直線的法向量在線性規(guī)劃中的應(yīng)用

1、直線的法向量在線性規(guī)劃中的應(yīng)用線性規(guī)劃是高考考察的熱點，近幾年都有題目出現(xiàn)。傳統(tǒng)的方法 是依據(jù)代入特殊點的坐標(biāo)來判定兩元一次不等式所表示的區(qū)域，從而 確定線性約束條件所表示的可行域，然后應(yīng)用目標(biāo)函數(shù)在y軸上的截 距解決目標(biāo)函數(shù)的最值問題。傳統(tǒng)方法有其優(yōu)點，也有其缺點，如學(xué) 生代入點的坐標(biāo)時，易造成題面得不等式結(jié)果與不等式所表示的區(qū)域 弄混淆，在判定目標(biāo)函數(shù)的最值是弄不清怎樣移動目標(biāo)函數(shù)所表示的 直線。下面我們從向量的角度來解決線性規(guī)劃問題。我們知道直線 ax+by+c=o的法向量為（a,b）,其特征是在平面坐標(biāo)系中與直線本 身相互垂直，應(yīng)用直線的法向量我們可以得到以下兩個結(jié)論：1 直線ax+b

2、y+c=o的法向量為（a, b）在平面直角坐標(biāo)系中，我 們一般以坐標(biāo)原點0為起點作出法向量，依據(jù)向量可以在平面內(nèi)自 由平移，我們可以把法向量的起點平移到直線ax+by+c二0任意一點 上，那么法向量所指的方向（直線ax+by+c=o的一側(cè)）就是不等式 ax+by+c>0所表示的區(qū)域，反之與法向量所指相反的方向（直線 ax+by+c=o的另一側(cè)）就是不等式ax+by+c < 0所表示的區(qū)域。這 種方法給出的不等式形式如何變化，我們只要從不等式整理出直線方 程的“一般式” （x的系數(shù)可正可負(fù)）即可。例如在平面直角坐標(biāo)系 中做出不等式一x>-3y-18所表示的區(qū)域，我們可以現(xiàn)整理出

3、不等式一x+3y+18n0,然后作出直線一x+3y+18=0,再以原點為起點作 出其法向量（一1, 3）,然后平移法向量的起點至直線一x+3y+18=0 上，那么法向量所指的左上方（包含邊界）就是不等式一x>-3y- 18所表示的區(qū)域，而直線的右下方（與法向量所指的相反的方向） 就是不等式一x<-3y-18所表示的區(qū)域，如圖（l）o當(dāng)然我們也可 以現(xiàn)整理岀不等式x -3y-18<0,然后作出直線x 3y18=0,再 以原點為起點作出其法向量（1,-3）,然后平移法向量的起點至直線 x 3y18=0上，那么法向量所指的右下方（包含邊界）就是不等 式x 3y18>0所表示的

4、區(qū)域，即一x <+3y +18的區(qū)域，而與法向 量所指相反方向的左上方（包含邊界）就是不等式x 3y18<0所 表示的區(qū)域，即不等式一x>-3y-18所表示的區(qū)域，如圖（2）。x -3y-18>02在平面直角坐標(biāo)系中直線ax+by+c=o按其法向量所指的方向 平移，則式子ax+by+c的值逐漸增大，按與其法向量所指的方向相 反的方向平移，則式子ax+by+c的值逐漸增小，由這個性質(zhì)可以求 出在線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c的最值，我們可以平面直角坐標(biāo) 系中做出直線ax+by二0（稱為基準(zhǔn)直線），然后作出法向量（a, b）然 后向可行域平移基準(zhǔn)直線（或者移出可行域）

5、，若平移的方向與法向 量（a, b）所指的方向相同，則ax+by的值逐漸增大，若平移的方向 與法向量（a, b）所指的方向相反，則ax+by的值逐漸變小。注意以上兩個結(jié)論不予證明，可以在線性規(guī)劃中直接應(yīng)用。下面 我們運用上面兩個結(jié)論來處理一些線性規(guī)劃題目。例（2008年，全國卷113題）若x, y滿足約束條件廠x + y>0s x-y +3>0j o< x <3則求z=2x_y的最大值？（原為填空題）解析；先做出可行域1, 作出x+yno所表示的區(qū)域，作出直線x + y=o,其法向量為（1, 1）,所以直線的右上方（含邊界）就是x+yno所表示的 區(qū)域；2,3,作出x-y+3>0所表示的區(qū)域，作出直線x-y+3=0,其法向量（1,1）,所以直線的左下方（含邊界）就是x-y+3>0所表示的區(qū)域；作出基準(zhǔn)直線2x -y二0,其法向量（2,1）,當(dāng)直線按其法向量 平移逐漸移出可行域，z的值逐漸增大，即過點（3,-3）時，z有 最大值 z=2x3 - （-3）二 9向量是數(shù)學(xué)的一個新的數(shù)學(xué)工具，在此課題線性規(guī)劃中，它可以 化繁為簡，很快的作出不等式