第五章 受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲1

1、第第5章受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲章受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲5.2 軸心受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲軸心受壓桿件的扭轉(zhuǎn)屈曲與彎扭屈曲5.2.1 扭轉(zhuǎn)屈曲圖5.1dz/d根據(jù)平衡關系，作用在以該傾斜纖維為軸線的微元體上的軸力dA在桿的橫截面平面內(nèi)有分力dFQ，且dAdAdFQ作用在截面上得扭矩：2020A2FrArdAMzr0截面對彎心的極回轉(zhuǎn)半徑扭轉(zhuǎn)屈曲臨界力為：tGIl2220crEIr1F，5.2.2 彎扭屈曲 對于截面單軸對稱的單角鋼、單槽鋼或T形鋼軸心壓桿，形心和彎心不相重合。如果桿件在軸心力F作用下不能保持直線平衡而繞對稱軸y彎曲時，由于剪力不通過彎心，不可避免的要出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)。0

2、euFMz 0uFeFr-GI-EI02014 A/IIeryx2020桿件的扭轉(zhuǎn)平衡微分方程為：其中 0FeEI04 uFuy彎曲平衡的微分方程可以寫為：兩端鉸接的桿件，桿端邊界條件：當z=0時：00uu ，當z=L時：00uu ，解得：llzCsinzAsinu20222y2y/EI,EIFrGIlFlt令得：CrF-FAFe-0CFe-AF-F2000y）（y2yyFkF4-FF-FFk21Fcr200re-1k臨界荷載式中：5.2.3計算彎扭屈曲的換算長細比的方法我國冷彎薄壁型鋼結構技術規(guī)范設x軸為對稱軸，如圖所示：圖5.4，20222y2y/EI,EIFrGIlFlt0EIEI-e-

3、rF2222x220222x220202crxtxcrxtxEIlGIIIlFrEIlGIIIl20t222x2x/GIEIFEIFrll和根據(jù)得：令0s222222EGIlIIlEIlGIIItxxtx由于039. 0EG20I039. 0Ast2x2lI上式可以寫為：解得彎扭屈曲臨界應力：2222020222022202x2cr2s2s1EhEsersrsr5.3 偏心壓桿的彎扭屈曲偏心壓桿的彎扭屈曲偏心壓桿的彎扭屈曲是指其在彎矩平面外的失穩(wěn)。偏心受壓桿件的彎扭屈曲平衡微分方程為：0uMFr-GI-EI0MFuuEIx20txy 0uFeFr-GI-EI0FeuFuEI20t44y 0Fr

4、/e-F-FF-F220y（5.32）（5.33）將式（5.32）對z微分二次，式（5.33）對z微分一次，得到：得到偏心壓桿的臨界荷載：FFk4F-F-FFk-121Fy212yy21cr在鋼結構設計中常常用相關公式來控制偏心壓桿的彎扭失穩(wěn)。由梁整體失穩(wěn)的臨界彎矩為：FFrlEIGIEIlMytycr022cryMMFF-1FF-1利用這個關系式，并將Fe用M代替，得到：當F=Fy時，F(xiàn)/Fy與M/Mcr之間的關系是直線關系1FFycrMM第二節(jié) 軸心受壓時開口薄壁桿件的彎扭屈曲臨界荷載中性平衡方程剪心C沿x和y軸方向平移u和v，截面繞剪力中心扭轉(zhuǎn)角，點B(x,y)沿x和y軸方向位移為：)(

5、,)(u-u0101xxvvvvyyuuBB假定屈曲時桿件處于彈性工作階段和小變形狀態(tài)，并假定截面的周邊形狀保持不變，無初始缺陷。5.4 用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載用能量法計算開口薄壁軸心壓桿的屈曲荷載一 中性平衡方程的建立(一)通過勢能駐值原理來推導彎扭變形下的總應變能ldzEIGIEIEI022t2y2xu21E變形后微段長度：dz1dzddzdudzdduds2122222由于u,v是微小量，上式簡化為：dz1dzd21dzdu21ds22B點縱向纖維變形后的總長度為：dz1dzd21dzdu21sl022dzdzd21dzdu21l-sl022BB點縱向纖維變形后兩端縮短為

6、：lBBdzvudAdAdW022B2121 lAlAdzruyvudzxxvyyudAAdWW0220022020202F21F21式中應力F/A在小條上的外力功為：對整根桿，壓力F的外力功為：00yx20 xAIIryxyIdAIdAdAdAA2A2AAy,x, 0yxW-EEEEvp并考慮了因此，總勢能為即：2-21Ep02202222 uFyvFuFvEIuEIEIGIlxyt二 臨界荷載的確定(一)假設位移函數(shù)，將微分方程組化為求解代數(shù)方程組如桿段簡支時，邊界條件為000vuvulzz，處，和假設位移函數(shù)為：)374(sin,sin,sinlznClznBvlznAuA、B和C廣義坐

7、標或參變數(shù)n1,2,3, 彈性曲線的半波數(shù)將它代入總勢能表達式，并令：tyyxxGIlEInrFlEInFlEInF222202222221,得到線性齊次代數(shù)方程組為：)394(000)(00200000CBAFFrFxFyFxFFFyPFxy特征方程為：0)()()()(20220220FFxFFFyFFFFFFFryxyx或解此方程式所得F的最小根，即為所求的臨界力Fcr。0)(00200000FFrFxFyFxFFFyPFxy三 關于臨界荷載的討論以兩端簡支的軸壓桿為例(一)當桿件截面為雙軸對稱或點對稱時截面形心與剪力中心重合，x0y00：0)()(FFFFFFyx22lEIFFxx方程

8、式的三個根為22lEIFFyytGIlEIrFF22201得到最小臨界力，將此三根代入(5.56)式，可得, 0, 0,ACBFFy時當, 0, 0,BCAFFx時當0, 0,CBAFF時當當FFx和FFy時，桿件為彎曲屈曲，當FF時，桿件為扭轉(zhuǎn)屈曲。對于雙軸對稱或點對稱截面的軸壓桿，只能發(fā)生繞其主軸彎曲屈曲或繞剪力中心的扭轉(zhuǎn)屈曲，不會發(fā)生彎扭屈曲。(二)當桿件截面為單軸對稱(設y軸為對稱軸)時，則x00，0)()(20220yFFFFFrFFyx則上式的根為設,1220Cryk222lEInFFxxFkFFFFFkFyyy4)(212和彎曲屈曲彎扭屈曲(三)當桿件截面為不對稱時，則必為彎扭屈

9、曲，臨界力為(5.58)式的三個根中最小值，并取n1。取n1，得到最小臨界力。5.5 用能量法計算開口薄壁偏心壓桿的屈曲荷載除了上節(jié)所述的基本假定外，需再假設桿件截面具有足夠的抗彎剛度，由偏心彎矩產(chǎn)生的彎曲變形很小，可以略去不計。)66. 5(yyxxIxMIyMAF軸的桿端作用力矩軸和是繞和式中yxMMyx軸的偏心矩。軸和為對分別和則當為偏心受壓時，yxPeeFeMFeMyxyyxx,一 中性平衡方程的建立(一)根據(jù)勢能駐值原理來導出中性平衡狀態(tài)時，截面上任意點B(x,y)的位移、應變能U和外力所作的功W的表達式與上一節(jié)表達式相同。將(5.66)代入(5.48)式，對整個截面積分，并注意O為

10、形心，x和y軸為形心主軸，可得：AdzdxxvyyuIxMIyMAFdWWlAyyxxA 02020)()(21dzMMvMFxuMFyrvuFxyyxlyxC22)(2)(2)(21220002222式中 x和y為不對稱截面的幾何特性。AxyAyxydAyxyIxdAyxxI022022)(21)(21)(212202202222rvuFGIEIvEIuEIElkxyp體系總勢能Ep的表達式為：dzMMvMFxuMFyxyyxyx)(2)(2)(2200二 臨界荷載的確定(一)假設位移函數(shù)，將微分方程組化為求解代數(shù)方程組如桿段簡支時，邊界條件為0,0vuvulzz處，和假設位移函數(shù)為：lzn

11、ClznBvlznAusin,sin,sinA、B和C廣義坐標或參變數(shù)n1,2,3, 彈性曲線的半波數(shù)根據(jù)勢能駐值定理，令0,0,0CEpBEpAEp02200200000CFeFeFFrBexFAeyFCexFBFFCeyFAFFxyyxyxxyyxA、B、C不同時為不同時為0的條件是其系數(shù)行列式的條件是其系數(shù)行列式=0，則可，則可以得到穩(wěn)定方程為：以得到穩(wěn)定方程為：0220220220yyxxxyyxyxexFFFeyFFFeeFrFFFFFF得：解這個特征方程可得F的三個根，其最小根就是所求的臨界荷載。三 關于臨界荷載的討論以兩端簡支的軸壓桿為例(一)當桿件為雙軸對稱，且壓力F作用在一個

12、對稱軸(假定是y軸)上時，則x0=y0=ey=x=y=0，此時方程形式為：0)()(2220 xyxeFFFFFrFF或者上式的根為設,1Cxrek 22lEIFFxx4)()1 (2121221kFFFFFFkFyyyAIIryx20式中：臨界力為上述三根中最小值，并取n1。當臨界力為Px時，為繞x軸的彎曲屈曲，當臨界力為其它根時，為彎扭屈曲。當為彎扭屈曲時：;, 101有二個正根即若Frekx;, 101FFFFFrekyyx即若受拉時的彎扭屈曲；，負根表示大偏心有一個正根和一個負根即若Frekx, 101與上節(jié)相同。和即有兩個正根，為心受壓，即若FFFFFekyx , 0, 01(二)當桿件為單軸對稱，且壓力F作用在對稱軸(假定是y軸)上時，則x0=ey=x=0，此時方程式的形式為：0)(2)()(20220 xyxyxeyFFeFFrFFFF桿件可能繞x軸彎曲屈曲，也可能是彎扭屈曲。(三)當桿件截面無對稱軸時，則為彎扭屈曲。但當偏壓力P作用在剪