第三節(jié) 頻率與公理化概率

1、某人向目標(biāo)射擊，以某人向目標(biāo)射擊，以A A表示事表示事件件“命中目標(biāo)命中目標(biāo)”，P P（A A）= =？定義定義:事件事件A在在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)次重復(fù)試驗中出現(xiàn)nA(頻數(shù)）頻數(shù)）次，次，則比值則比值nA/n稱為事件稱為事件A在在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為率，記為fn(A). 即即fn(A) nA/n1.3 頻率頻率與公理化概與公理化概率率頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)(1) 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若A1,A2,Ak兩兩不相容兩兩不相容，則則 fn(A1A2 Ak) fn(A1) +fn(Ak).(4) 隨機波動性。隨

2、機波動性。(5) 當(dāng)當(dāng)n充分大時，具有穩(wěn)定性。充分大時，具有穩(wěn)定性。歷史上曾有人做過試驗歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時時,出現(xiàn)正反面的機會均等。出現(xiàn)正反面的機會均等。 實驗者實驗者n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181（德（德摩根）摩根）Buffon 4040 2048 0.5069（蒲（蒲 豐）豐）K. Pearson 12000 6019 0.5016（K 皮爾遜）皮爾遜）K. Pearson 24000 12012 0.5005實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)實踐證明：當(dāng)試驗次數(shù)n增大時，增大時， fn(A) 逐漸逐漸 趨向一個穩(wěn)定

3、值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件作為事件A的概率的概率. 此為概率的統(tǒng)計定義此為概率的統(tǒng)計定義.概率是頻率的穩(wěn)定值概率是頻率的穩(wěn)定值;頻率是概率的反映頻率是概率的反映, 用頻率去解釋概率用頻率去解釋概率.例如例如: P(A)=0.8,: P(A)=0.8,則應(yīng)理解為在觀察則應(yīng)理解為在觀察A A而而做的做的20002000次次試驗中試驗中, ,事件事件A A的出現(xiàn)次數(shù)應(yīng)在的出現(xiàn)次數(shù)應(yīng)在16001600次左右次左右. .兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系第五章第五章 伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律卡爾卡爾.皮爾遜（皮爾遜（Karl Pearson，18571936）英國數(shù)學(xué)家

4、、哲學(xué)家、現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的創(chuàng)始人之一、生物統(tǒng)計英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的創(chuàng)始人之一、生物統(tǒng)計學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家，又是名副其實的歷史學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家、學(xué)家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家，又是名副其實的歷史學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家、倫理學(xué)家、民俗學(xué)家、人類學(xué)家、宗教學(xué)家、優(yōu)生學(xué)家、彈倫理學(xué)家、民俗學(xué)家、人類學(xué)家、宗教學(xué)家、優(yōu)生學(xué)家、彈性和工程問題專家、頭骨測量學(xué)家，也是精力充沛的社會活性和工程問題專家、頭骨測量學(xué)家，也是精力充沛的社會活動家、律師、自由思想者、教育改革家、社會主義者、婦女動家、律師、自由思想者、教育改革家、社會主義者、婦女解放的鼓吹者、婚姻和性問題的研究者，亦是受歡迎的教師、解放的鼓吹者、婚姻和性問題的研究

5、者，亦是受歡迎的教師、編輯、文學(xué)作品和人物傳記的作者。一句話，他是編輯、文學(xué)作品和人物傳記的作者。一句話，他是19和和20世世紀(jì)之交的活躍的哲人科學(xué)家和百科全書式的學(xué)者。紀(jì)之交的活躍的哲人科學(xué)家和百科全書式的學(xué)者。1857年年3月月27日生于倫敦，日生于倫敦，1936年年4月月27日卒于金港灣。日卒于金港灣。1879年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，并獲優(yōu)等生稱號。在校期間，他除年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，并獲優(yōu)等生稱號。在校期間，他除了主修數(shù)學(xué)外，還學(xué)習(xí)法律，了主修數(shù)學(xué)外，還學(xué)習(xí)法律，1881年，他取得了法庭律師資年，他取得了法庭律師資格和法學(xué)學(xué)士學(xué)位，隨后，他去德國海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)格和法學(xué)學(xué)士學(xué)位，隨后，他去德

6、國海登堡大學(xué)和柏林大學(xué)留學(xué)，留學(xué)，1882年獲文學(xué)碩士學(xué)位。接著又獲博士學(xué)位。歷任倫年獲文學(xué)碩士學(xué)位。接著又獲博士學(xué)位。歷任倫敦大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主任、優(yōu)生學(xué)教授、哥爾登實驗室主任，敦大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主任、優(yōu)生學(xué)教授、哥爾登實驗室主任，并長期兼任并長期兼任生物統(tǒng)計學(xué)雜志生物統(tǒng)計學(xué)雜志和和優(yōu)生學(xué)年刊優(yōu)生學(xué)年刊的編輯，的編輯，英國皇家學(xué)會會員。建立皮爾遜曲線族，用數(shù)學(xué)方法描述自英國皇家學(xué)會會員。建立皮爾遜曲線族，用數(shù)學(xué)方法描述自然現(xiàn)象，對發(fā)展數(shù)理統(tǒng)計理論及其應(yīng)用有重要貢獻(xiàn)。他是生然現(xiàn)象，對發(fā)展數(shù)理統(tǒng)計理論及其應(yīng)用有重要貢獻(xiàn)。他是生物統(tǒng)計學(xué)的奠基人。在哲學(xué)上，宣揚物統(tǒng)計學(xué)的奠基人。在哲學(xué)上，宣揚“人是自然

7、規(guī)律的創(chuàng)造人是自然規(guī)律的創(chuàng)造者者”，科學(xué)規(guī)律是人的認(rèn)識能力的產(chǎn)物，主要著作有，科學(xué)規(guī)律是人的認(rèn)識能力的產(chǎn)物，主要著作有科學(xué)科學(xué)的基本原理的基本原理、進(jìn)化論的數(shù)學(xué)研討進(jìn)化論的數(shù)學(xué)研討等。等。 皮爾遜在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)方面。皮爾遜在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)方面。1894年年,他提出了矩估計方法他提出了矩估計方法,其核心思想就是用樣本矩去估計總體其核心思想就是用樣本矩去估計總體矩矩,用樣本矩的函數(shù)估計總體矩的同一函數(shù)用樣本矩的函數(shù)估計總體矩的同一函數(shù).他首先提出了頻他首先提出了頻率曲線的理論。率曲線的理論。1895年，他有由經(jīng)驗得出了頻率分布的一般年，他有由經(jīng)驗得出了頻率分布的一

8、般性質(zhì)，選定常微分方程來描述頻率曲線。通過解這個微分方性質(zhì)，選定常微分方程來描述頻率曲線。通過解這個微分方程可導(dǎo)出程可導(dǎo)出13種曲線形式。種曲線形式。 1900年皮爾遜提出了擬合優(yōu)度檢年皮爾遜提出了擬合優(yōu)度檢驗。這是一種很有用的方法，在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計理論中占有重驗。這是一種很有用的方法，在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計理論中占有重要地位。他在要地位。他在1896年發(fā)表的題為年發(fā)表的題為回歸、遺傳和隨機交配回歸、遺傳和隨機交配的論文中，導(dǎo)出了乘積動差相關(guān)系數(shù)公式和其他兩種等價的的論文中，導(dǎo)出了乘積動差相關(guān)系數(shù)公式和其他兩種等價的公式，提出了計算方法，還以三個變量為例，闡述了一般相公式，提出了計算方法，還以三個變量為

9、例，闡述了一般相關(guān)理論。他還進(jìn)一步發(fā)展了回歸與相關(guān)的理論，成功的創(chuàng)建關(guān)理論。他還進(jìn)一步發(fā)展了回歸與相關(guān)的理論，成功的創(chuàng)建了生物統(tǒng)計學(xué)，提出了樣本總體概念。皮爾遜對個體變異性、了生物統(tǒng)計學(xué)，提出了樣本總體概念。皮爾遜對個體變異性、統(tǒng)計量的概率誤差進(jìn)行了深入的研究。特別應(yīng)當(dāng)指出的事，統(tǒng)計量的概率誤差進(jìn)行了深入的研究。特別應(yīng)當(dāng)指出的事，皮爾遜于皮爾遜于1900年創(chuàng)辦的年創(chuàng)辦的生物計量學(xué)雜志生物計量學(xué)雜志，對推動數(shù)理統(tǒng)，對推動數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科的發(fā)展，產(chǎn)生了十分深遠(yuǎn)的影響計學(xué)科的發(fā)展，產(chǎn)生了十分深遠(yuǎn)的影響。 皮爾遜建立了世界上第一個數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的實驗室，吸引皮爾遜建立了世界上第一個數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的實驗室，吸引了一

10、大批訓(xùn)練有素的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家來到這個中心實驗室研究了一大批訓(xùn)練有素的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家來到這個中心實驗室研究工作，培養(yǎng)了一大批數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家，推動了這個學(xué)科的發(fā)展。工作，培養(yǎng)了一大批數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家，推動了這個學(xué)科的發(fā)展。 皮爾遜在倫敦大學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)哥德斯米德教席教授皮爾遜在倫敦大學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)哥德斯米德教席教授時，顯示出堅忍不拔的工作勁頭和異乎尋常的多產(chǎn)性。他的時，顯示出堅忍不拔的工作勁頭和異乎尋常的多產(chǎn)性。他的專業(yè)職責(zé)是講授靜力學(xué)、動力學(xué)、力學(xué)、近代幾何、畫法幾專業(yè)職責(zé)是講授靜力學(xué)、動力學(xué)、力學(xué)、近代幾何、畫法幾何和投影幾何，他用直觀的作圖法深入淺出地講解力學(xué)問題，何和投影幾何，他用直觀的

11、作圖法深入淺出地講解力學(xué)問題，很受初學(xué)者歡迎。皮爾遜還在為學(xué)科學(xué)技術(shù)的學(xué)生講應(yīng)用數(shù)很受初學(xué)者歡迎。皮爾遜還在為學(xué)科學(xué)技術(shù)的學(xué)生講應(yīng)用數(shù)學(xué)，為學(xué)工程的學(xué)生講制圖，他也講過天文學(xué)，并用得到的學(xué)，為學(xué)工程的學(xué)生講制圖，他也講過天文學(xué)，并用得到的資助在學(xué)院的草坪上建立了兩個小天文臺，以訓(xùn)練學(xué)生觀察資助在學(xué)院的草坪上建立了兩個小天文臺，以訓(xùn)練學(xué)生觀察天象。天象。概率的公理化定義概率的公理化定義1.定義：定義：若對隨機試驗若對隨機試驗E所對應(yīng)的樣本空間所對應(yīng)的樣本空間S中的中的每一事件每一事件A，均賦予一實數(shù)均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)集合函數(shù)P(A)滿足條件：滿足條件：(1) 非負(fù)性：非負(fù)性：P(A)

12、 00；(2) 規(guī)范性規(guī)范性（歸一性）（歸一性）：P(S)1； (3) 可列可加性可列可加性：設(shè)設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不是一列兩兩互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率。的概率。(2) 有限有限可加性可加性：設(shè)設(shè)A1，A2，An , 是是n個兩兩互不個兩兩互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n ,則則有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差：事件差： A、

13、B是兩個事件，則是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB)(3) 單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若事件：若事件A B，則則P(A)P(B) ( )0P(1),0( )1ASP A概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)(5) 加法公式加法公式：對任意兩事件：對任意兩事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) P(A)1-P(A)(6)(6) 互補性互補性()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC三個事件的加法公式三個事件的加法公式例例1解解: P(AB)P0.3ABP B 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三種報紙丙三種報紙, 訂每種報紙訂每種報紙的人數(shù)分別

14、占全體市民人數(shù)的的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%, 其中有其中有10%的人同時定甲、乙兩種報紙的人同時定甲、乙兩種報紙. 沒有人同時沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙訂甲丙或乙丙報紙. 求從該市任選一人求從該市任選一人, 他至他至少訂有一種報紙的概率少訂有一種報紙的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解: 設(shè)設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲分別表示選到的人訂了甲,乙乙,丙報丙報P(A)=30% , P(B)=30% , P(C)=30%P(AB)=10% ,P(AC)=0 , P(BC)=0, P(ABC)=0例例2 2 在在1 1 1010這這1010個自然數(shù)中任取一數(shù)，求個自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1 1）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的數(shù)既不能被）取到的數(shù)既不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。1( )2P A 3( )10P B (1) ()( )( )()P ABP AP BP AB1()10P AB 107(2) ()1()P ABP AB 103(3) (