概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集及答案Company number ： 0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)集及答案第1章概率論的基本概念§1.1 隨機試驗及隨機事件1. (1)一枚硬幣連丟3次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S 二 ；(2) 一枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是：S 二 ；2. (1)丟一顆骰子.A ：出現(xiàn)奇數(shù)點，則A二； B ：數(shù)點大于2,則B 二 .(2) 一枚硬幣連丟2次， A ：第一次出現(xiàn)正面，則A二 ；B ：兩次出現(xiàn)同一面，貝卜 ； C ：至少有一次出現(xiàn)正面，則C= .§1.2 隨機事件

2、的運算1 .設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件：(1)A、B、C都不發(fā)生表示為：. (2)A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示 為：-(3) A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為：. (4) A、B、C中最多二個發(fā)生表示 為：-(5)A、B、C中至少二個發(fā)生表示為：. (6)A、B、C中不多于一個發(fā)生表示 為：-2. = x:0< a <5),A = x: 1 <x<3),B = x:2<<4:則(1) AkjB=.(2) AB= .(3)AB=.(4) A>B= , (5) 71= o(5) 3概率的定義和性質(zhì)1 .已知 P(A = 8)

3、= 0.8, P(A) = 05P(8)=0.6,貝lj(1) P(AB) = , (2)(P(A B)= . (3) P(A<jB)=.2 .已知 P(A) = 0.7, P(AB) = 0.3,則 P(AB)=.§1.4 古典概型1 .某班有30個同學(xué),其中8個女同學(xué)，隨機地選10個,求：正好有2個女同學(xué)的概率, (2)最多有2個女同學(xué)的概率，(3)至少有2個女同學(xué)的概率.2 .將3個不同的球隨機地投入到4個盒子中，求有三個盒子各一球的概率.§1.5 條件概率與乘法公式1 .丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數(shù)之和為7,則其中一顆為1的概率是 O2 .已知 P(A)

4、= l/4, P(8IA) = l/3,P(AI8) = l/2,則 P(Au8)= 。§1 .6全概率公式1 .有10個簽，其中2個“中二第一人隨機地抽一個簽，不放回，第二人再隨機地抽一 個簽，說明兩人抽“中的概率相同。2 .第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有5個紅球5個白球，隨機地取一盒，從 中隨機地取一個球，求取到紅球的概率。§1.7貝葉斯公式1 .某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求(1)該廠產(chǎn)品能出廠的概率，(2)任取一出廠產(chǎn)品,求未經(jīng)調(diào)試的概率。2 .將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概

5、率為,B被誤收作A的概率為，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3 : 2,若接收站收到 的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少§1 .8隨機事件的獨立性1 .電路如圖，其中A,B,C,D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨立，且每一開關(guān)閉合的 概率均為p,求L與R為通路(用T表示)的概率。 八/BLR C D 2 .甲，乙，丙三人向同一目標各射擊一次，命中率分別為，和，是否命中，相互獨立， 求下列概率：(1)恰好命中一次，(2)至少命中一次。第1章作業(yè)答案§1.1 1 ： (1) S = HHH、HHT,HTH、THH、HTT、THT'TTH、TTT)；(2) S = 0,

6、1, 2, 3)2 ： (1) A = 1, 3, 5) 8 = 3, 4, 5, 6；(2) A = 正正，正反,8 = 正正，反反,。= 正正，正反，反正。§1.2 1 ： (1) ABC ； (2) ABC ； (3) ABC ； (4) A B C ； (5) ABACBC ；(6) AB<jAC<jBC 或 ABC + ABC + ABC + ABC ；2 ： (l)Au8 = x:l vxv4 ； (2)AB = x:2<x<3 ； (3)= x: 3 < x < 4；(4)=或2«x«5 ； (5) AB =x:

7、1 <a-<4o§1.3 1 ： (1) P(AB)=, (2) P(AB)= , (3) P(A<jB) = 0.7. 2 ： P(AB) =§i .4 i ： cK，(c；+c；%+c：，)/c(，1-(。分+c；q)/c，2 ： P/4§1.5 1 ： . 2/6 ；2 ： 1/4O§1.6 1 ：設(shè)A表示第一人“中”,則P(A) = 2/10p P(X=2,YW2)； (2)P(YW2)； (3)已知 YW2,求 X=2 的概率。§貝努里分布1 一辦公室內(nèi)有5臺計算機，調(diào)查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為，計算

8、機是否被使用相互獨立，問在同一時刻(1)恰有2臺計算機被使用的概率是多少(2)至少有3臺計算機被使用的概率是多少(3)至多有3臺計算機被使用的概率是多少(4)至少有1臺計算機被使用的概率是多少2設(shè)每次射擊命中率為，問至少必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的概率 不小于§隨機變量的分布函數(shù) 0x<-1設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)是：F(x)= 0.5 -1<x<11x>(1)求 P(XWO)； P(O<X<1) ; P(Xl). (2)寫出 X 的分布律。r Ax2設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)是：F(x)=1tV7 ">°，求(

9、1)常數(shù)A,(2)P(1<XW2).0x<0§連續(xù)型隨機變量k x 0Vx v 1設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為"0具他(1)求常數(shù)k的值；(2)求X的分布函數(shù)F(x),畫出F(x)的圖形，(3)用二種方法計算P(- <X<.0x<2設(shè)連續(xù)型隨機變量口的分布函數(shù)為：F(x)=hix1 x>e(1)求X的密度函數(shù)畫出/*)的圖形，(2)并用二種方法計算P(X>.§均勻分布和指數(shù)分布1設(shè)隨機變量K在區(qū)間(0, 5)上服從均勻分布,求方程4x2+ 4Kx + K + 2 = 0 有實根的概率。2假設(shè)打一次電話所用時間(單位：分)

10、X服從= 0.2的指數(shù)分布，如某人正好在你前 面走進電話亭，試求你等待：(1)超過10分鐘的概率；(2) 10分鐘到20分鐘的 概率。§正態(tài)分布1 隨機變量 X N (3, 4), (1)求 P(2vX W5), P(- 4vXW 10), P(IXI>2), P(X>3)；(2)確定 c,使得 P(X>c) = P(X<c)o2某產(chǎn)品的質(zhì)量指標X服從正態(tài)分布，u=160,若要求P(120<X<200)N,試問。最多取 多大§隨機變量函數(shù)的分布1設(shè)隨機變量X的分布律為；X 01 2PY = 2X-1,求隨機變量X的分布律。2設(shè)隨機變量X的

11、密度函數(shù)為:/“)= VLf ,I 0 具他r = x2 ;求隨機變量y的密度函數(shù)。3.設(shè)隨機變量X服從(0, 1)上的均勻分布，K = -21nX t求隨機變量Y的密度函第2章作業(yè)答案§ 1 ： X 3 4 5P2 ： 12345P X XX XXX XXXX1§ 1 ： (1)P(X= 1) = P(XN1) - P(XN2)= 一 二,(2) P(XN1) 二 ,(3) P(XW 1)= 1 - P(XN2) = 1 - = o2 ： (1)由乘法公式：P(X=2,Y W 2) = P(X=2) P(Y W 2 I X=2)= x (e" + 2b2 + 2

12、e" )= 2 e”(2)由全概率公式:P(YW2) = P(X=2) P(YW2 I X=2) + P(X=3) P(Y W2 I X=3)=x5(3)由貝葉斯公式：P(X=2IYW2)二P(X =2,y W2)P(Y < 2)0.27067-0.52458=0.516§ 1 ：設(shè)x表示在同一時刻被使用的臺數(shù)，則XB(5,(1)P(X = 2) = C；0.620.43(2) P(X N3)= C/0.630.42 + C0.640.4 + 0.65(3) P(X W 3 ) = 1 - C； 0.640.4 - 0.65(4)P(X N 1 ) = 1 - 0.4

13、52 ：至少必須進行11次獨立射擊.§ 1 ： (1) P(XW0)= ； P(0 < X < 1) = ； P(XN1) 二 ,(2) X的分布律為：X J 1P2 ： (1) A= 1, (2)P(1<X <2)=1/60x<0§ 1 ： (1) k = 2,(2) F(x) = x2 0<x<1;1x>z、/fO.5r0 裨.5|(3) P(- <X< = Lj*Mx = L陽X + £ 2xdx = n ；或二 F(0, 5) - F = -0 = -o44,、Mx l<x<e ,、2

14、：(1) /W= n . .(2) P(X>2) = l ln20 具他§ 1 ：3/52 ： I (2)廠一小§ 1 ： (1)；(2)c = 3f 2 : oW。3 :§ 1 ： Y 113y>0 . /y <0J1fY(y = 2e0第3章多維隨機變量§二維離散型隨機變量1.設(shè)盒子中有2個紅球，2個白球,1個黑球，從中隨機地取3個，用X表示取到的紅球個數(shù)，用Y表示取到的白球個數(shù)，寫出(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律°2.設(shè)二維隨機變量(X)的聯(lián)合分布律為7 |Y 012試根幅下列條件分別求a和b的值； 00.2 a(l

15、)P(X =1) = 0.6 ；1 b(2)P(X =117 = 2) = 0.5 ；(3)設(shè)尸)是丫的分布函數(shù),一(1.5)=0.5。§二維連續(xù)型隨機變量L (X、丫)的聯(lián)合密度函數(shù)為：/Uy) =尸k(x +y) 0<x<l,0<y<l求 常數(shù) k ； (2) P(X<l/2,Y<l/2) ； (3) P(X+Y<1) ； (4) P(X<1/2)O2 .(X、y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：/3,，)=kxy 0<x<l, 0<y<x求 常數(shù) k； (2) P(X+Y<1) ； (3) P(X<l/2)e

16、§邊緣密度函數(shù)1 .設(shè)(x.y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求x與y的邊緣密度函數(shù)。2 .設(shè)(x,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求x與丫的邊緣密度函數(shù)。§隨機變量的獨立性1. (X,Y)的聯(lián)合分布律如下， X Y 1 2 3試根幅下列條件分別求a和b的值；11/6 1/9 1/18(1) P(r = l) = l/3 ；2 a b 1/9(2) P(X >117 = 2) = 0.5 ；(3)已知 X 與 丫相互獨立。2. (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c,并討論X與丫是否相互獨立*§多個隨機變量的函數(shù)的分布*§幾種特殊隨機變量函數(shù)的分布 第3章作

17、業(yè)答案§ 1 ： X Y 2 2 ： (l)a= b=1 (2) a= b=2S 0.3(3) a= b=1§ 1 ： (l)k = 1 ； (2) P(X<l/2, Y<l/2) = 1/8 ； (3) P(X+Y<1) = 1/3 ； (4) P(Xvl=3/8。2 ： (l)k = 8 ； (2) P(X+Y<1) = 1/6 ； (3) P(X<l/2) = l/16o1 : fx M = J-X，八 八八 不辦=/r(i+x-)(i + y )2- -oo < x < -Ho ；4(1 +尸)i /、 L1i 2/y(y)

18、 =-Zx =- -oo< y <+oo ;J-xjr2(l + x2)(l + y2) 乃(1 + y )xex x > 00x<0fy(y)= <§ 1 ： (1) a=l/6 b=7/18 ； (2) a=4/9 b=l/9 ； (3) a= 1/3, b = 2/9o2 ： c = 6, X與Y相互獨立。第4章隨機變量的數(shù)字特征§數(shù)學(xué)期望1 .盒中有5個球，其中2個紅球，隨機地取3個，用X表示取到的紅球的個數(shù)，則EX 是：(A) 1 ；(B) ；(C) ；(D) 2.3r2 2<x<4i2,設(shè)X有密度函數(shù)：/(x)= =,求

19、E(X), E(2X-1),鳳7),并求X大于0 其他X -數(shù)學(xué)期望E(X)的概率。3 .設(shè)二維隨機變量(XI)的聯(lián)合分布律為7 |Y 012已知 E(XY) = 0.65,00.2 a貝IJ a和b的值是：1b(A) a=, b= ；(B) a=, b= ；(C) a=, b= ；(D) a=, b=o4 .設(shè)隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求EX,Ey,E(XY + l)。§數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1 .設(shè)X有分布律：X () 123則國X?2X+3)杲：P(A) 1 ；(B) 2 ；(C) 3 ；(D) 4.5,2 .設(shè)(x.y)有/ A試驗證 E(xy)= E(x)E(y),但x

20、與丫不。其 他相互獨立。§方差I(lǐng) .丟一顆均勻的骰子，用X表示點數(shù)，求石X, OX.(x + l)/4 0<x<22. X有密度函數(shù)：/(x)=,求D(X).0只§常見的幾種隨機變量的期望與方差1 .設(shè)X"2) ,y8(3, 0.6)，相互獨立，則E(X-2Y), D(X-2丫)的值分別是： (A)和；(B) -1 和 4 ；和；(D)和.2.設(shè)XU(“，辦 YN(4, 3), X與丫有相同的期望和方差，求”，。的值。(A) 0 和 8；(B) 1 和 7；(C) 2 和 6；(D) 3 和 5.§協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1 .隨機變量(x,y)的聯(lián)

21、合分布律如下：試求協(xié)方差c,p(x,y)和相關(guān)系數(shù)A.X Y -Y2 .設(shè)隨機變量(X, Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試求協(xié)方差Cou(X,y)和相關(guān)系數(shù)§獨立性與不相關(guān)性矩1 .下列結(jié)論不正確的是()(a) x與丫相互獨立，則x與丫不相關(guān)；(B) x與丫相關(guān)，則x與y不相互獨立；(c) E(xr)= E(x)E(y),則x 與丫相互獨立；(D) /(x,y) = /x(x)/r(y),則X 與丫不相關(guān)；2 .若cov(x,y)= o,則不正確的是()(A) E(XY) = E(X)E(Y) ； (B) E(X + Y) = E(X) +E(Y)；(C) D(XY) = D(X)D(Y)

22、 ； (D) D(X +Y) = D(X) +D(Y)；3 . (X,r)有聯(lián)合分布律如下，試分析X與y的相關(guān)性和獨立性。XY01-11/81/81/801/801/811/81/81/84 .鳳xr）= f（x）4y）是x與丫不相關(guān)的（）（A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。5 . E（xr）= 4x）石（丫）是x與丫相互獨立的（）（A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。6 .設(shè)隨機變量（X,Y）有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗證X與丫不相關(guān)，但不獨立。第4章作業(yè)答案§1 ： B ；2 ： 3/2, 2, 3/4,37/

23、64 ；3 ： D ；4 ： 2/3, 4/3, 17/9 ；§1 ： D；§1：7/2,35/12 ；2 ： 11/36 ；§1：A ；2 ：B ；§1：,； 2 ： -1/144, - 1/11；§1：C ；2 ： C ；3 ： X與丫不相關(guān)，但X與丫不相互獨立；4 ： C ； 5 ： A ；第5章極限定理*§大數(shù)定理§中心極限定理1 . 一批元件的壽命（以小時計）服從參數(shù)為的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在用， 其余29只備用，當使用的一只損壞時，立即換上備用件，利用中心極限定理求30 只元件至少能使用一年（8760小

24、時）的近似概率。2 .某一隨機試臉，“成功”的概率為，獨立重復(fù)10。次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作業(yè)答案【理統(tǒng)計基礎(chǔ)§數(shù)理統(tǒng)計中的幾個概念1 .有11=10的樣本；，則樣本均值x=,樣本均方差S =,樣本方差S? =o2 .設(shè)總體方差為必有樣本X|,X2,X”，樣本均值為了,則Cov(XI,5)=。§數(shù)理統(tǒng)計中常用的三個分布1 .查有關(guān)的附表，下列分位點的值：Z0-9=Zo,l(5)=一，().9 (10)= o2 .設(shè)七,乂2,X”是總體/(”?)的樣本，求E(T), D(X)O§ 一個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布I .

25、設(shè)總體乂樣本X”X2,X”,樣本均值G,樣本方差§2,則X-/ X-/b / yfn* S / yn_1 /IfZ(XX)2 , fZ(X,4)2b /-1b /-I*§二個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布 第6章作業(yè)答案§ 1 . 7 = 1.57, 5 = 0.254. 52 = 0.0646 ； 2. Cov(XX) = h2 /n ;§ 1 . , , ；2 . E(X) = m, D(X) = 2m/n ；§ L N(0, 1),1), z2(/?-l), Z2(n)；第7章參數(shù)估計§矩估計法和順序統(tǒng)計量法L設(shè)總體X的密度函數(shù)為：

26、:""I 有樣本七小,X"，求未知 0 其 他參數(shù)e的矩估計。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)XWX),為估計4的值，在實地隨機地調(diào)查了 20次，每次1分鐘，結(jié)果如下：次數(shù)：2 3 4 5 6量數(shù)：9 5 3 7 4試求Z的一階矩估計和二階矩估計。§極大似然估計1 .設(shè)總體X的密度函數(shù)為：/(幻=卜歷+ 1)一有樣本XrX,x“，求未 0其 他知參數(shù)夕的極大似然估計。§估計量的評價標準L設(shè)總體X服從區(qū)間(“，1)上的均勻分布，有樣本X1,X.,X”，證明£ = 2又-1是“ 的無偏估計。2 .設(shè)總體X 萬(4),有樣本,X”,X"，證明aG + (l-a»2是參數(shù)九的無偏估計 (0<«<