒成立，須有 f(x)maxm恒成立，須有 f(x)minm；(3) 不等式的解集為r，即不等式恒成立；(4) 不等式的解集為?，即不等式無解解因?yàn)閨x 2| |x3| 的幾何意義為數(shù)軸上任意一點(diǎn)p(x) 與兩定點(diǎn)a( 2) 、b( 3)距離的差即|x2| |x3| |pa| |pb|. 易知 (|pa| |pb|)max1，(|pa| |pb|)min 1. 即|x2| |x3| 1,1 (1) 若不等式有解，m只要比 |x2| |x 3| 的最大值小即可，

17、即m1. (2) 若不等式的解集為r，即不等式恒成立，m小于 |x2| |x3| 的最小值即可， 所以ma恒成立，只須1a. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ， 1)例 3解題導(dǎo)引對絕對值三角不等式|a| |b| |ab| |a| |b|. (1) 當(dāng)ab0 時(shí)， |ab| |a| |b| ；當(dāng)ab0 時(shí)， |ab| |a| |b|. (2) 該 定 理 可 以 推 廣 為 |abc| |a| |b| |c| ， 也 可 強(qiáng) 化 為 |a| |b| |ab| |a| |b| ，它們經(jīng)常用于含絕對值的不等式的推證(3) 利用“”成立的條件可求函數(shù)的最值a |xy| |xa(ya)| ，由三角不等式定理|

18、a| |b| |ab| |a| |b| 得： |xy| |xa| |ya|22. 反過來由 |xy| ，得不出 |xa|2且|ya|2時(shí)，“”成立故函數(shù)y|x2| |x2| 的最大值為4. (2)|x 3| |x2| |(x3) (x2)| 5. 當(dāng)2x3 時(shí)，取“”故y|x3| |x 2| 的最小值為5. 課后練習(xí)區(qū)1a |x2x|2 ， 2x2x0 x2x20，xr1x2. 1x0 (b0時(shí)同理 )(1) 當(dāng) 1ab時(shí)， |ab| |ab| abab 2a2，(2) 當(dāng)bab時(shí)， |ab| |ab| abab2b2，(3) 當(dāng)ba1 時(shí)，|ab| |ab| abab2a2. 綜上可知 |a

19、b| |ab|b2，4b2，a2b2，|ab| |ab|2. 3a 由|x3| |x1| 的幾何意義知，|x3| |x 1| 4,4 ，即|x3| |x1| 的最大值是4，要使 |x3| |x1| a23a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4 恒成立即可 所以a ( ，1 4 ， ) 4b 由|8x9|7 ，得 78x97，即 168x 2， 2x14. 由題意知 2，14為方程ax2bx20 的兩根，ba 214，2a214.a 4b 9. 5b 由 |x1| |x3| 的幾何意義知 |x1| |x3| 2，即|x 1| |x3| 的最小值為 2. 當(dāng)a22a12 時(shí)滿足題意，a22a30，即

20、 (a1)(a3)0， 1a3. 6解析|a| |b| |ab|1 ， |a|3 ，1|y|13，|x|y|23，即 |xy|23. 故、都正確7x|x1解析原不等式可化為：x 3，x3x23或3x2，x3x23或x2，x3x23，x?或 1x0時(shí)，a4a4，當(dāng)且僅當(dāng)a2 時(shí)，取等號，當(dāng)a0，顯然符合題意9解方法一(1) 由f(x) 3精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 11 頁 - - - - - - - - -得|xa| 3，解得a3xa 3.(3 分) 又已知不等式f(x) 3 的解集為x| 1x5，所以a3 1，a35

21、，解得a 2.(6分) (2) 當(dāng)a2 時(shí)，f(x) |x2| ，設(shè)g(x) f(x) f(x5) ，于是g(x) |x2| |x3| 2x1，x2.(8 分) 所以當(dāng)x5；當(dāng)3x2 時(shí)，g(x) 5；當(dāng)x2時(shí)，g(x)5. 綜上可得，g(x) 的最小值為5.(10分) 從而若f(x) f(x5)m，即g(x)minm對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為 ( ， 5 (12 分) 方法二(1) 同方法一 (6 分) (2) 當(dāng)a2 時(shí)，f(x) |x2|. 設(shè)g(x) f(x) f(x5)|x2| |x3|. 由|x2| |x3| |(x2) (x3)| 5(當(dāng)且僅當(dāng) 3x2時(shí)等號成立 ) 得，g(x) 的最小值為5.(10分) 從而，若f(x) f(x5)m，即g(x)minm對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為( ， 5