《圖形的相似》章末復習導學案

1、第23章知識升華、知識網(wǎng)絡相似多邊形性質(zhì)和判定相似三角形性質(zhì)和判定相似三角形坐標表示圖形的位苴坐標與圖形的運動例1、在4ABC中，/ B=25° , AD是BC邊上的高，并且 的度數(shù)為.解析：（1）當高AD在4ABC內(nèi)時，如圖1.直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由二、典例分析1、分類討論題,貝叱BCAADB = / CDA , ADB CDA ,/ BAD = / ACD./ CAD + / ACD =90° , . /CAD+/BAD = 90° .1. / B = 25° , . . / BCA =65° .(2)當高 A

2、D 在 ABC 外時，如圖 2.同理可證 ADB ACDA，/ ABD =/ CAD =25° , .Z ACD = 65° , BCA = 180° -Z ACD = 115° .說明：本題一方面考查相似三角形的判定和性質(zhì)，另一方面考查分類討論的思想方法.2、新定義圖形題例2定義：若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形 探究：（1）如圖3,已知 ABC中/C = 90° ,你能把 ABC分割成2個與它自己相似的小（2） 一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結三角形各邊中點，就可將原三角形分割為四個都與它

3、自己相似的小三角形.我們把 DEF （圖4）第一次順次連結各邊中點所進行的分割，稱為 1階分割（如圖4-1）;把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結 它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖4-2）依此規(guī)則操作下去.n階分割后.若得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設此時小三角形的面積為DEF的面積為10000,當n為何值時,?（請用計算器進行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）當n>1時，請寫出一個反映之間關系的等式（不必證明）.解析：（1）如圖5,過點C作CDLAB,垂足為D, CD即是滿足要求的分割線.理由： / B = /B, / CDB =/ACB =90

4、° , . BCDA ACB.（2）DEF經(jīng)n階分割所得的小三角形的個數(shù)為，當 時，當n = 6時，當n = 7時，.，當n=6時,說明：這道題的求解過程反映了標準所倡導的數(shù)學活動方式，如觀察、實驗、推理、猜想，而不僅僅是記憶，模仿，從而明白：研究問題要由表及里，由此及彼，學以致用.3、網(wǎng)格證明題例3如圖6,在4X4的正方形方格中， ABC和4DEF的頂點都在邊長為1的小正方形 的頂點上.（1）填空：Z ABC =° , BC =; （2）判斷 ABC 與 DEF 是否相似，并證明你的結論 .解析：（1） / ABC =135° ,;（2）能判斷 ABC 與 DE

5、F相似（或 ABCs DEF）,這是因為/ ABC =Z DEF = 135° , /.A ABCA DEF.說明：本題寓填空、識圖、說理于一體，利用網(wǎng)格解決相似問題， 使學生基礎知識得以應用， 思維能力得以提高.4、情景應用題例4、如圖7所示，某市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)建有B、C、D三個食品加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通， 且AB = CD = 900米,AD = BC = 1700米.自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道AN, B、C兩廠之間的公路與自來水管道交于 E處，EC= 500米.若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負擔，每米

6、 造價800元.（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應怎樣設計？并在圖 形中畫出；（2）求出各廠所修建的自來水管道的最低的造價各是多少元？解析：（1）過B、C、D分別作AN的垂線段BH、CF、DG,交AN于H、F、G, BH、CF、 DG即為所求的造價最低的管道線路.如圖8所示. ABEscfe,得（米）（米），(米) bheacfe,得 ABEsdGA ,（米）所以，B、C、D三廠所建自來水管道的最低造價分別是（元），（元）,（元）.說明：將相似與應用有機結合，是本題的一個特色，本題雖沒有復雜的運算及偏怪之弊，但 涉及的知識面寬，知識點多，它不僅綜合考查學生能力，而

7、且通過本題使學生明白，社會實 踐離不開數(shù)學.5、運動變化題例5如圖9,在一個長40m、寬30m的長方形小操場上，王剛從 A點出發(fā)，沿著 A-B一C的路線以3m/s的速度跑向C地.當他出發(fā)4s后，張華有東西需要交給他，就從 A地出發(fā)沿王剛走的路線追趕，當張華跑到距B地 的D處時，他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上，此時，A處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上.（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米（ DE的長）？（2）求張華追趕王剛的速度是多少（精確到0.1m/s） ?解析：（1）由陽光與影子的性質(zhì)可知DE / AC，/ BDE =Z BAC , / BED =Z BCA

8、de AC222. BDEsbac , 一 = 一 AC =x302 +402 =50（m）, BD=2 （m）, BD AB310AB =40（m），: DE = - （m）.3(2),王剛到E點的時間為,張華追趕王剛的速度是說明：解決運動變化的問題,應認真地分析運動的全過程， 把握運動變化過程中的各種情況, 特別是關鍵的點，特殊的位置6、作圖說理題例6、小胖和小瘦去公園玩 標準的蹺蹺板游戲，兩同學越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我就能翹到1米25,甚至更高！ "（1）你認為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明

9、 .（2）你能否 找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明.,而 AC = 1 米，得 OP=0.5 米.a 米（a>0）,如圖 10-2 所示，BD=a 米，AE,即DO=OE.,同理可得4 DOPsd DEF,由 OP=0.5 米,得EF=1米.綜上所述，蹺蹺板兩邊同時都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架更高.（2）方案一：保持 BO長度不變，將 OA延長一半至OP高度的兩倍，所以不可能翹得E,即只將小瘦一邊伸長一半.使.由 BOPs bef,得,EF = 1.25 米.解析：（1）小胖的t不對.小胖說“真可惜！我現(xiàn)在只能將你最高翹到1米高”，情形如圖10-1所示，

10、OP是標準蹺蹺板支架的高度，AC是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，BC是地面.OPXBC, AC± BC, /OBP = /ABC, /.A OBPA ABC ,又. 此蹺蹺板是標準蹺蹺板， BO = OA , 若將兩端同時都再伸長相同的長度，假設為 =a米，方案二：如圖10-3所示，只將支架升高 0.125米.米,.第（2）說明：本題為探究結論型開放題.第（1）題中，只要看構成的三角形的相似比是否變化.它雖未在難度上著墨，卻令人頗感新意，體現(xiàn)出對題中，只要改變構成的三角形的相似比靈活思維的要求，值得重視 .7、計算求值題例 7、若 x#0,則 2x+3y解析：根據(jù)已知條件，可用設

11、k法，把x, v, z都用k表示，就可算出比值.設 x=2k, y =3k, z= 4k,貝U2x 3y2 2k 3 3k 134k 4【說明】設k法是求解比例問題的重要而又普遍適用的方法，它能把比例式中的各個量都統(tǒng)一用k來表示，清楚地揭示了各個量相互間的關系，從而使形式與內(nèi)容達到統(tǒng)一，簡化了計算，要熟練地掌握這一解題方法.8、開放性問題例8、如圖11,在RTAABC中，CC為直角，CD _L AB于點D , BC=3, AB= 5,寫出其 中的一對相似三角形是 和 ;并寫出它們的面積比 .圖11解析：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形與原三角形相似（即有 ABCsACDs CBD）,如選

12、 ABCsCBD,則AB , BC為兩三角形的對應邊，根據(jù)相似三角形的面積 比等于相似比的平方可得面積比為25: 9.【說明】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).圖中共有三對相似三角形，關鍵要準確找出相似三角形的對應邊，復習時要強調(diào)相似三角形的對應關系.9、學科間綜合題例9、如圖12,是小明設計用手電來測量某古城墻高度示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻 CD的頂端C處，已知ABXBD, CDXBD, 且測得AB=1. 2米，BP=1. 8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是 （）A. 6 米 B. 8 米C. 18 米 D. 24 米圖12解析：要求古城墻

13、CD的高度，就要列出有關 CD的比例線段，利用物理學知識入射角等于反射角，即可得出 ABPsCDP,從而得AB=CD,解得CD=8米.BP DP【說明】相似三角形應用范圍十分廣泛，不僅局限于測量高度、距離，它在其他學科中的應用也較廣泛，要注意和其他學科結合.10、探究說理題例10、在等邊 ABC中，點D為AC上一點，連結 BD,直線l與AB, BD, BC分別相交 于點 E, P, F,且/ BPF = 60° .圖 13T圖 13-2圖 13-3（1）如圖13-1 ,寫出圖中所有與 BPF相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；（2）若直線l向右平移到圖13-2、圖13-3的位置時（

14、其它條件不變），（1）中的結論是否仍然 成立？若成立，請寫出來 （不證明），若不成立，請說明理由；1（3）探究：如圖13-1,當BD滿足什么條件時（其它條件不變），PF =PE ?請寫出探究結2果，并說明理由.（說明：結論中不得含有未標識的字母）解析：（1）（2）根據(jù)已知/ BPF = 60瞰及等邊三角形中 60叩勺內(nèi)角，挖掘圖中的公共角，即可一一，-1找到與 BPF相似的三角形；（3）探索PF = PE成立的條件，可考慮 30°角所對的直角邊2與斜邊的關系，故猜測 BD為NABC的平分線.（1） BPFsEBF , BPF bcd.以BPF sebf 為例，證明如下：: / BPF

15、 = /EBF = 60°, /BFP=/BFE, ABPFAEBF .（2）均成立，均為 BPFsEBF, ABPF sbcd .1當BD平分/ABC時，PF = PE .2證明： BD 平分/ ABC, ./ ABP=/PBF = 30 + / BPF = 605,/ BFP = 90 +1 1PF=PB.又/ B EF = 60 © 30 = 30 三 / ABP ,，BP = EP. PF=-PE.2 2【說明】這是一個開放性問題，既有探索結論，又有條件的探索，同時還結合了圖形的變換， 復習時要注意多進行變式訓練，加強一題多解、一題多變、一題多思.11、方案設計題例

16、11、有一塊直角三角形木板如圖14-1所示，已知/ C=90°, AB = 5cm, BC = 3cm, AC =4cm.根據(jù)需要，要把它加工成一個面積最大的正方形木板，設計一個方案，應怎樣裁，才 能使正方形木板面積最大？并求出這個正方形木板的邊長.解析：要在Rt ABC內(nèi)裁出面積最大的正方形DEFG，有兩種可能的裁法，如圖14-2和14-3,可分別求出正方形的面積 （正方形的頂點都在 ABC的邊上）.方案一：如圖14-2,作 CM，AB于 M ,交 DE 于 N.設正方形邊長為xcm.由11/曰 AC BC 12SiBC =-ACC =_AB_CM 得，CM =.22AB 512.

17、 DE/AB, CDEscab,即:CN DECM - AB60 x =37方案二：如圖 14-3,設正方形邊長為BFBCEFAC即3127y cm. EF/AC, ， ABFEA BCA.60. xv y ,，方案一裁出的正方形的面積最35大.這時正方形的邊長是12cm.7【說明】解決實際應用問題，探究設計方案，分析圖形中與面積有關的線段數(shù)量關系，利用 相似三角形對應邊的比等于相似比，對應高的比也等于相似比這個性質(zhì)來解決的.第23章章末測試題 一、選擇題：1、已知 ABJ DEFM AB： DE=1： 2,則4 ABC勺面積與 DE的面積之比為（）A.1 ： 2B.1： 4C.2： 1D.4

18、: 12、如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x,那么x的值（）A.只有1個B.可以有2個C.有2個以上但有限D(zhuǎn).有無數(shù)個 3、在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm,則它的寬約為（）A . 12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm4、小明在一次軍事夏令營活動中，進行打靶訓練，在用槍瞄準目標點B時，要使眼睛 O、準星A、目標B在同一條直線上，如圖 4所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準星A偏離到A',若OA=0.2米，OB=40米，AA' =0.0

19、015米，則小明射擊到的點 B'偏離目標 點B的長度BB'為（）A. 3 米B. 0.3 米C. 0.03 米D. 0.2 米5、如圖，在長為 8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形（圖中陰影部分）與原矩形相似，則留下矩形的面積是（）A. 2 cm2B.4 cm2C.8 cm2D.16 cm26、在 ABC中，AB=12, AC=10, BC=9, AD是BC邊上的高.將 ABC按如圖所示的方式折疊，使點A與點D重合，折痕為EF,則 DEF的周長為（）A. 9.5B. 10.5C. 11D. 15. 57、如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰

20、影部分）與4ABC相似的是（）8、語句：“所有度數(shù)相等的角都相似；所有角相等的菱形都相似；所有的正方形都相似；所有的圓都相似”中準確的有（）A.4句B.3句C.2句D.1句備用：1.如圖，AB、CD 都是 BD 的垂線，AB=4 , CD=6, BD=14 , P 是 BD 上一點，連結 AP、CP, 所得兩個三角形相似，則BP的長是（）A.2B.5.6C.12D.上述各值都有可能答案：D2.D、E分別是 ABC中邊AB、AC上的點，若DE/ BC,且 SADE = S梯形 DBCE，則 A D ,DB=(A. 1 ： 1b.1 ： 422-1C.D.答案：D二、填空題：9、如圖，點M是4AB

21、C內(nèi)一點，過點 M分別作直線平行于 ABC的各邊，所形成的三個小三角形4 1、?、 3 （圖中陰影部分）的面積分別是 4, 9和49.則 ABC的面積是J10、如圖，E是平行四邊形 ABCD的邊CD的中點，連結 AE、BD ,交于點O,如果已知 ADE的面積是6,試寫出能求出的圖形面積 （要求寫出四個以上圖 形的面積）.11、有一張簡易活動餐桌，現(xiàn)測得 OA=OB=30 cm, OC=OD=50cm,現(xiàn)要求桌面離地面的 高度為40 cm,那么兩條桌腿的張角/ COD的大小應為.12、陽光通過窗口 AB照到房間里，在地上留下3.2米寬的亮區(qū)ED,如圖，已知亮區(qū)一邊到窗下墻角的距離 CE=8米，窗

22、口高 AB=2米，那么窗口底邊離地面的高BC=13、下面這些三角形中，選出相似的三角形 14、如圖，在 AB中，P是邊AB上一點，連結 CP,使 AC口 ABCJ條件是15、如圖，公園內(nèi)有一個長 5米的蹺蹺板AB,當支點O在距離A端2米時，A端的人可以將B端的人蹺高1.5米，那么當支點O在AB的中點時，A端的人下降同樣的高度可以將B端的人蹺高米.C16、將三角形紙片(4ABC)按如圖所示的方式折疊，使點 B落在邊AC上，記為點B；折痕為EF.已知AB = AC = 3, BC=4,若以點BF, C為頂點的三角形與 ABC相似，那么BF的長度是gL的位似比F -I I 融 IUI t_ 11r|

23、i II r 一 fV I J II II I* T T I I T一 II_LtI且所畫圖形與 OABA (3, 1),頂端在點3)、R (5, 2),寫出17、如圖，在8X8的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點叫做格點， OAB的頂點都在格點上,請在網(wǎng)格中畫出 OAB的一個位似圖形，使兩個圖形以O為位似中心,IIIJ .IIT .IJ.- II18、升旗儀式上，小明通過建立直角坐標系發(fā)現(xiàn)旗桿底端的位置在點B (3, 10),升旗前旗的三個頂點的位置分別在點P (3, 2)、Q (3,當旗的頂端Q升到旗桿的頂部 B處時，點P和點R對應點的坐標分別為三、解答題：19、如圖，D點是 MBC的邊AC上的一

24、點，過 D點畫線段DE,使點E在AABC的邊上, 并且點D、點E和AABC的一個頂點組成的小三角形與 AABC相似.盡可能多地畫出滿足 條件的圖形，并說明線段 DE的畫法.20、如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約 12個分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約 60厘米，求電線桿 的高.21、如圖，直角梯形 ABCM, AD/ BC, Z B=90° , AD=1, 當AP長為多少時， DAP與PBC相似，并說明你的理由.BC=& AB=G點P在高AB上滑動,22、如圖，點C、D在線段AB上，且A PC皿等邊三角形.

25、(1)當AC, CD，DB滿足怎樣的關系時， AACWAPDB， (2)當 A PDB A ACP寸，試求/APB的度數(shù).23、已知如圖，正方形 ABCD的邊長為1, P是CD邊的中點，點 Q在線段BC上，設 BQ = k ,是否存在這樣的實數(shù) k ,使得Q、C、P為頂點的三角形與 ADP相似，若存 在，求出k的值；若不存在，請說明理由.24、如圖，有兩個動點 E, F分別從正方形 ABCD的兩個頂點B, C同時出發(fā)，以相同速 度分別沿邊BC和CD移動，問：(1)在E, F移動過程中， AE與BF的位置和大小有何關系？并給予證明.(2)若AE和BF相交點O ,圖中有多少對相似三角形？請把它們寫

26、出來.25、如圖：已知 A (0, 2), B ( 2, 1), C (3, 2) . (1)求線段 AB、BC、AC 的長.(2)把A、B、C三點的橫坐標、 縱坐標都乘以2,得到A'、B'、C'的坐標，求A' B'、 B' C'、A' C'的長.(3) AABC與AA' B' C'的形狀相同嗎？(4) AABC與AA' B' C'是位似圖形嗎？若是,請指出位似中心和位似比.26、已知： ABC中，AB=10. (1)如圖，若點 D, E分別是 AC, BC邊的中點，求 DE

27、的長;(2)如圖，若點 A1, A2把AC邊三等分，過 A, A2作AB邊的平行線，分別交 BCM于點Bi, B2,求 A1B+A2B2 的值;(3)如圖，若點 Ai, A2,，Ai。把AC邊H一等分，過各點作 AB邊的平行線，？分別交AiBi+AaB+A0Bi。的結果.BC邊于點Bi, B2,B。.根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，直接寫出27、如圖，在水平桌面上的兩個“E” ，當點PiF2，O在一條直線上時，在點O處用號“E”測得的視力與用號“E”測得的視力相同.(i)圖中h，b2, li , l2滿足怎樣的關系式？(2)若b =3.2cm, b2 =2cm,號“ E”的測試距離li =8m,要使測得的

28、視力相同，則號“ E”的測試距離|2應為多少？Pl4% 14- 4 -28、某班研究性學習小組，到校外進行數(shù)學探究活動，發(fā)現(xiàn)一個如圖所示的支架PAB于是他們利用手中已有的工具進行一系列操作， 并得到了相關數(shù)據(jù)，從而可求得支架頂端 P到地 面的距離.實驗工具：3米長的卷尺；鉛垂線(一端系著圓錐型鐵塊的細線 )。實驗步驟：第一步，量得支架底部A、B兩點之間的距離；第二步，在 AP上取一點C,掛上鉛垂線 CD,點D恰好落在直線 AB上，量得CD和AD的長; 第三步，在BP上取一點E,掛上鉛垂線EF,點F恰好落在直線 AB上，量得EF和BF的長。 實驗數(shù)據(jù)：線段ABCDADEFBF長度(米)2.5i0

29、.8i.20.6問：根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)，請你計算支架頂端P到地面的距離(精確到0.i米);參考答案1 8、BBABCDAB9、答案:144;10、如S由DE =2,Smda = 4,S#ba = 8,S四邊形obce =10,以及相互組合成的圖形的面積11、答案：120°12、答案：3米13、答案：、相似，、相似，、相似 14、答案：/ ACP = /B 或/ APC = /ACB 或 AC2 = AP AB15、答案：116、答案：12或2;717、需根據(jù)圖形，位似比可為1 ： 1或2 ： 1.18、（3, 9）、（5, 9）三、解答題：19、解：方法一：過點 D作DE 1 / BC

30、交BC邊于E 1點，則由公且=JAD ,且/ a=Z A ,AB AC可知 A DE 1 -AAC B.方法二：作 /ADB=/ABC交AB邊于E2點，又有 ZA=Z A,可知 AA D E2 - AA BC.AD 一,且/ C=Z C ,可知 C DE 3AC3AEq萬法三：過點D作DE 3 / AB交BC邊于E 3點，則由 3 33AB CA B.方法四：作/CDE4=/B交BC邊于E4點，又有ZC=Z C,可知CDE4 -ACBA.HD方法四20、解 v AE _L EC, DF / EC , . . /ADF =/AEC,/DAF =/EAC ,MDF s aaEC . .DF AF又

31、 GF _ EC,BC _ ECEC AC，二 GF/BC,. AFG "ACB,. AGF "ABC , MGF s MBC ,AF GFAC 一 BC 'DF GFEC BC又DF =60厘米=0.6米，GF =12厘米=0.12米, BC =6 米.即電線桿的高為 6米.EC =30 米,21、設 AP=x,貝U BP=6-x -AD/ BC,A=90° ,/ A=Z B.AP(1)當空BPAD,時， AP必 BPCBC6 -x 8x=2.3w AP(2)BCAD時， AP必 BCPBPx=2,或x=4, .所求的AP長為2, 2,322、(1) ACD 為等邊三角形PC=CD=PD/ PCD=Z PDC=/ CPD=60/ PCA=ZPDB=120 , 當 :AC =CP時， ACP PDB . . AC =CD /. CD=AC- DB. PD DBCD DB(2) .AC/ PDB ，/BPD4 A .，/APC吆 BPDh APC+Z A=Z PCD=60 , / APB=(/APC+Z BPD)+Z CPD=60 +60° =120°23、解：假設存在滿足條件的實數(shù)k,則在正方形 ABCD中，/ D = /C= 900,由.一 A