2022年數(shù)列綜合測試題

1、1 數(shù)列綜合測試題(時間： 100 分鐘滿分： 120 分) 一、選擇題 (本大題共10 小題，每小題5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1在等比數(shù)列an中，如果a66， a9 9，那么 a3為()a4 b.32c.169d2 解析在等比數(shù)列 an中， a3， a6，a9也成等比數(shù)列a62a3a9， a36294. 答案a 2在等差數(shù)列an中，若 a1a2a332，a11a12a13 118，則 a4a10等于()a45 b50 c75 d60 解析由已知： a1a2a3a11a12a13150， 3(a1a13)150， a1a1350. a4a10a1

2、a13， a4 a1050. 答案b 3計算機的成本不斷降低，若每隔 5 年計算機價格降低13，現(xiàn)在的價格是8 100 元的計算機，則 15 年后，價格降低為()a2 200 元b900 元c2 400 元d3 600 元解析價格降了3 次，則價格降為8 10011332 400. 答案c 4(2011 天津一中月考)在數(shù)列 an 中， a32，a71，如果數(shù)列1an1是等差數(shù)列，那么a11等于()a.13b.12c.23d1 解析設(shè) bn1an1，則數(shù)列 bn是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知b3，b7，b11成等差數(shù)列，又b31a3113， b71a7112，所以 b112b7b323，所以

3、1a11123，解得 a1112. 答案b 5設(shè) an n210n11，則數(shù)列 an前 n 項的和最大時n 的值為()a10 b11 c10 或 11 d12 解析令 an0 得 n210n11 0， 1n11. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -2 即 1n10 時， an0，當(dāng) n12 時， an0，而 a110，故前 10 項和等于前

4、11 項和，它們都最大答案c 6在等比數(shù)列 an 中，若 an0，且 a21 a1，a4 9a3，則 a4a5的值為()a16 b81 c36 d27 解析a1q 1a1a1q39a1q2?a114，q3.a4 a51433143427. 答案d 7(2011 遼寧卷 )若等比數(shù)列 an滿足 anan116n，則公比為()a2 b4 c8 d16 解析由 anan116n，知 a1a216，a2a3162，后式除以前式得q2 16， q 4. a1a2a12q160， q0， q4. 答案b 8在等比數(shù)列an中， a312，a2 a430，則 a10的值為()a3105b329 c128 d3

5、 25或 329解析 a2a3q，a4a3q， a212q，a412q.12q12q 30，即 2q25q20. q12或 q 2.當(dāng) q12時， a224， a10 a2q8 24128325；當(dāng) q2 時， a26， a10a2q86 28329. 答案d 9 在等差數(shù)列 an中， 設(shè)公差為d， 若前 n項和為 sn n2， 則通項和公差分別為()aan2n1，d 2 ban2n1，d2 can 2n 1，d 2 dan 2n1，d2 解析ansn sn1 n2 (n 1)2 2n1(n1，n n*)當(dāng) n1 時， a1s11 滿足上式，顯然d 2. 答案c 10在數(shù)列 xn 中，2xn1

6、xn11xn1(n2)，且 x223，x425，則 x10等于()a.211b.16c.112d.15解析由已知得數(shù)列1xn是等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列的公差為d，1x41x2 2d1， d12，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -3 1x101x2 (102)d112， x10211. 答案a 二、填空題 (本大題共4 小題，每小題4 分，共 16

7、 分，把答案填在題中橫線上) 11若數(shù)列 an是等差數(shù)列，a3，a10是方程 x23x 50 的兩根，則a5a8_. 解析數(shù)列 an 為等差數(shù)列，a3a10 a5 a8.a3a10 3， a5 a83. 答案3 12已知等差數(shù)列an ，公差 d0，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a1a5a17a2a6a18_. 解析由題意得 (a1 2d)2 a1(a13d)， d 0， a1 4d， an 4d(n1)d，即 an (n5)d，a1 a5a17a2 a6a184d12d3dd13d811. 答案81113定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等

8、和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列 an是等和數(shù)列，且a1 1，公和為1，那么這個數(shù)列的前2 011 項和 s2 011_. 解析a1 1，a2 2，a3 1，a42，a2 011 1， s2 011(a1a2)(a3 a4)(a2 009a2 010)a2 011 1 0051(1)1 004. 答案1 004 14把自然數(shù)1,2,3,4，按下列方式排成一個數(shù)陣1 23 456 78910 1112131415 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n3)行從左至右的第3 個數(shù)是 _解析該數(shù)陣的第1 行有 1 個數(shù)，第 2 行有 2 個數(shù)， ， 第 n 行有 n 個數(shù)，則第 n1(n3)行的最

9、后一個數(shù)為n1 1n12n22n2，則第 n 行從左至右的第3 個數(shù)為n22n23. 答案n22n23 三、解答題 (本大題共5 小題，共 54 分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15 (10 分 )已知 an為等差數(shù)列，且a3 6，a6 0. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -4 (1)求 an 的通項公式；(2)若等比

10、數(shù)列 bn滿足 b1 8，b2a1a2a3，求 bn的前 n 項和公式解(1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d.因為 a3 6，a60，所以a12d 6，a15d0.解得 a1 10，d2.所以 an 10(n1)22n12. (2)設(shè)等比數(shù)列 bn的公比為q.因為 b2 a1a2a3 24，b1 8，所以 8q 24，q3.所以數(shù)列 bn的前 n 項和公式為snb11qn1q 4(13n)16 (10 分 )已知數(shù)列 an滿足 a11，a23，an23an1 2an(nn*)(1)證明：數(shù)列 an1an是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列 an的通項公式(1)證明an23an12an， an2 an12(an

11、1an)，an2an1an1an 2. a11，a23， an1 an是以 a2a12 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)得 an1 an2n，an(anan1)(an1an2) (a2a1)a12n1 2n2 212n 1. 故數(shù)列 an 的通項公式為an2n1. 17 (10 分)已知點 (1,2)是函數(shù)f(x)ax(a0 且 a1)的圖象上一點，數(shù)列an的前 n 項和 snf(n)1. (1)求數(shù)列 an的通項公式；(2)若 bnlogaan1，求數(shù)列 anbn的前 n 項和 tn. 解(1)把點 (1,2)代入函數(shù)f(x)ax得 a2，所以數(shù)列 an的前 n 項和為 snf

12、(n)12n 1. 當(dāng) n1 時， a1s1 1；當(dāng) n2 時， ansn sn1 2n2n12n1，對 n1 時也適合，an2n1. (2)由 a 2，bnlogaan1得 bnn，所以 anbnn 2n1. tn1 202 213 22 n 2n1，2tn1 212 223 23 (n1) 2n1n 2n.由得：tn202122 2n1n 2n，所以 tn(n1)2n1. 18 (12 分 )已知數(shù)列 an的前 n 項和為 sn，且 a11，an112sn(n1,2,3， )(1)求數(shù)列 an的通項公式；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

13、 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -5 (2)當(dāng) bnlog32(3an1)時，求證：數(shù)列1bnbn1的前 n 項和 tnn1n. (1)解由已知an112sn，an12sn1(n2)，得 an132an(n2)數(shù)列 an 是以 a2為首項，以32為公比的等比數(shù)列又a212s112a112，ana232n2(n2) an1，n1，1232n2， n 2.(2)證明bnlog32(3an1)log323232n1n.1bnbn1

14、1n 1n1n11n. tn1b1b21b2b31b3b41bnbn11112121313141n11n111 nn1n. 19 (12 分)已知等差數(shù)列an的首項a11，公差d0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列的第二項、第三項、第四項(1)求數(shù)列 an的通項公式；(2)設(shè) bn1n an3(nn*)，snb1b2 bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n 均有 snt36總成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由解(1)由題意得 (a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2. a11，解得 (d0 舍)，d 2.an2n1(nn*)(2)bn1n an 312n n1121n1n1，snb1b2 bn1211212131n1n11211n1n2 n1. 假設(shè)存在整數(shù)t 滿足 snt36總成立，又sn1snn